Деление десятичных дробей: запятая за запятой

Кассир назвал 312 р. за 2,4 кг яблок, и тебе хочется понять, честно ли это. Пускай за килограмм — и вот тут встреча с делением десятичных дробей: 312 нужно разделить на 2,4. Ни сложение, ни умножение тут не помогут — только деление вернёт тебе цену за килограмм. Секрет в одном движении: сдвинуть запятые, превратить пример в привычный 3120 : 24 и получить 130 р. А теперь разберёмся, почему запятые разрешено двигать и где это движение подводит.

Деление — операция, обратная умножению: найти 312 : 2,4 — значит отыскать число, которое при умножении на 2,4 даст 312. Проверка: 2,4 · 130 = 312. Сходится. У деления десятичных дробей два случая, и они действительно разные. Если делитель натуральный — 7, 24, 100 — запятая в делимом живёт своей жизнью и просто переезжает в частное. Если делитель сам дробный — 2,4, 0,5, 0,07 — сначала двигаем обе запятые, а уже потом делим как обычно. Разберём оба по порядку.

Деление на натуральное число

Дели на натуральное число столбиком так же, как делил натуральные числа: поразрядно, слева направо. Вся новизна — в одной детали: когда целая часть делимого закончится, в частном ставится запятая, а дальше сносятся разряды после запятой. Запятая в частном появляется ровно в тот момент, когда она «проехала» в делимом, — поэтому её не потеряешь.

Случай, когда целая часть меньше делителя, пугает многих зря. Делим 2,88 на 8: два на восемь не делится — значит, в частном 0 целых и сразу запятая. Дальше всё знакомо: 28 : 8 = 3, остаток 4, сносим 8 — получаем 48, а 48 : 8 = 6. Ответ 0,36. Проверка: 8 · 0,36 = 2,88. А деление на 10, 100 и 1000 вообще не требует столбика: запятая уезжает влево на столько разрядов, сколько нулей в делителе, — 46,2 : 10 = 4,62, 46,2 : 100 = 0,462.

Деление на десятичную дробь: двигаем две запятые

Делить на дробное число столбиком неудобно — и не нужно. Сделай делитель натуральным: сдвинь в нём запятую вправо на все разряды. Но запятую нельзя двигать у одного числа в одиночку — вместе с ней едет и запятая делимого, причём на столько же разрядов. Не хватает разрядов в делимом — допиши справа нули: они у десятичной дроби бесплатные. После этого пример превращается в деление на натуральное число, с которым ты уже разобрался.

Почему законно сдвигать запятые у обоих чисел? Потому что делимое и делитель умножили на одно и то же число — 10, 100 или 1000. Когда оба числа растут в одинаковое количество раз, частное не меняется: 12 : 4 = 3 и 120 : 40 = 3 — ведь увеличилось и «сколько делим», и «на сколько делим». Это то же самое правило, которое в 6 классе станет основным свойством дроби, — только пока в костюме запятых.

Прикидка и проверка

Прикидка ловит потерянные запятые мгновенно. Перед делением округли оба числа до удобных: 312 : 2,4 — это примерно 300 : 3 = 100. Значит, ответ должен быть порядка сотни. Получилось 13? Ты сдвинул запятую не туда. Получилось 1300? То же самое, только в другую сторону. Точный ответ 130 стоит рядом с прикидкой — можно доверять. Одна секундная прикидка экономит целую контрольную.

Вторая страховка — проверка умножением: частное умножь на делитель, и должно вернуться делимое. Нашли 7,75 : 2,5 = 3,1 — проверь: 3,1 · 2,5 = 7,75. Делили на 0,07 и получили 50 — проверь: 0,07 · 50 = 3,5. Умножение и деление проверяют друг друга, как чек и сдача. Если произведение не совпало — ошибка в делении, иди искать запятую.

Крайние случаи помогают чувствовать деление. Деление на 1 ничего не меняет: 7,5 : 1 = 7,5. А деление на 0,1 — это вопрос «сколько десятых в числе»: 7,5 : 0,1 = 75, число выросло в десять раз. Между этими полюсами и живёт вся тема: чем меньше делитель, тем больше частное. Увидел делитель меньше единицы — мысленно подними флажок «ответ будет больше делимого».

Отдельная честность нужна с разрядами. В делимом не хватает мест для сдвига — дописывай нули справа: 5 : 8 превращается в 5,000 : 8 = 0,625. Частное может получиться длинным — 1 : 3 = 0,333... — тогда его округляют по правилам из темы про округление. А в задачах про деньги частное часто само получается круглым: продавцы знают цену за килограмм заранее, и твой ответ 130 из примера с яблоками тому подтверждение.

Словарь урока

Делимое#

Число, которое делят: в записи 312 : 2,4 это 312.

Делитель#

Число, на которое делят: в примере выше — 2,4. Его запятая задаёт сдвиг.

Частное#

Результат деления: 130. Проверяется умножением на делитель.

Сдвиг запятых#

Перенос запятых в делимом и делителе на одинаковое число разрядов вправо.

Прикидка#

Быстрая оценка ответа на круглых числах, чтобы заметить потерянную запятую.

Проверка умножением#

Частное · делитель = делимое — двухстрочная страховка от ошибок.

Деление десятичных дробей собрано из трёх движений: сдвинуть две запятые вместе, разделить как натуральные, вернуть смысл ответу проверкой и прикидкой. Дальше это умение будет работать само: цена за грамм, расход бензина на сотню километров, скорость по расписанию. Прорешай тренажёр до автоматизма — и на контрольной запятая будет ездить куда надо без твоих переживаний.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема