Умножение обыкновенных дробей

Ремонт в разгаре: на покраску одного окна уходит $\frac{3}{8}$ литра краски. Хватит ли пол-литровой банки на два окна? Считаем: $\frac{3}{8}\cdot 2=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ литра, а это больше половины. Не хватит — бери вторую банку сразу. Заметь: общий знаменатель здесь не понадобился вообще. При умножении складывать доли не нужно — они перемножаются.

Как умножить дробь на дробь и на число

Правило короче не бывает: числитель умножь на числитель, знаменатель на знаменатель. $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$. Целое число записывай со знаменателем 1: $3=\frac{3}{1}$, тогда $\frac{3}{8}\cdot 2=\frac{6}{8}$. Смешанные числа сначала переводи в неправильные: $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, и $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}=1$. Главный лайфхак — сокращай до умножения, крест-накрест: в примере $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}$ четвёрка с восьмёркой делятся на 4, тройка с девяткой на 3 — останется $\frac{1}{6}$. Совет: сокращай сразу, а не в ответе: числа меньше, ошибки реже.

Откуда берётся правило, если при сложении нужен общий знаменатель? Возьмём $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}$. Сначала целое разделили на 3 равные части и взяли две — это две трети. Теперь каждую треть делим ещё на 5 частей: во всём целом получается 3 · 5 = 15 долей, а в наших двух третях — 2 · 5 = 10 таких долей. Отбираем из них четыре из каждых пяти: остаётся 8 долей из 15. Вышло $\frac{8}{15}$ — ровно то, что даёт правило «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель». Знаменатели перемножились, потому что целое делили дважды, а числители — потому что доли отбирали дважды.

Умножение дроби на целое число — то же правило, просто у целого знаменатель 1. Рецепт рассчитан на 4 порции, и в каждой порции $\frac{2}{5}$ стакана риса. Сколько риса отмерить на весь обед? Считаем: $\frac{2}{5}\cdot 4=\frac{8}{5}$, а это $1\frac{3}{5}$ стакана. Проверка в уме: пятая часть стакана — пара столовых ложек, четыре порции — почти полтора стакана. Сходится. Кстати, дроби можно переставлять: $4\cdot \frac{2}{5}$ даст те же $\frac{8}{5}$, ведь от перестановки множителей произведение не меняется — это свойство работает и для дробей.

Часть от части: главная идея умножения

Пиццу разрезали на 8 кусков, ты съел 3/8, а потом ещё половину остатка. Остаток 5/8, и половина от него — 5/16: считается умножением 5/8 · 1/2 = 5/16. Так «часть от части» работает в каждом рецепте — взять 2/3 от 3/4 стакана муки значит перемножить дроби, а не складывать их.

Найти дробь от числа — то же умножение. Нужно найти $\frac{3}{5}$ от 400 рублей? Умножай: $\frac{3}{5}\cdot 400=\frac{1200}{5}=240$ рублей. Раньше ты считал это в два действия: делил 400 на 5 частей — по 80 рублей, потом брал три части. Умножение делает то же самое одной строкой. Проверяй себя так: раздели число на знаменатель и умножь на числитель — значение выйдет то же.

Так считаются вложенные части. Дачный участок занимает 6 соток, под огород отвели $\frac{2}{3}$ участка, а половину огорода засадили картошкой. Сколько соток под картошкой? Перемножаем доли: $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ участка — то есть 2 сотки. Половина от двух третей оказалась одной третью. Каждый раз, когда одна доля сидит внутри другой, ответ даёт одно умножение — без промежуточных пересчётов. Этот приём экономит силы в задачах про скидки, рецепты и ремонт.

Перед вычислением прикинь ответ. Произведение двух правильных дробей меньше каждого множителя: половина от трети — меньше трети. Если второй множитель целое число, а первый — правильная дробь, произведение меньше целого: $\frac{3}{8}\cdot 2$ меньше двух, ведь взяли три восьмых от каждого из двух литров, а не литры целиком. Прикидка мгновенно ловит потерянное сокращение или лишний ноль: если в ответе на $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}$ вдруг вышло число больше единицы — ищи ошибку.

Есть два особых множителя. Умножил на 1 — дробь не изменилась: числитель вырос в единицу, знаменатель тоже. Умножил на 0 — получил 0, как и с любым числом. А вот умножение на перевёрнутую дробь даёт 1: $\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1$. Такие пары называют взаимно обратными числами — в теме деления дробей они станут главным инструментом. Держи все три случая в голове: они выручают на контрольных при быстрой проверке рассуждений.

Сокращение — это деление числителя и знаменателя на общий делитель, и при умножении оно особенно выгодно. Возьмём $\frac{8}{9}\cdot \frac{3}{10}$. Сразу видно: 8 и 10 делятся на 2, а 3 и 9 — на 3. После сокращения остаётся $\frac{4\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{4}{15}$ вместо громоздких $\frac{24}{90}$. Оба ответа верные, но с маленькими числами проще жить: их легче перемножать, проверять и переводить в смешанные. Сокращать можно и внутри одной дроби: у $\frac{4}{8}$ числитель со знаменателем делятся на 4 — та же честная экономия до всякого умножения.

Умножение смешанных чисел

Со смешанными числами порядок жёсткий: сначала переводим в неправильные дроби, потом умножаем, в конце выделяем целую часть. Кастрюля вмещает $2\frac{1}{2}$ литра, ты наполнил её на $\frac{3}{4}$ — сколько литров в ней? Переводим: $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Умножаем: $\frac{5}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{8}$. Выделяем целую часть: $1\frac{7}{8}$ литра — почти полная кастрюля. Ответ в виде $\frac{15}{8}$ считается незаконченным: и в тетради, и в чертежах возвращаются к смешанному виду.

Умножать можно и три дроби, и больше: правило не меняется, просто числители и знаменатели собираются со всех множителей. Пример из жизни: шанс выбросить на кубике именно четвёрку равен $\frac{1}{6}$, а шанс сделать это три раза подряд — $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{216}$. Дробь вышла крошечной: каждый новый множитель снова делит результат. Множителей можно ставить в любом порядке, поэтому сокращай по ходу дела: увидел общий делитель у числителя одной дроби и знаменателя другой — дели сразу, не дожидаясь финальной дроби.

• рецепты: пересчитать количество продуктов под другое число порций
• ремонт: расход краски на несколько одинаковых окон или дверей
• деньги: премия $\frac{1}{4}$ от оклада, скидка $\frac{2}{5}$ от цены
• рукоделие: отрезать $\frac{3}{8}$ метра ленты три раза для трёх бантиков

Произведение дробей#

результат умножения: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель

Сокращение крест-накрест#

деление числителя одной дроби и знаменателя другой на общий делитель

Неправильная дробь#

дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему

Часть от части#

доля, взятая от другой доли; считается одним умножением

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема