Алгебра · 10 классурок · 2026-09-27~8 мин чтения

Синус, косинус, тангенс. Основные тождества

Разбираем синус, косинус и тангенс как координаты точки на единичной окружности и учимся применять основное тригонометрическое тождество.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Ты поднимаешься в кабине колеса обозрения радиусом 20 м. Колесо повернулось на 30°, и хочется понять, на какой высоте ты сейчас над землёй. Готового треугольника на чертеже нет, но ответ знает тригонометрия: высота равна 20·sin 30° = 10 м. Синус, косинус и тангенс выручают каждый раз, когда что-то вращается: колесо, качели, турбина, стрелка часов.

Единичная окружность: синус и косинус как координаты

Возьми окружность радиуса 1 с центром в начале координат и поверни радиус на угол α. Конец радиуса окажется в точке, у которой абсцисса равна cos α, а ордината — sin α. Всё определение — в одной картинке. Тангенс — отношение ординаты к абсциссе: tg α = sin α : cos α. Проверь на угле 30°: sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,866, значит tg 30° ≈ 0,577. А при 90° абсцисса равна нулю и делить не на что — тангенс 90° не существует. Главный факт всей темы — основное тождество: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ . Оно верно для любого угла, потому что сумма квадратов координат точки единичной окружности равна квадрату радиуса, то есть 1.

y = (1)·sin((1)·x)

a1b1

График y = a·sin(bx)

Двигай ползунки: a растягивает волну по высоте, b меняет её ширину.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 4

Термины

Определения

Собери пары

Перетаскивай: термин и его смысл.

sin^{2} α + cos^{2} α = 1, tg α = \frac{sin α}{cos α}

Основное тригонометрическое тождество и определение тангенса

Радианы: вторая шкала углов

На окружности углы измеряют не только градусами, но и радианами. Радиан — это угол, при котором дуга той же длины, что и радиус: на единичной окружности угол в один радиан вырезает дугу длиной ровно 1. Полный оборот — это вся окружность длиной 2π, поэтому 360° равны 2π радиан, а развёрнутый угол 180° — это π радиан. Переводить туда и обратно просто: градусы делишь на 180 и умножаешь на π, радианы умножаешь на 180 и делишь на π. На калькуляторе за этим следит переключатель DEG/RAD: если он стоит не в том положении, sin 30° внезапно выдаст −0,988 — это синус тридцати радиан, а не тридцати градусов.

30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3 — табличная тройка острых углов
90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π — опорные точки круга
1 радиан ≈ 57,3° — примерно шестьдесят градусов

Углы больше оборота и отрицательные углы

Окружность разрешает любые углы, а не только от 0° до 90°. Поворот на 390° — это полный круг плюс 30°: стрелка возвращается в ту же точку, поэтому sin 390° = sin 30° = 0,5. Отрицательный угол — поворот в обратную сторону, по часовой стрелке: точка для −30° лежит в IV четверти, и её ордината равна −0,5. Отсюда два полезных свойства: sin(−α) = −sin α и cos(−α) = cos α — синус нечётная функция, косинус чётная. На окружности это видно сразу: точки для α и −α зеркальны относительно горизонтальной оси, у них одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.

Знаки синуса и косинуса по четвертям

Проведи через центр окружности горизонтальную и вертикальную оси — они разрежут круг на четыре четверти. Знаки читаются прямо с координат: ордината положительна над горизонтальной осью, абсцисса — правее вертикальной. В I четверти обе координаты положительны, во II синус ещё плюс, а косинус уже минус, в III оба минуса, в IV синус минус, косинус плюс. Тангенс наследует знак частного: в I и III четвертях он положителен, во II и IV отрицателен. Эта табличка — быстрый фильтр ошибок: если у угла из II четверти у тебя вышел положительный косинус, перерешивай.

Четверть	Границы угла	sin α	cos α
I	от 0° до 90°	+	+
II	от 90° до 180°	+	−
III	от 180° до 270°	−	−
IV	от 270° до 360°	−	+

Формулы приведения без зубрёжки

Формулы приведения сводят любой угол к острому, и все они видны на окружности. Зеркальная симметрия относительно вертикальной оси: точка для угла 180° − α отражает точку для α, ордината сохраняется, абсцисса меняет знак. Отсюда sin(180° − α) = sin α и cos(180° − α) = −cos α. Проверь на α = 30°: sin 150° = 0,5, cos 150° = −0,866. Симметрия относительно диагонали y = x меняет координаты местами: sin(90° − α) = cos α и cos(90° − α) = sin α. А полный оборот не меняет точку вообще: sin(360° + α) = sin α — именно поэтому синус называют периодической функцией.

sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α — зеркальная симметрия
sin(90° − α) = cos α, cos(90° − α) = sin α — координаты поменялись местами
sin(360° + α) = sin α, cos(360° + α) = cos α — оборот ничего не меняет
tg(180° + α) = tg α — радиусы смотрят в одну сторону

Тангенс и его повадки

Тангенс определён не везде: там, где косинус равен нулю, деление невозможно. Это углы 90°, 270° и все их копии через полный оборот. Зато периодичность у тангенса вдвое короче, чем у синуса: tg(α + 180°) = tg α, потому что радиусы, отличающиеся на пол-оборота, лежат на одной прямой и наклон у них одинаковый. Проверь: tg 30° ≈ 0,577 и tg 210° ≈ 0,577 — совпадают. Тангенс 45° равен 1: точка стоит на диагонали, ордината и абсцисса равны. Таблицу тангенса строить отдельно не нужно — дели значения синуса на значения косинуса из готовой таблицы.

Таблица значений ластится на пальцах: по столбцу синуса от 0° до 90° значения идут 0; 0,5; ≈0,71; ≈0,87; 1 — плавный рост. Косинус — тот же столбец, но в обратную сторону: cos 60° = 0,5, а не 0,87. Если твоя формула выдала синус больше единицы или косинус 200° положительным — ошибка найдена до проверки.

Угол $\alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\mathrm{tg}\,\alpha$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
$45°$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
$90°$	$1$	$0$	не существует

Выучено: 0 из 5 · В колоде: 5

Карточки: тригонометрия

Кликни карточку, чтобы перевернуть.

Словарь урока

Единичная окружность#: Окружность радиуса 1 с центром в начале координат: абсцисса её точки — это косинус угла поворота, ордината — синус
Радиан#: Центральный угол, вырезающий на окружности дугу длиной в один радиус; полный оборот равен 2π радиан
Основное тождество#: Равенство sin²α + cos²α = 1, верное для любого угла
Четверть#: Одна из четырёх частей круга; задаёт знаки синуса, косинуса и тангенса
Формулы приведения#: Правила, сводящие значение для угла любой четверти к значению для острого угла
Периодичность#: Повторение значений через полный оборот: sin(α + 360°) = sin α

Разбор типовой задачи

Дано: sin α = 0,6, угол во II четверти. Найти cos α и tg α

Записываем основное тождество и подставляем известный синус.
$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - 0.36 = 0.64$
Угол лежит во II четверти, значит косинус там отрицателен.
Извлекаем корень с нужным знаком.
$cos α = - 0.64 = - 0.8$
Делим синус на косинус.
$tg α = \frac{0.6}{- 0.8} = - 0.75$
Сверяем знаки: во II четверти синус плюс, косинус минус, тангенс минус — всё сходится.
Ответ: cos α = −0,8, tg α = −0,75.

Как это спрашивают на контрольной

Три формулировки встречаются постоянно. Первая — найти вторую функцию по одной известной и указанной четверти: ровно как в разборе выше. Вторая — вычислить значение выражения вроде sin 150° + cos 240°: сначала формулы приведения приводят оба угла к острым, потом работает таблица значений. Третья — упростить выражение с квадратами: связка sin²α + cos²α = 1 заменяет громоздкую запись единицей, а 1 − cos²α сворачивается в sin²α. Прогони любую задачу темы по этим трём шаблонам — почти каждая к ним сводится. В задачах со звёздочкой просят и обратный ход: по известному тангенсу восстановить синус — тогда тождество делят на cos²α и получают связку 1 + tg²α = 1/cos²α.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Чему равно sin²30° + cos²30°?

Верно ли: sin 30° + cos 30° = 1?

Косинус — это какая координата точки на единичной окружности?

sin α = 0,6 и угол в первой четверти. Чему равен cos α?

Какие значения может принимать sin α?

Сопоставь термин и его смысл.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Разложи значения синуса по знаку.

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни тождество.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Основное тождество: sin²α + cos²α = , а тангенс — отношение к косинусу.

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему sin²α + cos²α = 1?

Синус и косинус — координаты точки на окружности радиуса 1. Сумма квадратов координат любой точки этой окружности равна квадрату радиуса, то есть 1. Это теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой-радиусом.

Как найти синус, если известен косинус?

Из основного тождества sin α = ±√(1 − cos²α). Знак зависит от четверти: в первой и второй четвертях синус положительный, в третьей и четвёртой — отрицательный.

Тангенс — это что именно?

Отношение синуса к косинусу: tg α = sin α : cos α. Геометрически это наклон радиуса, поэтому tg 45° = 1 — ордината и абсцисса точки совпадают.

Почему тангенс 90° не существует?

Тангенс — это отношение синуса к косинусу, а косинус 90° равен нулю: делить на ноль нельзя. На окружности это точка, где радиус смотрит вертикально вверх и наклон бесконечен.