Математика · 6 классурок · 2026-09-27~7 мин чтения

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Учимся приводить дроби к общему знаменателю и вычитанию дробей: наименьший общий знаменатель, дополнительные множители, примеры по шагам и тренажёр.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Тесто на блины: по рецепту нужно $\frac{2}{3}$ стакана сахара и $\frac{1}{2}$ стакана муки. Мама просит отмерить всё сразу в одну миску — сколько стаканов сыпучего выйдет? Рука тянется написать $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{5}$ — стоп, так нельзя. Трети и половины — разные доли целого, пересчитывать их одной кучей бессмысленно. Сначала нужен общий знаменатель.

Общий знаменатель и дополнительные множители

Общий знаменатель — это общие доли для обеих дробей. Для знаменателей 3 и 2 наименьший общий знаменатель равен 6: это наименьшее число, которое делится на оба. Дальше всё просто: делишь общий знаменатель на старый — получаешь дополнительный множитель, домножаешь на него числитель и знаменатель. Считаем блины: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$ стакана. Вычитание дробей устроено так же: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ . Совет: перед поиском кратных проверь, делится ли больший знаменатель на меньший. Если да — он и есть общий, и перебирать ничего не нужно.

Шаг	Что делаем	Пример
первый	найди наименьший общий знаменатель — НОК знаменателей	для 3 и 4 это 12
второй	найди дополнительный множитель для каждой дроби	$12 : 3 = 4$ и $12 : 4 = 3$
третий	умножь числитель и знаменатель на свой множитель	$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ , $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$
четвёртый	сложи или вычти числители, ответ сократи	$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

Сложение через общий знаменатель

\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}

Дополнительный множитель: умножай и числитель, и знаменатель

Копилка на наушники: у тебя уже лежит 1/2 нужной суммы, и сегодня ты добавил ещё 1/3. Складывать доли в лоб нельзя — приводим к знаменателю 6: 3/6 + 2/6 = 5/6 суммы уже накоплено. До покупки осталась всего 1/6 — как раз повод добить копилку на выходных.

Когда в ответе больше целого

Складывая доли, легко выскочить за единицу: 2/3 + 1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6. Семь шестых — это больше целого стакана, и так дробь не оставляют: выделяют целую часть. 7/6 — это 1 целая и 1/6, потому что в числителе 7 укладывается одна шестёрка, а 1 остаётся сверху. В задачах про блины ответ так и читается: «один стакан и ещё шестая». Неправильная дробь в ответе считается незаконченной — выделяй целую часть всегда.

Вычитание хитрее: бывает, что из меньшего числителя нужно вычесть больший. Возьмём 3/4 − 5/8. Общий знаменатель 8: выходит 6/8 − 5/8 = 1/8 — тут всё прошло само. А вот 5/6 − 3/4: приводим к 12, и выходит 10/12 − 9/12 = 1/12. До приведения казалось, что из 5 нельзя вычесть 3 с запасом, а после приведения всё встало на места. Правило одно: сначала общий знаменатель, потом считай числители — и не пугайся промежуточных дробей.

Смешанный ответ читается по жизни: 7/6 стакана — это целый стакан и ещё чуть-чуть. В рецептах так и говорят «полтора стакана муки», а не «три вторых»: записи 3/2 и 1 1/2 — одна и та же величина, просто в быту удобнее вторая. Перевод туда и обратно — простая арифметика: разделил числитель на знаменатель — взял целую часть, а остаток записал сверху. Проверь себя: 11/8 — это 1 целая и 3/8, ведь 8 в 11 укладывается один раз, и остаток 3.

Три дроби в одном примере

На контрольной любят примеры из трёх дробей — пугаться нечего, схема та же. Вычислим 1/4 + 2/5 + 3/10. Знаменатели 4, 5 и 10; наименьший общий знаменатель — 20. Дополнительные множители: 20 : 4 = 5, 20 : 5 = 4, 20 : 10 = 2. Дроби превращаются в 5/20, 8/20 и 6/20. Складываем числители: 5 + 8 + 6 = 19, ответ 19/20.

Сократить нельзя: у 19 и 20 общих делителей нет. Проверь прикидкой: 1/4 — это 5/20, 2/5 — это 8/20, 3/10 — 6/20, и все три вместе чуть-чуть не дотягивают до целого. До единицы не хватило ровно 1/20. Кстати, именно так считают рецепты: половина стакана, треть и ещё четверть — привели к общему знаменателю и знаешь точный объём теста.

После такого примера полезен обратный ход: 19/20 — это чуть меньше целого, и каждая дробь по отдельности меньше единицы. Если бы вышло, скажем, 21/20, стоит поискать потерянное сокращение или лишнюю единицу в числителях. Прикидка до вычисления и после него — привычка, которая экономит баллы: она ловит ошибку раньше, чем её увидит учитель. А если ответ вышел целым — перепроверь, точно ли сложил все числители.

Проверь ответ в уме: три быстрых прикидки

Первая прикидка — по смыслу операции. Складывая две доли, помни: результат больше каждой из них. Если после сложения 3/8 и 1/4 у тебя вышло меньше трёх восьмых — где-то потерян числитель. При вычитании наоборот: разность меньше уменьшаемого. Эти простые проверки ловят самые обидные описки за три секунды — раньше, чем тетрадь уйдёт учителю.

Вторая прикидка — по половине. Приведи мысленно обе дроби к понятным соседям: 5/8 — это чуть больше половины, 2/5 — чуть меньше. Значит, их сумма лишь немного перевалит за целое, а разность — маленькая положительная доля около четверти. Третий ориентир — целая часть: складывая две правильные дроби, получишь максимум почти два целых. Если вышло «три с половиной» из двух дробей меньше единицы — ошибка рядом, и искать её нужно в дополнительных множителях.

