Среднее арифметическое

Ты не раз слышал: средняя температура за неделю, средний балл класса, средняя скорость машины. Во всех случаях речь об одном приёме: сложить всё, что измерили, и поделить на количество измерений. Среднее арифметическое — самая простая и самая употребительная статистическая характеристика: она сжимает длинный список чисел в одно число, по которому удобно сравнивать. В этом уроке научимся находить среднее, считать через него среднюю скорость и решать обратные задачи, где по среднему восстанавливают данные.

Что такое среднее арифметическое

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма всех чисел, делённая на их количество. Для чисел 12, 15 и 18 сумма равна 45, чисел три, значит, среднее равно $45:3=15$. Обрати внимание: здесь среднее 15 совпало с одним из чисел случайно. Обычно среднее — новое число, которого в списке не было: у чисел 4, 5 и 9 среднее равно 6, а шестёрки в списке нет. Среднее изображает весь список одним числом, как портрет класса по всем ученикам сразу.

Слово «арифметическое» напоминает, что находят среднее арифметикой — сложением и делением. В старших классах встретятся и другие средние, например среднее геометрическое, но в 5 классе под средним всегда понимают именно это. Проверь себя на числах 10, 20 и 30: сумма 60, делим на три, среднее 20 — аккуратно посередине между крайними значениями. Так бывает не всегда, но чаще всего среднее сидит где-то внутри списка.

Зачем вообще усреднять? Отдельные замеры шумят: сегодня жарче, вчера холоднее, у одного ученика пятёрка, у другого тройка. Среднее убирает шум и показывает общий уровень. Отсюда и правило чтения новостей: слово «в среднем» всегда означает, что за числом прячется список, а само число — это сумма, поделённая на количество. Умеешь находить среднее — умеешь проверять такие сводки.

Алгоритм: сначала сумма, потом деление

Нахождение среднего сводится к двум действиям. Сложи все числа списка — получишь общую сумму. Раздели её на количество слагаемых — получишь среднее. Если список длинный, складывай по порядку и вычёркивай посчитанные числа, чтобы ничего не потерять и не посчитать дважды. Разберём алгоритм на среднем балле за четверть.

Среднее необязательно получается целым: 4,3 — нормальный средний балл. Если в задаче требуется целое, среднее округляют по правилам округления, а в промежуточных вычислениях оставляют точное значение. Заметь и обратный ход: зная среднее и количество, всегда можно вернуть сумму — умножить среднее на количество. Для среднего балла 4,3 и шести отметок сумма близка к $4,3\cdot 6\approx 26$ — сходится с исходной.

Такая двойная проверка — сильный приём. Нашёл среднее — умножь его на количество и сравни с суммой: числа должны совпасть. Если совпало неточно, где-то потерялось слагаемое или ошибка в делении. На контрольной эта проверка занимает двадцать секунд и возвращает балл за задачу.

Средний балл, средняя температура, средний рост

Применений у среднего много, и все они устроены одинаково: сложили измерения, поделили на их количество. Школа считает средний балл, метеорологи — среднюю температуру дня и месяца, медики на профосмотре — средний рост и вес класса. По среднему удобно сравнивать: какой месяц теплее, в каком классе справились с контрольной лучше, вырос ли ты за год. В таблице — четыре типичных расчёта.

Посмотри на строку про рост: средний рост 149 см может не совпадать ни с одним измерением, зато честно описывает всю группу. Именно так работают средние в сводках и отчётах: население города, средняя зарплата по региону, средняя оценка фильма. За каждым таким числом стоит список измерений, сумма и деление на количество.

Прикидка спасает от грубых ошибок: среднее всегда не меньше наименьшего и не больше наибольшего числа списка. Если средняя температура вышла 25, а все замеры были от 16 до 22, — где-то ошибка в сложении или в делении. Такой контроль занимает секунды и отсекает половину неверных ответов ещё до полной проверки.

Средняя скорость

Самая известная задача на среднее — движение. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время: столько километров в среднем проходилось за каждый час поездки. В формуле складываются не скорости, а пути, а делят на суммарное время. Отсюда важное следствие: средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей, если на разных участках тело двигалось разное время.

Разбери пример. Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 80 км/ч, потом 1 ч со скоростью 40 км/ч. Путь равен $80\cdot 3+40\cdot 1=280$ км, всё время — 4 ч, значит, средняя скорость $280:4=70$ км/ч. А среднее арифметическое скоростей — $(80+40):2=60$ км/ч — не подходит: оно игнорирует, что быстрый участок был втрое дольше. Правильный ответ 70 км/ч.

Когда же можно складывать скорости и делить пополам? Только при равном времени на всех участках: час по 60 км/ч и час по 40 км/ч дают среднюю скорость 50 км/ч — и тут оба способа совпадают. Проверяй условие: равное время — можно среднее арифметическое скоростей, разное время — только весь путь на всё время.

Средняя скорость отвечает на вопрос, сколько километров в час проходилось в среднем, и часто нужна в практических расчётах: сколько времени займёт дорога, успеем ли к отправлению поезда. Если средняя скорость 70 км/ч, то за 2 ч автомобиль проедет около 140 км. Обратная прикладная задача решается умножением средней скорости на время — так планируют поездки и расписания.

Обратные задачи

Зная среднее, можно восстановить недостающие данные — это обратные задачи. Простейшая: среднее пяти чисел равно 12. Чему равна сумма? Сумма в пять раз больше среднего: $12\cdot 5=60$. Сложнее: сумма четырёх известных чисел 46. Тогда на пятое число остаётся $60-46=14$. Такие задачи встречаются в контрольных постоянно и решаются в два действия.

Обратные задачи работают и со скоростью. Средняя скорость автобуса за 3 ч составила 45 км/ч. Тогда весь путь $45\cdot 3=135$ км. Если за первые 2 ч автобус прошёл 84 км, на третий час осталось $135-84=51$ км. Приём один и тот же: среднее умножь на количество — получишь сумму, а дальше вычитай известное.

Разбери задачу с оценками. Среднее арифметическое четырёх отметок равно 4, а сами отметки: 5, 3, 4 и неизвестная. Сумма всех четырёх равна $4\cdot 4=16$. Известные дают $5+3+4=12$, значит, пропущенная отметка равна $16-12=4$. Схема универсальна: среднее умножить на количество, минус сумма известного.

Ошибки и итоги

• Сложи все числа списка — получишь сумму
• Раздели сумму на количество чисел — получишь среднее
• Проверь: среднее лежит между наименьшим и наибольшим
• Средняя скорость — весь путь делить на всё время
• Обратная задача: сумма равна среднему, умноженному на количество

Среднее арифметическое#

сумма чисел, делённая на их количество

Средний балл#

среднее арифметическое всех отметок за период

Средняя скорость#

весь путь, делённый на всё время движения

Обратная задача#

восстановление суммы или пропущенного числа по известному среднему

Прикидка#

быстрая проверка: среднее лежит между минимумом и максимумом списка

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема