Математическая статистика 11 класс: элементы
Элементы математической статистики: как описать выборку одним числом и честно измерить разброс. Дисперсия, стандартное отклонение, полигон и гистограмма частот на задаче о пекарне.
Пекарь подводит итоги двух недель продаж. Первая неделя: 118, 122, 119, 121 и 120 буханок — день ото дня почти одинаково. Вторая: 90, 150, 100, 140 и 120 — в среднем столько же, но муку закупать страшно: то пусто, то густо. Среднее арифметическое обеих недель одинаковое — ровно 120, а поведение совершенно разное. Чтобы отличать стабильность от лотереи, нужны характеристики разброса — дисперсия и стандартное отклонение. Весь урок — об инструментах, которыми статистика описывает данные: от выборки и генеральной совокупности до полигона и гистограммы частот.
Выборка и генеральная совокупность
Статистика начинается с вопроса «кого или что мы измеряем». Генеральная совокупность — это все интересующие нас объекты: все выпускники страны, все изделия завода, все звонки в колл-центр. Изучать всё поголовно дорого и часто невозможно, поэтому берут выборку — часть совокупности, и по ней судят о целом. Выборка обязана быть репрезентативной: отражать состав целого. Если измерять рост баскетбольной секции и объявить его средним ростом школы, прогноз будет ошибочным на пятнадцать сантиметров — классический пример нерепрезентативной выборки.
Репрезентативность обеспечивают случайностью: каждый объект совокупности должен иметь равные шансы попасть в выборку. Опрашивать прохожих у автосалона про цену автобуса — значит собрать смещённую выборку: состав прохожих не совпадает с составом города. Поэтому соцопросы выбирают адреса случайным числом, а контроль качества продукции берут детали через равные промежутки конвейера — так ни одна группа не получит преимущества. И чем больше выборка, тем надёжнее вывод: на трёх измерениях дисперсия скачет непредсказуемо, а на трёх сотнях уже ведёт себя прилично. Объём выборки — это мощность статистического утверждения, и этим словом статистики пользуются буквально.
- Генеральная совокупность#
- Все объекты, о которых делается вывод
- Выборка#
- Часть совокупности, которую реально измерили
- Репрезентативность#
- Свойство выборки правильно отражать состав совокупности
- Частота#
- Сколько раз значение встретилось в выборке
Центр выборки описывают тремя знакомыми числами. Среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество. Мода — самое частое значение. Медиана — число посередине упорядоченного ряда: половина данных не меньше его, половина не больше. Размах показывает, насколько далеко разбросаны данные: от наибольшего до наименьшего. Прогоним всё это на живом примере — десять оценок за контрольную: 3, 4, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 4, 3.
| Характеристика | Значение | Как считали |
|---|---|---|
| Мода | 5 | встречается чаще всех — 4 раза |
| Медиана | 4 | середина упорядоченного ряда из 10 оценок |
| Среднее | 4,1 | сумма 41 делим на 10 |
| Размах | 2 | от наибольшей 5 до наименьшей 3 |
Обрати внимание, что среднее вышло 4,1 — такого значения в выборке нет вообще, и это нормально: среднее не обязано совпадать с данными. Медиана тут ровнее среднего: одна пятёрка-выброс сдвинула бы среднее сильнее, чем медиану. Именно поэтому в отчётах о доходах населения предпочитают медиану — она устойчивее к редким гигантским значениям.
Гистограмма цен на пирожки: значения от 26 до 50 рублей, самые высокие столбики у отметок 36–40. Выстави примерное среднее выборки.
Дисперсия: измеряем разброс честно
Размах груб: две крайние точки определяют его целиком, а поведение остальных данных не видит. Дисперсия смотрит на все значения сразу. Идея: измерь отклонение каждого значения от среднего, возведи его в квадрат и усредни. Квадрат нужен, чтобы плюс-отклонения и минус-отклонения не гасили друг друга и чтобы резкие выбросы получали вес. Возвращаемся к пекарне: у стабильной недели отклонения от 120 равны −2, 2, −1, 1 и 0 — квадраты крошечные. У скачущей недели отклонения −30, 30, −20, 20 и 0 — квадраты по 400 и 900, и дисперсия больше в сотни раз. Цифра наконец совпала с ощущением.
- Среднее арифметическое: (3 + 5 + 7) / 3 = 5.
- Отклонения от среднего: −2, 0 и 2.
- Квадраты отклонений: 4, 0 и 4, их сумма равна 8.
- Делим сумму на количество значений: дисперсия равна 8/3 ≈ 2,7, а стандартное отклонение — корень из неё, примерно 1,6.
