Обыкновенные дроби

День рождения, и на столе пицца, разрезанная на 8 равных кусков. Ты съел 3. Сколько пиццы ушло на тебя? Три восьмых — и записывается это одной записью с чертой: $\frac{3}{8}$. Такие записи называют обыкновенными дробями. Они окружают тебя: половина яблока, четверть часа на игры, треть стакана муки в рецепте оладий. Сейчас разберём, как дробь устроена и что означают оба её числа.

Числитель и знаменатель: кто где стоит

Под чертой пишут знаменатель — он показывает, на сколько равных частей разделили целое. Над чертой — числитель: сколько частей взяли. В дроби $\frac{3}{8}$ знаменатель 8: пиццу поделили на 8 кусков. Числитель 3: взяли три. Читается запись как «три восьмых», а $\frac{5}{12}$ — «пять двенадцатых». Дробь — это ещё и деление: $\frac{3}{8}$ значит 3 : 8. Отсюда и названия долей: половина — $\frac{1}{2}$, треть — $\frac{1}{3}$, четверть — $\frac{1}{4}$.

Рецепт блинов: полтора стакана муки, треть чайной ложки соли, половина литра молока. Мама делит яблоко на четверых — каждому по четверти. Дроби — язык деления: любое целое можно разрезать на равные части и посчитать их. Возьми полоску бумаги, согни пополам — получишь половины. Согни ещё раз — четверти. Ещё раз — восьмые. Каждое сгибание удваивает знаменатель и уменьшает части вдвое. Так дробь превращается из знака на бумаге в вещь, которую можно потрогать.

• Четверть часа — 15 минут: четверть от 60
• Половина килограмма муки — 500 граммов
• Треть литра сока — примерно 333 миллилитра
• Полтора часа — это час и ещё половина

Дробь читают по-разному, и от этого зависит понимание. «Три восьмых» и «три из восьми» — одно и то же. А вот «три восьмых от ста» — уже задача: 100 : 8 · 3 = 37 с половиной, то есть 37,5. В киоске продают сок в тетрапаках по литру, ты выпил четверть — осталось три четверти литра, это 750 миллилитров. Литр — 1000 мл, четверть — 250 мл. Миллилитры, граммы, сантиметры — всё это целое, которое дроби режут на части.

Знаменатель никогда не бывает нулём: на ноль частей делить нельзя — дробь потеряет смысл. А вот числитель может: ноль из пяти — ничего. Такую дробь зовут нулём, и это честно: не взял ни куска. И ещё одно следствие: дробь, у которой числитель равен знаменателю, — это всё целое, единица.

Дроби пишут не только с чертой. В рецептах и на упаковках встречается запись «1/2» — та же половина, только в строку. В спортивных таблицах и адресах сайтов половина выглядит как 1/2, а читается одинаково: числитель, потом знаменатель. В тетради пиши с чертой — так видно, что сверху и что снизу. А в переписке сойдёт и через слеш — главное, не перепутай порядок: сначала верх, потом низ.

Проверь себя на секундах: полминуты — это 30 секунд, то есть половина минуты. Треть минуты — 20 секунд. Четверть часа — 15 минут, потому что час — это 60 минут, и 60 : 4 = 15. А треть часа? 60 : 3 = 20 минут. Так дроби связывают часы, минуты и секунды — и без них не разобраться ни в расписании автобусов, ни в таймере микроволновки, ни в круге секундомера на физкультуре.

Три пирога и восемь едоков: дробь как деление

Вернёмся к правилу «дробь — это деление» и проверим его на настоящей кухне. Мама испекла три одинаковых пирога и позвала восемь гостей. Как разделить угощение поровну? Каждый пирог режем на восемь равных частей, и каждому гостю достаётся по куску от каждого пирога — всего три куска. Каждый кусок — одна восьмая, а три куска — три восьмых. Запись 3 : 8 и запись «три восьмых» описывают одно и то же разделение: сколько получил каждый и на сколько частей делили.

Тот же фокус с двумя пирогами на четверых: каждый пирог режем на четыре части, и гость получает два куска, то есть две четверти. А две четверти — это ровно половина пирога. Получается, 2/4 и 1/2 — разные записи одного и того же количества: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, величина дроби не изменится. Это свойство станет главным инструментом в шестом классе, а пока пользуйся им как проверкой: закрась полоску двумя способами и убедись, что закрашенное совпадает.

Разбор типовой задачи

Задача из учебника: в книге 48 страниц, и Ваня уже прочитал 5/8 всей книги. Сколько страниц он прочитал и сколько ему осталось?

Шоколадка из двадцати долек

Шоколадка — готовая модель дроби: дольки видны, и их можно пересчитать. Возьмём плитку из 20 долек. Ты съел 5 — вышло 5/20, а это четверть: 5 долек укладываются в плитке ровно четыре раза. Сестра взяла 10 долек — половину. Папа взял 4 дольки — пятую часть. Одну плитку можно описать тремя разными дробями, и все они честные.

Сложим съеденное: 5 + 10 + 4 = 19 долек из 20, то есть 19/20 плитки. Осталась одна долька — одна двадцатая. На этой модели работают сразу три действия: сравнение (у сестры больше всех), сложение (19 долек вместе) и вычитание (до целой плитки не хватает одной дольки). Нарисуй плитку из клеток в тетради — и любой вопрос про доли решается одним взглядом.

Дроби в дороге: считаем километры

Поездка до бабушки — 240 км. Ты проехал треть пути — это 240 : 3 = 80 км, осталось 160, то есть две трети. Через час в пути пройдено ещё 60 км — всего 140. Сколько это дороги? Делим 240 на 12 частей — по 20 км, значит, 140 км — это семь двенадцатых пути. Дробь здесь не украшение, а способ спросить «сколько уже позади» и получить точный ответ.

Тот же приём считает бензин. В баке 20 литров, израсходовали четверть — это 20 : 4 = 5 литров, осталось 15, то есть три четверти. В следующую поездку сожгли треть остатка: 15 : 3 = 5 литров. Внимание: здесь треть берётся от остатка, а не от полного бака, и это разные числа, хотя дробь та же. Всегда смотри, от чего считается доля: от целого бака или от того, что в нём осталось.

Словарь урока

Доля#

Одна из равных частей целого: половина, треть, четверть.

Обыкновенная дробь#

Запись части целого с чертой: числитель над знаменателем.

Числитель#

Число над чертой: сколько частей взяли.

Знаменатель#

Число под чертой: на сколько равных частей разделили целое.

Дробная черта#

Знак деления: дробь 3/8 читается и как «три восьмых», и как «3 разделить на 8».

Целое#

Все части вместе: дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице.

Как это спрашивают на контрольной

• Какую часть суток составляют 6 часов? Пиши дробью: 6/24, а это четверть
• Найди 2/5 от 45: делишь 45 на 5 и умножаешь на 2, получится 18
• Полоску длиной 16 см разделили на 8 равных частей. Какова длина одной части? 2 см
• Отрезок 12 см разделили на 3 равные части и взяли 2. Сколько сантиметров взяли? 8 см
• Сколько минут в 5/6 часа? Делишь 60 на 6, умножаешь на 5 — 50 минут

Формулировки бывают хитрые: вместо «найди дробь от числа» пишут «сколько сантиметров в трёх четвертых отрезка» или «какую часть пути ты прошёл». Не пугайся слов — выписывай числа: целое, числитель, знаменатель. Схема одна: целое делим на знаменатель и умножаем на числитель. Если просят записать дробь, помни: сверху то, что взяли. И проверяй ответ рисунком — полоска или круг за минуту покажет, прав ли ты.

Дробь — это ещё и деление, а деление числителя на знаменатель столбиком превращает обыкновенную дробь в десятичную: у одних дробей ответ получается конечным, у других цифры после запятой начинают повторяться. Хочешь превратить дробь в десятичную или найти у неё период — открой калькулятор периодической дроби /calc/periodic-drob/: он делит в столбик до повторения остатка и показывает непериодическую часть и период, а ещё переводит периодическую запись обратно в обыкновенную дробь.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, клик по картинке — на весь экран, ←/→ — листать, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема