Логарифмические неравенства 11 класс: ОДЗ и знаки
Логарифмические неравенства: когда знак сохраняется, когда разворачивается, как не потерять ОДЗ и что даёт метод рационализации на ЕГЭ. Три примера с разбором по шагам и тренажёр.
Звук в наушниках вырос на десять делений шкалы — а громкость подскочила не на десяток процентов, а в десять раз: децибелы и есть логарифмы. Логарифмические неравенства повсюду, где сравнивают «во сколько раз»: сейсмологи сравнивают силу толчков, связисты — уровни сигнала, химики — кислотность растворов. В профильном ЕГЭ это целый класс задач, и подводный камень там не арифметика, а аккуратность: одно потерянное условие области допустимых значений — и верный ход превращается в неверный ответ.
Что считает логарифм и что требует ОДЗ
Логарифм по основанию a отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x. Отвечает не всегда. Аргумент обязан быть строго положительным: степень числа a не даёт ни нуля, ни отрицательных значений. Основание должно быть положительным и не равным единице: единица в любой степени — единица, вопрос теряет смысл. Отсюда условия ОДЗ для выражения и всех его собратьев: аргумент больше нуля, основание больше нуля и не равно единице. Если логарифмов в неравенстве несколько, условия выписываются для каждого и пересекаются.
Логарифмы придумал Джон Непер в 1614 году как калькулятор для астрономов: умножение многозначных чисел превратилось в сложение, деление — в вычитание. Таблицы Непера экономили месяцы работы, а сам логарифм остался переводчиком между «разами» и «шагами»: каждый шаг по шкале — умножение на основание. Именно поэтому неравенства с логарифмами так чувствительны к направлению шкалы: перевернёшь шкалу — перевернётся и сравнение.
Два мира оснований: монотонность и разворот знака
Основание делит логарифмы на два мира. При функция растёт: большему аргументу отвечает большее значение, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется. При функция убывает, и знак разворачивается. Проверь на числах: log₂ 8 = 3 больше log₂ 4 = 2, и действительно 8 больше 4. А вот логарифм восьми по основанию 0,5 равен −3 и меньше логарифма четвёрки с тем же основанием, равного −2, — хотя 8 больше 4. Большему аргументу достаётся меньший логарифм.
| Основание | Что происходит со знаком | Пример |
|---|---|---|
| a > 1 | знак сохраняется | log₂ x > 3 даёт x > 8 |
| 0 < a < 1 | знак разворачивается | логарифм 0,5 от x больше 3 даёт 0 < x < 1/8 |
| a = 1 | запрещено | основание не равно единице по ОДЗ |
Причина разворота — в наклоне графика: кривая при основании от нуля до единицы убывает, как горка, с которой съезжаешь вниз. Это роднит логарифмические неравенства с показательными: правило «убывает — переворачивай» общее для обоих семейств. Привычка смотреть на основание прежде, чем переходить к аргументам, экономит десятки баллов за учебный год.
Полезная разминка перед решением — мгновенные значения: log₂ 1024 = 10, log₃ 81 = 4, десятичный логарифм тысячи равен трём. Если такие примеры всплывают медленнее трёх секунд, вернись к уроку про логарифмы и их свойства: неравенства не прощают медлительности в базе, и каждое вычисление здесь опирается на таблицу степеней.
Схема решения: неравенство превращается в систему
План для сравнения двух логарифмов с одним основанием: сначала ОДЗ, затем переход к аргументам с учётом знака основания, затем пересечение всех условий. При основании больше единицы система короткая; при основании между нулём и единицей внутри появляется разворот. Если основание само переменное, решение оформляют совокупностью систем — по одной на каждый случай знака основания.
- ОДЗ: аргумент положителен, то есть 2x − 4 > 0, откуда x > 2.
- Правую часть представляем логарифмом с тем же основанием:
- Основание меньше единицы — знак разворачивается:
- Пересекаем с ОДЗ и получаем интервал от двух до трёх. Контрольная точка x = 2,5: логарифм единицы равен нулю, а ноль больше минус единицы — верно.
Контрольная точка за пределами ответа запирает решение с другой стороны: при x = 4 аргумент равен четырём, логарифм по основанию 0,5 от четырёх — это −2, а минус два меньше минус единицы. Вне ответа, как и должно быть. Две подстановки — по одной с каждого края — стоят меньше минуты и заменяют половину сомнений.
Ступени: двойные неравенства и сумма логарифмов
Ступенчатое условие вида «логарифм между единицей и тройкой» решается тем же переходом, только сразу в обе стороны. Несколько логарифмов с одинаковым основанием сначала склеиваются в один по свойствам: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Свойства работают только внутри ОДЗ, и это не формальность, а условие существования каждого логарифма.
- ОДЗ: x + 5 > 0, то есть x > −5.
- Каждую границу записываем логарифмом по основанию 3:
- Основание больше единицы — знаки сохраняются:
- Вычитаем пять: от −2 до 22 включительно; ОДЗ этому не мешает.
- ОДЗ: x > 0 и x − 3 > 0, вместе это x > 3.
- Складываем логарифмы — под одним логарифмом оказывается произведение:
- Двойка — это log₂ 4, основание больше единицы, знак сохраняется:
- Переносим всё влево и раскладываем: (x − 4)(x + 1) ≤ 0, то есть −1 ≤ x ≤ 4. Пересекаем с ОДЗ:
Обрати внимание: ответ получился уже, чем каждый из промежуточных, — пересечение всегда уже своих участников. Если промежутки не пересекаются, система честно отвечает пустым множеством, и это тоже полноценный ответ, а не ошибка решения.
Метод рационализации: оружие для ЕГЭ
Когда основание само является выражением — например, x − 2, — прямое решение расползается на две системы по знаку основания. Метод рационализации срезает эту работу: на ОДЗ логарифмическое сравнение равносильно произведению, где логарифм заменён разностью аргументов, а основание — своей разностью с единицей. В вариантах ЕГЭ приём известен как метод замены множителей, и он особенно хорош в паре с методом интервалов из следующего урока.
| Исходный множитель | Замена на ОДЗ | Комментарий |
|---|---|---|
| log_h f > 0 | (f − 1)(h − 1) > 0 | логарифм положителен |
| log_h f < 0 | (f − 1)(h − 1) < 0 | логарифм отрицателен |
| log_h f > log_h g | (f − g)(h − 1) > 0 | сравнение двух логарифмов |
| log_h f > число | (f − h в степени числа)(h − 1) > 0 | число сначала становится логарифмом |
- ОДЗ: аргумент x + 1 > 0, основание x − 2 > 0 и x − 2 ≠ 1; вместе это x > 2 и x ≠ 3.
- Ноль справа — это логарифм единицы, замена даёт произведение:
- Раскрываем: x(x − 3) > 0, методом интервалов выходит x < 0 или x > 3.
- Пересекаем с ОДЗ и получаем открытый луч после тройки:
Почему замена честная: при h больше единицы множитель h − 1 положителен, и произведение положительно ровно тогда, когда f больше g. При h между нулём и единицей множитель отрицателен, и произведение положительно, когда f меньше g, — знак развернулся сам собой. Два случая склеены одной формулой, но вне ОДЗ она врёт, поэтому область допустимых значений выписывается первой строкой и живёт до конца решения.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Дальше по программе — показательные и логарифмические уравнения, где работают те же два правила: ОДЗ и монотонность. А если рука дрогнет в развороте знака, вспомни децибелы: усилил сигнал на десять делений шкалы — громкость выросла в десять раз. Логарифм с основанием меньше единицы — это шкала наоборот, и теперь ты знаешь, как с ней обращаться.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Вычисли log₅ 125.
2 Какому условию равносильно неравенство log с основанием 0,5 от x больше log с основанием 0,5 от 7?
3 Какие условия входят в ОДЗ для выражения log с переменным основанием h(x) от f(x)?
4 При основании больше единицы знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам.
5 Расставь шаги решения неравенства log₂(3x − 6) > 2.
6 Сопоставь неравенство и его решение.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Дополни.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Метод рационализации заменяет сравнение логарифмов на произведение (f − g)() и работает только при выполнении .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как решать логарифмические неравенства в 11 классе?
Сначала выпиши ОДЗ, затем приведи логарифмы к одному основанию и перейди к сравнению аргументов с учётом монотонности. В конце пересеки промежутки с ОДЗ и проверь граничные точки.
Почему при основании меньше единицы знак неравенства меняется?
Такой логарифм убывает: большему аргументу отвечает меньшее значение. Поэтому неравенство между логарифмами равносильно противоположному неравенству между аргументами.
Что даёт метод рационализации на ЕГЭ?
Он заменяет логарифмические сравнения произведением разностей, которое имеет тот же знак на ОДЗ. Вместо разбора случаев по основанию получается одна картинка метода интервалов.
Можно ли возводить основание в степень обеих частей неравенства?
Нет, для логарифмов так делать нельзя: правильный путь — представить число логарифмом с тем же основанием. Тогда к аргументам применимо обычное сравнение с учётом монотонности.