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

К общему знаменателю — каждая дробь со своим множителем

Закрашено 0 из 12 = 0/12

Половины, трети и двенадцатые

Закрась 5/12 — ровно столько получится, если сложить 1/4 и 1/6.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 5

Термины

Определения

Собери пары равных дробей

Кликни дробь, затем её сестру с знаменателем 12.

Выучено: 0 из 5 · В колоде: 5

Карточки: общий знаменатель

Переверни карточку, проверь себя и отложи — так колода собирается быстрее всего.

Разбор типовой задачи

Вычисли: 5/6 − 3/8 + 1/12.

Ищем наименьший общий знаменатель для 6, 8 и 12. Кратные 12: 12, 24, 36… Число 24 делится и на 6, и на 8 — значит, общий знаменатель 24.
Дополнительные множители: 24 : 6 = 4, 24 : 8 = 3, 24 : 12 = 2.
$24 : 6 = 4, 24 : 8 = 3, 24 : 12 = 2$
Приводим каждую дробь: 5/6 = 20/24, 3/8 = 9/24, 1/12 = 2/24.
$\frac{5}{6} = \frac{20}{24}, \frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \frac{1}{12} = \frac{2}{24}$
Считаем по порядку слева направо: 20 − 9 + 2 = 13.
$20 - 9 + 2 = 13$
Ответ: 13/24. Сократить нельзя — 13 простое и на 24 не делится.
Проверка прикидкой: 5/6 — почти целое, минус чуть меньше половины, плюс маленькая добавка. Результат должен быть близок к половине — 13/24 как раз чуть больше 12/24.

Обрати внимание на выбор знаменателя: произведение 6 · 8 · 12 = 576 тоже общий знаменатель, но с такими числами считать — наказание. Наименьший общий знаменатель экономит силы на каждом шаге. Для 6, 8 и 12 достаточно взглянуть на кратные самого большого: 12, 24 — и 24 сразу делится на всех участников. Чем меньше числа в примере, тем спокойнее арифметика.

Словарь урока

Наименьший общий знаменатель#: НОК знаменателей всех дробей в примере
Дополнительный множитель#: число, на которое умножают верх и низ при приведении
Неправильная дробь#: дробь с числителем не меньше знаменателя, например 7/6
Целая часть#: сколько целых единиц спрятано в неправильной дроби: у 7/6 это 1
Сокращение ответа#: деление числителя и знаменателя на общий делитель после вычислений
Прикидка#: быстрая оценка ответа до точного вычисления

Как это спрашивают на контрольной

Вычисли: 3/4 + 5/6
Вычисли: 7/10 − 4/15
Найди значение выражения 1/2 + 1/3 − 1/6
В первый день прочитали 2/5 книги, во второй — 1/4. Какую часть книги осталось прочитать?
Выдели целую часть из дроби 23/8

Балл в примерах на сложение и вычитание теряют на первом шаге: взяли произведение знаменателей вместо НОК — числа выросли, полезли ошибки. Пиши дополнительные множители над каждой дробью: проверяющий видит ход мысли и снижает за арифметическую описку, а не за метод. В текстовых задачах после вычислений перечитай вопрос: часто спрашивают не суммарную часть, а остаток — и тогда из единицы нужно вычесть найденную долю. Ответ 7/12 и 1 целая 7/12 — разные ответы на разные вопросы.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Вычисли: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ .

Приведи $\frac{2}{3}$ к знаменателю 18. Какой стал числитель?

Наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$ :

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, достаточно сложить их числители.

Сопоставь дробь и её дополнительный множитель при приведении к знаменателю 24.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Какие из дробей приводятся к знаменателю 12 целым множителем?

Разложи дроби по категориям: приводятся ли они к знаменателю 24 целым дополнительным множителем?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни правило приведения дробей.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Новый знаменатель делят на старый и получают множитель, на который домножают и числитель, и дроби.

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему нельзя просто сложить числители и знаменатели?

Знаменатель показывает, на какие доли поделено целое. Половины и трети — разные доли, и считать их вместе нельзя, пока не приведёшь к одинаковым.

Как найти наименьший общий знаменатель?

Ищи наименьшее общее кратное знаменателей. Если больший делится на меньший — он и есть общий: для 4 и 8 это 8. Если нет — перебирай кратные большего числа.

Что делать, если в ответе вышла сократимая дробь?

Сократи: раздели числитель и знаменатель на общий делитель. $\frac{4}{8}$ — это $\frac{1}{2}$ , и последний ответ считается правильным.

Можно ли складывать дроби с одинаковыми знаменателями без приведений?

Да, и это самый простой случай: складывай числители, знаменатель оставляй — 2/9 + 5/9 = 7/9. Все сложности начинаются, когда доли разные: тогда и нужен общий знаменатель.

Содержание

Общий знаменатель и дополнительные множители
Когда в ответе больше целого
Три дроби в одном примере
Проверь ответ в уме: три быстрых прикидки
Разбор типовой задачи
Словарь урока
Как это спрашивают на контрольной
Проверь себя

Ваш прогресс

Пройдено уроков по Математика за 6 класс

Задание дня

Одна задача — каждый день

Короткий разбор ЕГЭ/ОГЭ с мгновенной проверкой. Пять минут разогрева держат форму между занятиями.

Решить задание дня

Термины урока

Наименьший общий знаменатель Дополнительный множитель Неправильная дробь Целая часть Сокращение ответа Прикидка

Все термины: Математика

Калькуляторы по теме

Калькулятор дробей онлайн

Все калькуляторы

Формулы урока

$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{5}$
$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$
$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$