Алгебра · 11 классурок · 2026-09-29~7 мин чтения

Комплексные числа 11 класс: действия и модуль

Q: Что такое комплексное число простыми словами?

Это пара обычных чисел: сколько шагов вправо и сколько вверх по специальной плоскости. Запись a + bi читается как точка с координатами a и b, а буква i лишь помечает вторую координату.

Q: Зачем нужны числа, которых «не существует»?

Они нужны везде, где работают колебания: переменный ток, радиосигналы, обработка звука. Формулы с ними короче, чем с векторами и тригонометрией.

Q: Как решать квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?

Считай корни по обычной формуле, а корень из отрицательного числа записывай как i на корень из модуля. Корни выйдут сопряжёнными: a + bi и a − bi.

Q: Как найти модуль комплексного числа?

Возведи обе координаты в квадрат, сложи и извлеки корень. Для 3 + 4i это корень из 25, то есть 5.

Комплексные числа без тумана: зачем придумали мнимую единицу, как складывать, умножать и делить числа вида a + bi, откуда берётся модуль и как решаются квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Инженер складывает два сигнала: напряжение 170 вольт и такое же по размаху, но сдвинутое по фазе на четверть периода. Школьная алгебра разводит руками, а электротехника отвечает спокойно: представь каждое колебание числом с двумя координатами и сложи покоординатно. История у таких чисел скандальная. В 1545 году Джероламо Кардано решал задачу «разделить 10 на два слагаемых так, чтобы произведение равнялось 40» и честно написал: ответ 5 плюс-минус корень из минус 15 «единственно формален», но умножение сходится. Три века эти числа звали невозможными, пока Гаусс не показал их дом — плоскость, а не прямая. Сегодня без них не считается ни переменный ток, ни радиосигнал. Разберёмся, как они устроены и что умеют.

Мнимая единица: договор, который работает

Начнём с честной оговорки: среди привычных чисел корня из минус единицы нет, ведь квадрат любого из них неотрицателен. Математики поступили решительно: ввели новое число i и объявили его главным свойством $i^{2} = - 1$ . Это не фокус, а расширение набора инструментов: старые правила арифметики сохраняются, добавляется одна замена — каждый раз, когда при вычислениях всплывает i², он заменяется на минус единицу. Корни из отрицательных чисел после этого выражаются просто: $- 16 = 4 i$ , а корень из минус трёх равен $i 3$ . Смотри на i как на новый строительный блок: сам по себе он ничего не значит, но с ним достраиваются недостающие решения.

i^{2} = - 1

Главное свойство мнимой единицы: её квадрат отрицателен — у обычных чисел такого не бывает

Из i и привычных чисел собирается новый объект: $z = a + bi$ — алгебраическая форма комплексного числа. Здесь a — действительная часть, b — мнимая, и обе это обычные числа: буква i в саму мнимую часть не входит. Числа 7 и 7i разные: у первого мнимая часть ноль, у второго единица. Если b равно нулю, комплексное число совпадает с обычным — старая арифметика встроена в новую как частный случай, ничего переучивать не нужно.

Мнимая единица#: Число i, квадрат которого равен минус единице
Комплексное число#: Число вида a + bi, где a и b — действительные числа
Действительная часть#: Коэффициент a в записи a + bi, обозначается Re z
Мнимая часть#: Коэффициент b в записи a + bi, обозначается Im z; сама буква i в неё не входит
Сопряжённое число#: Число a − bi для z = a + bi: знак при мнимой части перевёрнут
Комплексная плоскость#: Плоскость, где по горизонтали откладывают действительную часть, по вертикали — мнимую

Сложение и умножение: правила прежние

Складывать скучно просто: действительные части с действительными, мнимые с мнимыми. (2 + 3i) + (5 − i) = 7 + 2i. Умножение интереснее: раскрываем скобки как обычно и применяем замену i² = −1. Перемножим (2 + 3i)(1 + 4i): выходит 2 + 8i + 3i + 12i², то есть 2 + 11i − 12, и окончательно −9 + 11i. Обрати внимание: действительная часть может исчезнуть целиком — перемножь (3 + i) и (3 − i), и останется чистое число 10. Степени i ходят по кругу длины четыре: i, −1, −i, 1, и дальше заново. Чтобы найти i в сотой степени, раздели показатель на 4 и посмотри на остаток: у сотни остаток ноль, значит i в сотой степени равно единице.

(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

Умножение в алгебраической форме: скобки раскрываются, затем i в квадрате заменяется на минус единицу

Сопряжённые числа придуманы ради очистки от мнимой части. Для z = a + bi сопряжённое — это a − bi: знак при мнимой части переворачивается, действительная не трогается. Их произведение равно a² + b² — обычному неотрицательному числу, комплексный аналог разности квадратов. Именно на этом держится деление, к которому переходим.

Действие	Пример	Результат
Сложение	(2 + 3i) + (5 − i)	7 + 2i
Умножение	(2 + 3i)(1 + 4i)	−9 + 11i
Произведение сопряжённых	(3 + i)(3 − i)	10
Степени i	i, i², i³, i⁴	i, −1, −i, 1

Деление: спасает сопряжённое

Делить напрямую не хочется, но приём тот же, что с корнями в знаменателе: домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю. Знаменатель при этом превращается в сумму квадратов — обычное число, и остаётся аккуратно раскрыть числитель.

Делим (3 + 2i) на (1 − i)

Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю — на 1 + i:
$\frac{3 + 2 i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}$
Раскрываем числитель: 3 + 3i + 2i + 2i² = 3 + 5i − 2 = 1 + 5i.
$(3 + 2 i) (1 + i) = 1 + 5 i$
Знаменатель сворачивается в сумму квадратов:
$(1 - i) (1 + i) = 1 - i^{2} = 2$
Делим числитель на 2 почленно и получаем ответ:
$0, 5 + 2, 5 i$

Проверка занимает полминуты: умножь частное 0,5 + 2,5i обратно на делитель 1 − i. Выходит 0,5 − 0,5i + 2,5i − 2,5i², то есть 0,5 + 2i + 2,5 = 3 + 2i — исходное делимое. Такие обратные прогоны дисциплинируют лучше решебника: ошибка в знаке всплывает сразу, а не на контрольной.

a = (4; 2), |a| = 4.47 b = (-2; 4), |b| = 4.47

a + b = (2; 6) |a + b| = 6.32

Комплексное число как вектор

Число a + bi — это стрелка из нуля в точку (a; b). Потяни конец вектора в точку (3; 4) и посмотри на его длину: ровно 5. Теперь найди вектор той же длины в другой четверти — модуль один, направлений много.

Квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом

Вот ради чего всё затевалось. Уравнение x² + 4 = 0 среди обычных чисел решения не имеет, а здесь имеет: x = ±2i. Общий случай обслуживается знакомой формулой $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ : если дискриминант отрицателен, корень из него выходит из-под знака корня как множитель i, и корни становятся сопряжённой парой.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Формула корней: при D < 0 под корнем отрицательное число, и формула выводит в комплексную плоскость

x = \frac{- b \pm i 4 a c - b ^{2}}{2 a}

Та же формула при D < 0: минус из-под корня выносится как множитель i

Решаем x² − 6x + 13 = 0

Считаем дискриминант: D = 36 − 52 = −16. Отрицательный — корни комплексные.
$D = b^{2} - 4 a c = 36 - 52 = - 16$
Извлекаем корень из минус шестнадцати: под корнем минус уходит как множитель i.
$- 16 = 4 i$
Подставляем в формулу корней:
$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$
Делим числитель на 2 почленно: x₁ = 3 + 2i, x₂ = 3 − 2i — корни сопряжены.
$x_{1, 2} = 3 \pm 2 i$

Заметь закономерность: у квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни ходят парой. Если один корень 3 + 2i, второй обязан быть 3 − 2i. На контрольной это страховка: вычислил один корень — второй известен даром, осталось сверить сумму и произведение с коэффициентами по теореме Виета: сумма 6 совпала с коэффициентом при x, произведение 13 — со свободным членом, всё честно.

Комплексная плоскость и модуль

Картинка Гаусса проста: число a + bi — это точка с координатами (a; b) или стрелка из начала координат. Горизонтальная ось — действительные числа, вертикальная — мнимые. Сложение превращается в сложение стрелок по правилу параллелограмма, а умножение на i — в поворот стрелки на 90 градусов против часовой: единица переходит в i, i в минус единицу, и так по кругу. У стрелки появляется и угол наклона — аргумент, но его полный разбор ждёт тебя в тригонометрической форме записи комплексных чисел.

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

Модуль комплексного числа: длина стрелки от нуля до точки (a; b), та же теорема Пифагора

Модуль — расстояние от точки до нуля. Для 3 + 4i это 5, для 5 − 12i это 13: пифагоровы тройки работают и в новой плоскости. Полезное следствие: модуль произведения равен произведению модулей, поэтому у произведения сопряжённой пары модуль даёт сразу a² + b². Задача «найди все числа с модулем 5» на плоскости звучит как «найди все точки на расстоянии 5 от нуля» — это окружность, и ответ виден без единого вычисления.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 5

Термины

Определения

Карточки-парочки

Собери пары термин-определение — быстрая разминка перед квизом.

Утверждение 1 из 5

Мнимая часть числа 5 − 8i равна минус восьми i.

Верно или нет?

Пять утверждений о комплексных числах — найди ложные и объясни себе, почему они ложные.

Где применять дальше: комплексные числа — рабочий язык электротехники, где сопротивления, ёмкости и индуктивности складываются как комплексные числа, а также обработки сигналов и аэродинамики. По программе алгебры за ними идёт тригонометрическая форма и формула Муавра. Прогони квиз и тренажёр — и не относись к i как к фокусу: это просто вторая координата, у которой наконец появилось имя.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Вычисли (3 + i)(3 − i).

В какой четверти комплексной плоскости лежит точка числа z = −2 − 5i?

Какие утверждения о сопряжённых числах верны?

Модуль числа 3 + 4i равен 5.

Расставь шаги деления (3 + 2i) на (1 − i) по порядку.

Сопоставь число и его характеристику.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Дополни.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Квадрат мнимой единицы равен , а модуль числа a + bi — корень из суммы и координат.

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Что такое комплексное число простыми словами?

Это пара обычных чисел: сколько шагов вправо и сколько вверх по специальной плоскости. Запись a + bi читается как точка с координатами a и b, а буква i лишь помечает вторую координату.

Зачем нужны числа, которых «не существует»?

Они нужны везде, где работают колебания: переменный ток, радиосигналы, обработка звука. Формулы с ними короче, чем с векторами и тригонометрией.

Как решать квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?

Считай корни по обычной формуле, а корень из отрицательного числа записывай как i на корень из модуля. Корни выйдут сопряжёнными: a + bi и a − bi.

Как найти модуль комплексного числа?

Возведи обе координаты в квадрат, сложи и извлеки корень. Для 3 + 4i это корень из 25, то есть 5.