Математика · 6 классурок · 2026-09-29~7 мин чтения

Приведение дробей к общему знаменателю

Как привести дроби к общему знаменателю и найти наименьший общий знаменатель через НОК: дополнительные множители, примеры и бесплатный тренажёр.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Ты прошёл 2/5 маршрута, а друг — 1/3 того же пути. Кто ушёл дальше? На глаз не скажешь: куски разной «нарезки». Приведём дроби к знаменателю 15: 2/5 — это 6/15, а 1/3 — это 5/15. Теперь видно: ты впереди на 1/15 маршрута. Без общего знаменателя дроби с разными знаменателями не сравнить, не сложить и не вычесть — это умение нужно и в задачах на цены, и на скорость, и на доли площади.

Общий знаменатель и дополнительный множитель

Общий знаменатель — это общее кратное обоих знаменателей. Для 4 и 6 подходят 12, 24, 36…, но удобнее ближайшее: наименьший общий знаменатель, НОК(4, 6) = 12. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, делим новый знаменатель на старый и умножаем на этот дополнительный множитель и числитель, и знаменатель: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ — здесь дополнительный множитель 3, а 1/6 = 2/12 — здесь 2. Если знаменатели взаимно простые, как 3 и 5, наименьший общий знаменатель — их произведение 15. А если один знаменатель делится на другой, как 5 и 10, то он и есть наименьший общий.

Какие знаменатели	Наименьший общий знаменатель	Пример
один делится на другой	больший знаменатель	для 5 и 10 — это 10
взаимно простые	произведение знаменателей	для 3 и 5 — это 15
общий случай	НОК знаменателей	для 4 и 6 — это 12

Утверждение 1 из 5

Дроби 1/4 и 1/6 можно привести к знаменателю 12

Верю — не верю

Здесь спрятаны две формулировки-ловушки. Читай внимательно.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 4

Термины

Определения

Найди пару

Соедини дробь с её видом после приведения. После разминки переходи к тренажёру ниже.

Где это в жизни: карманные деньги и рецепты. Ты истратил 1/4 карманных денег, брат — 2/5. Кто потратил больше? Приводим к знаменателю 20: 5/20 против 8/20 — брат обогнал. Рецепт: 1/2 стакана сахара и 1/3 стакана масла — вместе сколько? 3/6 и 2/6, итого 5/6 стакана. Одна и та же идея — привести нарезку к общей — работает в задачах на цены, скорость и доли площади.

Сравнение дробей через общий знаменатель

Общий знаменатель нужен не только для сложения — без него не сравнить дроби. Что дольше: 5/8 часа или 7/12 часа? Приводим к знаменателю НОК(8, 12) = 24: 5/8 = 15/24, а 7/12 = 14/24. Теперь всё видно: 15/24 больше, значит, 5/8 часа дольше — на одну двадцать четвёртую, то есть на 2,5 минуты. До приведения этот вопрос честно не решался: числители и знаменатели прыгали вразнобой.

Есть и быстрый способ проверки крест-накрест: умножь числитель первой дроби на знаменатель второй и наоборот. Для 5/8 и 7/12: 5 · 12 = 60 и 7 · 8 = 56. Шестьдесят больше пятидесяти шести — первая дробь больше. Это то же основное свойство дроби, свёрнутое в одну строку. Но в чистовике пиши с общим знаменателем: ход длиннее на два действия, зато решение видно учителю и легко проверяется.

Когда дробей три

Бывает, что привести нужно сразу три дроби, — правило не меняется, знаменателей просто больше. Возьмём 1/4, 5/6 и 7/9. Раскладываем: 4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3, 9 = 3 · 3. В наименьший общий знаменатель должны войти две двойки и две тройки: 2 · 2 · 3 · 3 = 36. Меньше ничего не подходит: в 18, например, девятка укладывается, а четвёрка — нет.

Дополнительные множители: для 1/4 это 36 : 4 = 9, для 5/6 это 36 : 6 = 6, для 7/9 это 36 : 9 = 4. Дроби превращаются в 9/36, 30/36 и 28/36. Теперь их можно сравнивать, складывать и вычитать в любой комбинации — доли одинаковые. И заметь: 36 здесь наименьший вариант; подошли бы и 72, и 108, но чем меньше знаменатель, тем короче каждый следующий расчёт.

Зачем стараться искать именно наименьший? Представь пример из контрольной: сложить 5/36 и 7/36 — одно действие с маленькими числами. А если бы ты привёл дроби к знаменателю 72, пришлось бы ещё и сокращать 10/72 и 14/72 — два лишних шага, и на каждом место для описки. Наименьший общий знаменатель — это короткий путь: дополнительные множители мелкие, числители не раздуваются, и проверка занимает пару строк.

Проверка после приведения

Приведённая дробь обязана равняться исходной — это главный критерий. Сравни глазами: 6/15 и 2/5 — одна и та же величина, только доли мельче. Если новая дробь «похудела» по сравнению со старой, дополнительный множитель достался знаменателю, а числитель остался голодным. Возвращайся к определению: умножить нужно и верх, и низ.

Второй тест — на обратный ход. Раздели новый числитель на старый: должно выйти ровно столько же, сколько при делении нового знаменателя на старый. Для 2/5 и 6/15: 6 : 2 = 3 и 15 : 5 = 3 — множители совпали, приведение честное. Если частные разные, где-то ошибка. Такой тест занимает одну строку и спасает от половины описок в длинных примерах с тремя дробями.

Приводим 2/5 и 1/3 к знаменателю 15

Найди НОК знаменателей: НОК(5, 3) = 15.
Дополнительный множитель для 2/5: 15 : 5 = 3. Умножь верх и низ.
$\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$
Дополнительный множитель для 1/3: 15 : 3 = 5.
$\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$
Сравнивай числители: 6 больше 5 — дробь 2/5 больше.

Один знаменатель делится на другой: 5 и 10 — общий знаменатель 10
Взаимно простые: 3 и 5 — общий знаменатель 15
Общие множители: 4 и 6 — ищи НОК, это 12
Проверяй себя: дополнительный множитель умножает и верх, и низ

\frac{2}{5} = \frac{6}{15}, \frac{1}{3} = \frac{5}{15}

Общий знаменатель 15: дополнительный множитель 3 и 5

Заполнено: 0 из 2

Наименьший общий знаменатель — это НОК знаменателей. Для 1/4 и 1/6 это , а дополнительный множитель для 1/4 равен .

Банк слов

Собери вычисление

Кликни слово из банка, затем по пропуску.

Разбор типовой задачи

Приведи дроби 7/12 и 5/18 к наименьшему общему знаменателю.

Раскладываем знаменатели на множители: 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3.
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
Собираем НОК: две двойки и две тройки — выходит 36.
$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$
Дополнительный множитель для 7/12: 36 : 12 = 3.
$36 : 12 = 3$
Умножаем верх и низ: 7/12 = 21/36.
$\frac{7}{12} = \frac{21}{36}$
Для 5/18 множитель равен 36 : 18 = 2, и дробь становится 10/36.
$\frac{5}{18} = \frac{10}{36}$
Проверка: 21/36 и 10/36 — те же величины, что 7/12 и 5/18, только с одинаковыми долями. Знаменатель 36 — наименьший из общих.

Смотри, как экономится работа: вместо перебора кратных 18 — 18, 36, 54… — мы сразу собрали НОК из множителей. Для пары небольших знаменателей оба пути быстрые, но на трёхзначных числах перебор выдыхается, а разложение продолжает работать. Привыкай писать дополнительные множители над дробями мелко сверху — так проверяющий видит ход мысли и не снимает баллы за непонятные преобразования.

Тот же ход работает и для трёх дробей: общий знаменатель 36 для 1/4, 5/6 и 7/9 проверяется обратным делением по каждой — 36 : 4 = 9, 36 : 6 = 6, 36 : 9 = 4. Все частные целые — знаменатель выбран верно. Если хоть одно частное вышло с остатком, НОК найден неправильно, и надо вернуться к разложению. Проверка делением на каждый старый знаменатель — самая короткая страховка во всей теме.

Словарь урока

Общий знаменатель#: общее кратное знаменателей нескольких дробей
Наименьший общий знаменатель#: НОК знаменателей — самый маленький из общих
Дополнительный множитель#: частное от деления нового знаменателя на старый
Приведение#: переход дроби к равной ей дроби с другим знаменателем
НОК#: наименьшее общее кратное двух чисел
Взаимно простые знаменатели#: знаменатели без общих делителей; их НОК равен произведению

Как это спрашивают на контрольной

Приведи дроби 2/9 и 3/5 к общему знаменателю
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 5/6 и 3/8?
Сравни дроби 4/7 и 5/9, приведя их к общему знаменателю
Приведи дробь 3/4 к знаменателю 36
Найди дополнительный множитель для дроби 5/8 при знаменателе 48

В формулировке почти всегда спрятано слово «наименьший» — значит, сначала НОК, и только потом дополнительные множители. Если просят «приведи к знаменателю 60», множитель ищется делением: 60 разделить на старый знаменатель, и всё. В задании на сравнение после приведения достаточно сравнить числители — знаменатели уже одинаковые: у 4/7 и 5/9 после приведения к 63 выйдет 36/63 против 35/63, и первая дробь выигрывает.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Приведи дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 20 и впиши новый числитель.

Какой знаменатель — наименьший общий для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{4}$ ?

Дробь 5/6 можно привести к знаменателю 12.

Дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$ привели к знаменателю 10. Впиши числитель второй дроби.

Выбери верные равенства.

Соедини дробь с её видом после приведения.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Какой будет общий знаменатель?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни правило дополнительного множителя.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Дополнительный множитель — это новый знаменатель, делённый на . Для 3/4 при знаменателе 20 он равен , и дробь станет 15/20.

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Чем НОК лучше произведения знаменателей?

Числа получаются меньше, и считать легче. Для 1/6 и 1/4 произведение даёт 24, а НОК — всего 12: с дробями 2/12 и 3/12 работать проще, чем с 4/24 и 6/24.

Как найти дополнительный множитель?

Раздели новый знаменатель на старый. Для 3/5 при знаменателе 20 это 20 : 5 = 4. Умножь на него и числитель, и знаменатель.

Можно ли сравнивать дроби без общего знаменателя?

Иногда: если числители равны, меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Но надёжный способ для любых дробей — привести их к одному знаменателю.

Что делать, если после приведения получились огромные числа?

Значит, взяли не наименьший общий знаменатель, а просто произведение. Найди НОК знаменателей и приведи дроби к нему — числа станут меньше. Если знаменатели большие, раскладывай их на множители и собирай НОК аккуратно, каждый множитель по разу.