Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Ты съел два куска пиццы, разрезанной на 8 частей, — то есть 2/8. Друг съел один кусок из четырёх — 1/4. Кто съел больше? Никто: 2/8 и 1/4 — одна и та же часть пиццы, просто нарезка разная. Дробь не меняется, если её числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же число. Это основное свойство дроби — на нём держится и сокращение дробей, и приведение к общему знаменателю, и сравнение.

Сокращение: делим верх и низ

Разделим числитель и знаменатель дроби 12/18 на 6: получится 2/3. Дробь стала короче, а величина — та же: $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$. Делить можно на любой общий делитель, но быстрее сразу на наибольший — тогда дробь станет несократимой и второй раз работать не придётся. У 12 и 18 НОД равен 6, значит 12/18 — это 2/3, и дальше сократить нельзя. Можно и постепенно: 12/18, потом 6/9, потом 2/3 — ответ тот же, просто дольше. Свойство работает и в обратную сторону: умножив верх и низ дроби 2/3 на 5, получим равную ей 10/15.

Где применяется: дроби на весах и в рецептах. Полкило — это 500 граммов, а ещё 0,5 кг и 1/2 кг: одна величина, три записи. Рецепт требует 3/4 стакана, а стакан отмерен насечками по 1/8 — значит, нужно 6 таких частей. Основное свойство дроби пересчитывает нарезку: умножил верх и низ на 2 — получил ту же величину в более мелких долях. И наоборот: 6/8 частей превращаются в 3/4 без изменения количества.

Сокращай по признакам делимости — быстрее, чем искать НОД наугад. Дробь 84/126: оба чётные — сокращай на 2, выйдет 42/63. Сумма цифр 42 — это 6, сумма 63 — это 9, оба делятся на 3: сокращай на 3, выйдет 14/21. Ещё раз на 7 — 2/3. Три маленьких шага по признакам вместо одного длинного разложения. Ответ тот же, что и через НОД = 42, но считать легче и ошибок меньше.

Сокращение на практике: цены, время и вес

Скидка в магазине: куртка стоила 4 000 рублей, на распродаже скинули 1 500. Какая часть цены ушла? Получается дробь 1500/4000, и оба числа делятся на 500 — сокращаем: 1500/4000 = 3/8. Покупатель заплатил 5/8 цены. Сокращённая дробь сразу показывает суть скидки, а несокращённая — просто столбик цифр, за которым мысли не видно. По сокращённому виду к тому же легче прикидывать деньги в уме.

Время тоже любит сокращение. Занятие шло 40 минут: какая это часть часа и часть сдвоенного урока в 80 минут? 40/60 = 2/3 часа, а 40/80 = 1/2 учебного блока. Одна и та же величина, разные знаменатели — и сокращение переводит её в удобный вид. Вес считается так же: 250 граммов от килограмма — это 250/1000 = 1/4 кг. Каждый раз делим верх и низ на общий делитель, и дробь становится читаемой.

Проверяй сокращение прикидкой: числитель и знаменатель должны уменьшиться одинаково. Если после деления дробь «похудела» только наполовину — значит, делил не оба числа. Для самопроверки умножай обратно: 3/8 при умножении на 500 возвращает 1500/4000. Обратный ход занимает секунды и мгновенно показывает, на месте ли знаменатель. А ещё сокращённая дробь — экономия в следующих действиях: с 3/8 работать приятнее, чем с 1500/4000.

Числовой прогон: от 1080/1440 до 3/4

Возьмём дробь 1080/1440 — так выглядит доля страниц, которые ты прочитал в толстой книге. Идём по признакам делимости: оба числа чётные, делим на 2 — 540/720. Снова чётные, ещё на 2 — 270/360. Ещё раз на 2 — 135/180. Теперь суммы цифр: у 135 это 9, у 180 тоже 9 — оба делятся на 9, делим и получаем 15/20. Оба числа оканчиваются на 5 и на 0 — последнее деление на 5 даёт 3/4.

Три шага по двойке, один по девятке, один по пятёрке — пять сокращений, и дробь несократимая: 3 и 4 взаимно простые. Можно было сразу найти НОД(1080, 1440) = 360 и разделить оба числа на 360 — вышло бы то же 3/4 одним ходом. Оба пути честные, ответ одинаковый; выбирай тот, где меньше шансов ошибиться в арифметике. На контрольной удобнее постепенный: каждая строка проверяется признаком делимости, и описку видно сразу.

Закрепи метод на родственной дроби 1080/1600. Оба числа чётные: делим на 2 три раза подряд — 540/800, 270/400, 135/200, дальше на 2 уже не делится. Суммы цифр: у 135 это 9, у 200 это 2 — общего девятки нет, на 9 не сокращаем. А вот пятёрка общая: 135/200 = 27/40. Числа 27 и 40 взаимно простые — дробь несократимая, финиш. Два прогона подряд — и метод сидит в руке сам.

• Умножить верх и низ на одно число — можно
• Разделить верх и низ на одно число — можно
• Прибавить одно число к верху и низу — нельзя
• Вычеркнуть одинаковые цифры внутри чисел — нельзя

Разбор типовой задачи

Здесь работает и трюк с НОД: наибольший общий делитель чисел 48 и 60 равен 12, и одно деление обоих чисел на 12 сразу даёт 4/5. Постепенное сокращение по признакам и сокращение через НОД — два пути к одному ответу. На контрольной выбирай тот, что меньше пугает, — результат обязан совпасть. Если не совпал, ищи потерянный шаг: чаще всего сокращают только числитель, а знаменатель остаётся прежним.

Словарь урока

Основное свойство дроби#

умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет дробь

Сокращение#

деление числителя и знаменателя на их общий делитель

Несократимая дробь#

дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые

Равные дроби#

разные записи одной величины: 2/8 и 1/4

Общий делитель#

число, на которое делятся и числитель, и знаменатель

Дополнительный множитель#

число, на которое умножают верх и низ, чтобы получить новый знаменатель

Как это спрашивают на контрольной

• Сократи дробь 36/48
• Представь дробь 3/5 в виде дроби со знаменателем 45
• Какую часть суток составляют 9 часов?
• Найди несократимую дробь, равную 84/126
• Объясни, почему дроби 5/7 и 10/14 равны

В задании «сократи» почти всегда ждут несократимый результат — доводи до конца: сократив 84/126 до 42/63, работу не закончишь. В задании «представь в виде» работает основное свойство в обратную сторону — умножай верх и низ на нужное число. А в вопросе «какую часть» сначала составляй дробь: часть делить на целое, и только потом сокращай. Про сутки помни: в них 24 часа, поэтому 9 часов — это ровно три восьмых. И если в задании есть слово «объясни», пиши словами, а не только цифрами: одна фраза про основное свойство обычно и есть полный ответ.

Сокращённая дробь пригодится и в десятичной записи: раздели числитель на знаменатель столбиком — и дробь превратится в десятичную, а у некоторых дробей цифры после запятой начинают повторяться: это период. Проверить себя или найти период у дроби посложнее можно в калькуляторе периодической дроби /calc/periodic-drob/: он делит в столбик до повторения остатка и показывает непериодическую часть и период, а ещё переводит периодическую запись обратно в обыкновенную дробь.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема