Задачи на движение по реке: течение как пятый участник

Лодка довезла тебя до пляжа за час, а обратно та же самая лодка тащилась два часа. Двигатель тот же, вёсла те же, путь тот же — 12 км в одну сторону. Разгадка плещется под днищем: на пути туда река помогала, на пути назад мешала. Такие задачи легко решаются, если помнить, что у лодки есть собственная скорость, а у реки — своя. Сейчас разложим их по полочкам, чтобы на контрольной река была союзником, а не сюрпризом.

В обычных задачах на движение три героя: путь, время и скорость. Река добавляет четвёртого — течение, и заодно меняет характер пятого — лодки. Оказывается, у лодки есть две скорости: собственная, с которой она идёт в стоячей воде, например в озере, и та фактическая, которую показывает карта, когда вода течёт. Течение — честный носильщик: оно толкает вниз по реке и плот, и катер, и упавший лист с одинаковой скоростью. А вот лодка может и соглашаться с толчком, и бороться с ним — отсюда вся математика темы.

Собственная скорость и скорость течения

Собственная скорость — то, с чем лодка шла бы в стоячей воде: греби в озере и измерь. Скорость течения — то, насколько река сама несёт всё, что в ней плавает; её удобно измерять по плоту, у которого мотора нет. Когда лодка идёт вниз по реке, течение подгоняет: к собственной скорости прибавляется скорость реки. Когда вверх — течение оттягивает назад: от собственной скорости остаётся разность.

Пусть собственная скорость лодки 9 км/ч, а река течёт со скоростью 3 км/ч. Вниз по реке лодка несётся со скоростью 9 + 3 = 12 км/ч — течение бесплатно добавляет к каждому часу пути три километра. Вверх — со скоростью 9 − 3 = 6 км/ч: вдвое медленнее, и потому обратный путь занял вдвое больше времени. Заметь: собственная скорость всегда сидит между скоростью по течению и скоростью против течения — она больше одной и меньше другой.

Две формулы: по течению и против

Обе формулы собираются из одного вопроса: течение помогает или мешает? Помогает — складываем. Мешает — вычитаем. Никаких других операций по реке не бывает, и в этом прелесть темы: перепутать сложение с вычитанием сложнее, чем запомнить две строчки.

Плот — отдельный персонаж. У него собственной скорости нет вовсе: он не гребёт и не жжёт бензин, его несёт только поток. Поэтому плот всегда движется со скоростью течения и только вниз по реке. В задачах плот — бесплатный измеритель реки: если сказано, что плот прошёл 8 км за 4 часа, то течение равно 8 : 4 = 2 км/ч. Нашёл скорость течения — открыл дорогу ко всем остальным расчётам.

Плот в задаче — не украшение, а ключ. Пример: плот проплыл 12 км за 6 часов — течение 2 км/ч. Лодка за 2 часа по течению прошла 20 км, значит, её скорость по течению 10 км/ч. Вычли течение — получили собственную скорость 8 км/ч, а заодно и скорость против течения: 6 км/ч. Три строки — и вся река разложена по цифрам, хотя в условии не было ни слова про скорость лодки в стоячей воде.

Хитрые вопросы: разница скоростей и обратные задачи

В задачах любят спрашивать не скорость, а разницу. На сколько скорость по течению больше скорости против течения? Вычти формулы — собственная скорость сократится, и останется удвоенное течение: (v соб + v теч) − (v соб − v теч) = 2 · v теч. Проверим на числах: 12 + 4 = 16, 12 − 4 = 8, разница 16 − 8 = 8 — ровно два течения по 4. Теперь это не совпадение, а правило.

Обратные задачи восстанавливают скрытые скорости. Известны скорость по течению 14 км/ч и против — 8 км/ч. Сложи их: 14 + 8 = 22 — это удвоенная собственная скорость, потому что в первой сумма, во второй разность, а течение сокращается. Делим пополам: собственная скорость 11 км/ч. Тогда течение 14 − 11 = 3 км/ч. Проверка: 11 + 3 = 14 и 11 − 3 = 8 — обе скорости вернулись на место.

Время на реке тоже ведёт себя неочевидно. Путь 30 км, собственная скорость 11, течение 1: по течению выйдет 12 км/ч — два с половиной часа, а против — 10 км/ч и целых три часа. Разница в скорости маленькая, а во времени заметная: полчаса на каждом обратном пути, а за десять обратных дорог — уже пять часов. Время считай отдельно для каждого направления по правилу «путь делить на скорость» — и никогда не угадывай «примерно поровну».

Ещё одна встреча на реке — навстречные и вдогонку. Два катера едут навстречу друг другу по реке: скорость сближения берётся из их собственных скоростей, а течение в сумме сокращается, потому что одному помогает, другому мешает. Поэтому в задачах на встречу реку часто можно вообще не считать — она вежливо выходит из формулы. Но проверять это стоит каждый раз письменно: сложил по течению первого и против течения второго — и посмотри, что осталось. Пример: у первого собственная скорость 12 км/ч, он идёт по течению, река — 3 км/ч; у второго собственная 8 км/ч, он идёт против того же течения. Скорости выходят 15 и 5, в сумме 20. А теперь убери реку: 12 + 8 = 20. Течение стёрлось — ровно как обещало.

Словарь урока

Собственная скорость#

Скорость лодки в стоячей воде — без течения, например в озере.

Скорость течения#

Насколько река сама несёт всё, что плавает. Равна скорости плота.

Скорость по течению#

Собственная скорость плюс скорость течения.

Скорость против течения#

Собственная скорость минус скорость течения.

Плот#

Судно без мотора и вёсел: плывёт только со скоростью течения и только вниз.

Удвоенное течение#

Разность скоростей по течению и против — то, на что река меняет ход.

Река перестаёт быть сюрпризом, когда у неё два честных названия: помогай и мешай. По течению — прибавляем, против — вычитаем, плот — чистое течение, а разница скоростей туда и обратно всегда равна удвоенному течению. Прогони тренажёр: сначала посчитай десяток скоростей по формулам, потом пару обратных задач — и на контрольной река будет работать на тебя.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема