Калькулятор дробей онлайн

В рецепте на 4 порции риса нужно 3/4 стакана, а готовить вы собрались на 6 человек. Крупы потребуется в полтора раза больше — это 3/4, умноженная на 3/2. Или ремонт: от трубы длиной 5/6 метра отрезали кусок в 1/3 метра — сколько осталось? Обе задачи решаются действиями с обыкновенными дробями, и на глаз здесь легко ошибиться. Калькулятор выше складывает, вычитает, умножает и делит дроби: вводишь числитель и знаменатель каждой, выбираешь действие — получаешь несократимую дробь, десятичную запись и разбор каждого шага. Сначала прикинь ответ сам, потом сверяйся.

Что такое дробь: числитель и знаменатель

Обыкновенная дробь — это запись доли числа: $\frac{3}{4}$ читается как «три четвёртых» и означает, что целое разрезали на 4 равные части и взяли 3 из них. Нижнее число называют знаменателем — он показывает, на сколько частей поделено целое. Верхнее — числителем: сколько таких частей взято. Знаменатель не может быть нулём: делить целое на ноль частей невозможно, запись с нулём внизу бессмысленна. Калькулятор в этом случае покажет предупреждение и считать не станет. Полезно держать в голове картинку: пицца разрезана на 8 кусков — знаменатель 8, съели 3 куска — на тарелке осталась дробь 5/8.

Дроби бывают правильные, где числитель меньше знаменателя (3/4), и неправильные, где числитель равен знаменателю или больше него (5/4). Неправильную дробь удобно переписать смешанным числом — целой частью с правильной дробью рядом: 5/4 = 1 1/4. Перед вычислениями смешанные числа переводят в неправильные: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель, поэтому 1 1/4 превращается в 5/4. В ответе поступают наоборот: делят числитель на знаменатель с остатком, частное становится целой частью, остаток — новым числителем. Калькулятор делает этот шаг сам, если результат вышел неправильным.

У любой дроби есть и десятичная запись: делишь числитель на знаменатель уголком — и готово. 3/4 — это 0,75, а 3/8 — это 0,375. Черта дроби — тот же знак деления: 3/4 буквально значит «три делить на четыре», и десятичная запись получается именно этим делением. Иногда оно не заканчивается никогда: 1/3 даёт 0,3333 без конца, и в тетради такой ответ честнее оставить обыкновенной дробью. Отсюда рабочее правило: деньги и показания приборов живут в десятичных записях, а рецепты, доли и точные ответы в алгебре — в обыкновенных. Калькулятор показывает обе записи сразу, так что сверить десятичное приближение со своим решением можно на бегу.

Сложение и вычитание: сначала общий знаменатель

Складывать можно только одинаковые доли: трети с третями, восьмые с восьмыми. Если знаменатели разные, обе дроби приводят к общему знаменателю — выгоднее всего брать наименьшее общее кратное (НОК). Для знаменателей 3 и 4 НОК равен 12: первую дробь расширяем на 4, вторую — на 3. Дальше знаменатели одинаковые, и числители складывают или вычитают как обычные числа. Последний шаг всегда один и тот же — сокращение: числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель (НОД). Восемь двенадцатых после сокращения превращаются в 2/3 — несократимую дробь, у которой НОД числителя и знаменателя равен единице.

Формула выше — тот же алгоритм, свёрнутый в одну строку: числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, числитель второй — на знаменатель первой, результаты складываются, а внизу стоит произведение знаменателей. Для 2/3 и 1/4 получается 11/12. Но у формулы есть нюанс: произведение знаменателей всегда работает, хотя не всегда даёт наименьший общий знаменатель. Для 1/6 и 1/4 она выдаст 10/24, хотя через НОК путь короче и чище: 2/12 + 3/12 = 5/12. Калькулятор считает именно через НОК, поэтому промежуточные числа остаются маленькими, а ответ сразу выходит сокращённым.

Как быстро найти НОК двух знаменателей? Маленькие числа покрываются перебором кратных: для 4 и 6 пишешь 4, 8, 12 — и первое число, делящееся на оба, равно 12. Способ посерьёзнее — через НОД: перемножь знаменатели и раздели на их наибольший общий делитель, для 4 и 6 это 4 · 6 : 2 = 12. Если общих делителей, кроме единицы, нет, НОК равен произведению — из этого случая и вырастает формула ad + cb над bd. А если один знаменатель делится на другой нацело, общий знаменатель — просто больший из них: для 3 и 12 расширять ничего не нужно.

Умножение и деление: проще, чем сложение

Для умножения общий знаменатель не нужен вовсе: числитель умножается на числитель, знаменатель на знаменатель — 2/3, умноженная на 1/4, даёт 2/12, а после сокращения 1/6. Крайние случаи предсказуемы: умножение на единицу ничего не меняет, на ноль даёт ноль, а умножение на 1/2 уменьшает число вдвое — «половина от» и есть умножение на дробь. Деление устроено похожим образом: вторую дробь переворачивают и выполняют умножение, поэтому 3/5 при делении на 2/5 превращается в 3/5, умноженную на 5/2, то есть в 3/2. Главная привычка, которую стоит выработать, — сокращать до перемножения: в примере с пятёрками множитель исчезает ещё до умножения, и вместо больших произведений перемножаются маленькие числа.

У деления на дробь есть буквальный смысл, и он объясняет, зачем переворачивать вторую дробь. Вопрос «1 разделить на 1/4» — это «сколько четвертей укладывается в целом?» Ответ очевиден: четыре. Поэтому деление на долю увеличивает число, хотя делить по школьной интуиции вроде бы положено уменьшать. Если в ответе вышло число больше первого слагаемого при делении на дробь меньше единицы — всё правильно, так и должно быть. Калькулятор показывает переворот явно: сначала деление, затем то же самое через умножение.

Где дроби встречаются без всякой школы

Кухня — чемпион по дробям: полстакана сахара, четверть ложки соли, треть плитки шоколада в тесто. Ремонт тоже не обходится без них: отрезали 1/3 от трубы в 5/6 метра, осталась половина мешка клея на стену, потолочная плитка закрывает 3/4 комнаты. Время — те же доли: четверть часа — это 15 минут, а три четверти урока при 40 минутах — полчаса. В чертежах и моделях дробь живёт в масштабе 1/100 или 1/500. И главное — текстовые задачи на работу и скорость в ОГЭ: сравнить «справился за 3/2 часа» и «за 4/3 часа» без приведения к общему знаменателю не выйдет.

Дроби и сравнение — ещё одно ежедневное дело. Какая плитка выгоднее: покрытие 3/8 квадратного метра за ту же цену или 5/12? Приведи к общему знаменателю 24 — выйдет 9/24 против 10/24, и выбор очевиден. Тот же приём работает при сравнении остатков: на дне канистры 3/10 литра масла или 1/3 — где больше? Прямо сравнивать доли с разными знаменателями — та же ловушка, что и складывать: сначала общая мера, потом вывод. В 5 классе этому учат на числовой оси, и ось не врёт: приведение к общему знаменателю — просто способ увидеть, какая точка правее.

Порядок работы с калькулятором: введи числитель и знаменатель дроби A, затем дроби B, выбери действие кнопкой. В шагах появятся НОК знаменателей, расширение дробей, само действие и сокращение на НОД — сверь со своим решением и найди место, где разошлись результаты. Хочешь разобраться глубже — двигайся по урокам: сначала обыкновенные дроби, потом сложение и вычитание, затем умножение с делением. Три урока ниже закрывают всю тему целиком.