Калькулятор среднего, медианы и дисперсии

За четверть по алгебре у тебя стоят отметки 5, 4, 4, 5, 3. На вопрос «ну как твоя математика?» можно ответить по-разному: «в среднем четыре с лишним», «чаще всего четвёрки» или «ровно посередине — четвёрка». Это три разные характеристики одного и того же ряда: среднее арифметическое, мода и медиана. В новостях к ним добавляются дисперсия и среднеквадратичное отклонение — звучит страшно, а считается в пять действий. Введи свои числа в калькулятор выше: он живьём пересчитывает все шесть характеристик и показывает каждый шаг решения.

Среднее арифметическое и его соседи по ряду

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их количество: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$. Для ряда 5, 7, 7, 8, 10 среднее равно $37:5=7,4$. Средним арифметическим считают и средний балл аттестата: сложи все оценки и раздели на их количество. У среднего есть красивое свойство для самопроверки: сложи отклонения каждого числа от среднего — получится ровно ноль. В нашем примере $(-2,4)+(-0,4)+(-0,4)+0,6+2,6=0$: числа меньше среднего тянут вниз ровно на столько же, на сколько числа больше среднего тянут вверх. Вышло не ноль — значит, где-то ошибка в вычислениях.

Медиана — число ровно посередине отсортированного ряда. Сортируем 5, 7, 7, 8, 10 — середина это 7. Если чисел чётное количество, центральных значений два: бери их среднее. В ряду 4, 6, 10, 20 медиана равна $(6+10):2=8$ — так ищется медиана ряда с чётным количеством чисел. Мода — самое частое значение: в нашем ряду это 7, оно встречается дважды, остальные по разу. Размах ряда чисел — разница между самым большим и самым маленьким: $10-5=5$. Эти четыре характеристики ряда проходят в 7 классе и спрашивают их на ВПР и ОГЭ.

Отдельная история — взвешенное среднее. Если значения встречаются не по одному разу, складывать их «в лоб» нельзя: каждое нужно умножить на свой вес. Купили 2 кг конфет по 100 рублей и 3 кг по 60 — средняя цена равна $(2\cdot 100+3\cdot 60):5=76$ рубля за килограмм, а не 80, как подсказывает полусумма цен: килограммы не равноправны. Именно так считают средний чек магазина и оценку за четверть, где контрольная весит больше устного ответа. Простой ряд в калькуляторе выше — частный случай взвешенного: все веса по единице.

Когда медиана честнее среднего: история одной зарплаты

В маленькой фирме пять сотрудников получают 20k, 25k, 30k, 40k рублей, а директор — 500k. Средняя зарплата выходит $(20+25+30+40+500):5=123k$ — и в отчёте звучит гордо. Но она больше, чем зарплата четверых из пяти сотрудников! Одно значение-выброс утащило среднее вверх, а медиане оно безразлично: медиана равна 30k — половина получает меньше, половина больше. Разница между 123k и 30k — цена одного-единственного выброса. Поэтому в отчётах о доходах, ценах на жильё и возрасте пользователей обычно пишут именно медиану — «медианная зарплата» и «медианная цена квартиры» честнее описывают типичное значение.

Отсюда и разговорное «средняя температура по больнице»: фраза высмеивает среднее, усреднённое вместе с выбросами. Медиана от выбросов не страдает: убери директора — медиана останется 30k, а среднее рухнет до 28,75k. Хорошая привычка: увидев «среднее» в отчёте, спроси, что с медианой. Если они расходятся в разы — ряд перекошен, и среднее вводит в заблуждение. Калькулятор выше считает обе характеристики сразу, расхождение видно мгновенно.

Дисперсия и стандартное отклонение: мера разброса

Среднее говорит, где центр ряда, но ничего не говорит о разбросе. Два стрелка могут попадать в среднем в десятку — один стабильно (9, 10, 11), другой то в яблочко, то в молоко (6, 10, 14). Различие показывает дисперсия — мера разброса данных вокруг среднего: для каждого числа берём отклонение от среднего, возводим его в квадрат (чтобы минусы не гасили плюсы), складываем и делим на количество чисел. Для ряда 5, 7, 7, 8, 10 сумма квадратов отклонений равна 13,2, делённая на 5 дисперсия — $D=2,64$. Квадраты неудобны: единицы получаются «квадратными», поэтому извлекают корень. Стандартное отклонение $\sigma =\sqrt{D}\approx 1,62$ измеряется в тех же единицах, что и сами числа.

Стандартное отклонение — это «цена погрешности» вокруг среднего: большая часть значений обычно укладывается в пределах $\bar{x}\pm \sigma$. Чем меньше $\sigma$, тем стабильнее процесс, поэтому им пользуются везде, где важно не только «сколько в среднем», но и «насколько ровно»: на производстве следят за разбросом толщины детали, в спорте — за стабильностью результата, а волатильность на бирже — это то же стандартное отклонение доходности, только переименованное. Из таблицы выше видно: у всех трёх рядов среднее одинаковое, но только у первого и третьего значения плотные, у второго разброс в четыре раза больше. Если дисперсия равна нулю — все числа ряда совпадают, разброса нет вовсе.

Почему в дисперсии именно квадраты, а не просто модули отклонений? Квадрат растёт быстрее линейной функции: одно большое отклонение портит дисперсию сильнее, чем два средних, — а именно это и нужно, ведь крупный выброс должен быть заметен сразу. Обратная сторона — чувствительность к выбросам: то самое значение 500k из зарплатного примера увеличит дисперсию драматически. Поэтому характеристики работают парой: медиана даёт устойчивый центр, дисперсия и стандартное отклонение — честную меру разброса. А корень из дисперсии возвращает единицы измерения: дисперсия зарплат измеряется в «рублях в квадрате», что для разговора бессмысленно, стандартное отклонение — снова просто в рублях.

Где всё это на экзаменах

Статистика идёт сквозь весь курс математики: в 5 классе — среднее арифметическое в текстовых задачах, в 7 классе — тема «Статистические характеристики» (среднее, мода, размах, медиана), в 11 классе — представление данных и их анализ. На ОГЭ по математике есть задания, где по таблице или диаграмме нужно найти характеристику ряда или оценить утверждение вроде «медиана больше среднего — верно?». На ЕГЭ базового уровня похожие вопросы стоят в блоке анализа данных, а в профильном прячутся в первую часть — в задачи по графикам и диаграммам.

Типовая задача ОГЭ выглядит так: пять дней подряд ты записывал время дороги до школы — 20, 25, 20, 35, 30 минут. Среднее — $130:5=26$ минуты, медиана после сортировки (20, 20, 25, 30, 35) — 25, мода — 20, размах — $35-20=15$. Верный ответ зависит от вопроса: «сколько в среднем» — 26, а «сколько обычно» — скорее 25 или 20. Заметь, как одна пробка (35 минут) подняла среднее выше любого обычного дня, но медиане не повредила — та же логика выбросов, что и с зарплатами.

Самое полезное правило темы: выбирая характеристику, спроси, чего ты боишься. Боишься выбросов — директор с зарплатой 500k, одна заваленная контрольная в классе — бери медиану. Нужен самый типичный вариант: какой размер заказывать, какой тариф подключать — бери моду. Нужно учесть каждое число: итоговый балл, общий расход — считай среднее арифметическое. А когда ответ получен, посмотри на разброс: при большой дисперсии среднее описывает ряд куда хуже, чем кажется. Введи свой ряд в калькулятор выше — и все шесть чисел будут перед глазами с полным ходом решения.