Дисперсия измеряется в квадратных единицах: буханки в квадрате — бессмыслица, поэтому в выводах используют стандартное отклонение, корень из дисперсии. Оно возвращается в исходные единицы и читается как «типичное отклонение от среднего». Практическое правило: у большинства данных из нормального разброса значения лежат в пределах двух стандартных отклонений от среднего. Если пекарь видит, что σ ≈ 15 буханок, он закладывает на закупку запас в пару десятков — иначе в неудачный день очередь уйдёт к конкуренту.
Стандартное отклонение — рабочая лошадка реальных измерений. Фабрика шьёт детали с номиналом десять сантиметров: партии с малым стандартным отклонением означают ровный станок, а рост разброса без изменения среднего — станок разладился, пора в ремонт. Метеорологи сравнивают города не только средними температурами, но и отклонениями: у морского климата разброс мал — предсказуемо, у континентального велик — качели от жары к морозу. То же в педагогике: две группы с одинаковым средним баллом могут быть совершенно разными — ровной и пёстрой, и различить их позволяет только разброс. Правило двух сигм покрывает большинство значений, поэтому стандартное отклонение служит и быстрой оценкой доверия к среднему.
Полигон и гистограмма частот
Числа удобно сжимать в картинку. Данные раскладывают по интервалам и считают частоты — сколько значений попало в каждый. Гистограмма рисует частоты столбиками над интервалами и показывает форму разброса: где данные кучкуются, где хвосты. Если по серединам столбиков провести ломаную, получится полигон частот — та же информация линией, удобно для сравнения двух выборок на одном рисунке. Форма гистограммы о многом говорит раньше чисел: симметричный холм с одним пиком — признак ровного процесса, два пика намекают, что выборка перемешана из двух разных групп, например мальчики и девочки или два разных магазина. Длинный хвост в одну сторону подсказывает, что среднее уедет от медианы, и опираться на среднее будет ненадёжно.
Таблица частот превращается в два классических графика. Для дискретных данных — оценок, числа детей, количества книг — строят полигон частот: по горизонтали значения, по вертикали частоты, точки соединяют ломаной. Для непрерывных данных — роста, времени, температуры — данные группируют в интервалы и рисуют гистограмму: над каждым интервалом стоит столбик, высота которого равна сумме частот. Ширину интервалов выбирают разумно: слишком широкие столбики прячут детали, слишком узкие делают картинку шумной. По гистограмме сразу видны мода, симметрия и выбросы — то, что в таблице искать глазами долго.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
За обоими графиками стоит случайная изменчивость: повтори измерение — получишь чуть другое число. Рост учеников, время в пути, урожай яблок колеблются от наблюдения к наблюдению не по злому умыслу, а по природе вещей: на значение влияет множество мелких причин. Статистика не борется с изменчивостью, а описывает её: среднее говорит про центр, дисперсия — про силу колебаний, полигон и гистограмма — про форму. Когда данные распределены симметричной горкой, стандартное отклонение становится главным связующим звеном между выборкой и выводами обо всём мире.
Теперь у тебя полный набор статистика-инструментов: выборка против генеральной совокупности, три меры центра, две меры разброса и два графика частот. Дальше эти слова появятся в теории вероятностей и в любой работе с данными — от лабораторной по физике до маркетингового отчёта. Прогони квиз, реши тренажёр и посчитай дисперсию чего-нибудь живого — например, своих оценок за месяц или времени в дороге в школу: настоящие данные запоминают формулы лучше любого списка.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Найди размах выборки 12, 15, 9, 20, 14.
2 Средние значения двух выборок совпали. Какая характеристика подскажет, какая из них стабильнее?
3 Дисперсия не бывает отрицательной.
4 Какие характеристики описывают выборку?
5 Расставь шаги вычисления дисперсии по порядку.
6 Сопоставь термин и его смысл.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Дополни.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Дисперсия измеряется в единицах, а стандартное отклонение — в единицах, как сами данные.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как найти дисперсию ряда чисел?
Сначала посчитай среднее арифметическое. Затем для каждого значения найди отклонение от среднего, возведи его в квадрат и усредни квадраты. Итоговое число — дисперсия выборки.
Чем медиана отличается от среднего арифметического?
Среднее — это сумма всех значений, делённая на их количество, а медиана — число посередине упорядоченного ряда. Медиана устойчивее к выбросам: один гигантский доход сдвигает среднее, но почти не трогает медиану.
Как построить гистограмму частот?
Разбей данные на удобные интервалы и посчитай, сколько значений попало в каждый. Над каждым интервалом нарисуй столбик высотой в его частоту. Столбики рисуют вплотную, потому что данные непрерывны.
Что такое генеральная совокупность и выборка?
Генеральная совокупность — все объекты, о которых делается вывод, а выборка — та часть, которую реально измерили. Чтобы вывод был честным, выборка должна быть репрезентативной, то есть правильно отражать состав целого.