Синус, косинус, тангенс. Основные тождества — тренажёр

Пример 1. Основное тождество устроено как сумма квадратов. По образцу вычисли: 6² + 5².

Подсказка. Сначала квадраты, потом сложение.

Как решать. 6² + 5² = 6·6 + 5·5: возводим в квадрат каждое число и складываем.

Ответ: 61

Пример 2. Вычисли: 3² − 1.

Подсказка. Порядок действий: сначала квадрат.

Как решать. 3·3 − 1: возводим в квадрат и вычитаем единицу. Так выглядит переход sin²α = 1 − cos²α.

Ответ: 8

Пример 3. Вычисли: (4·3)².

Подсказка. (xy)² = x²y².

Как решать. Квадрат произведения равен произведению квадратов: 4²·3².

Ответ: 144

Пример 4. Вычисли: 5² + 1. По образцу это 1 + tg²α при tg α = 5, то есть 1/cos²α.

Подсказка. Сначала возведи в квадрат, затем прибавь 1.

Как решать. 5·5 + 1: сначала квадрат, потом прибавляем единицу.

Ответ: 26

Пример 5. Многошаговая задача: вычисли 4² + 2² − 1. Если получится 0, точка (4; 2) лежит на единичной окружности.

Подсказка. Два квадрата, сложение, минус единица.

Как решать. Квадраты: 4·4 и 2·2. Затем складываем и вычитаем 1: 4²+2²−1.

Ответ: 19

Пример 6. Основное тождество устроено как сумма квадратов. По образцу вычисли: 2² + 9².

Подсказка. Сначала квадраты, потом сложение.

Как решать. 2² + 9² = 2·2 + 9·9: возводим в квадрат каждое число и складываем.

Ответ: 85

Пример 7. Вычисли: 8² − 1.

Подсказка. Порядок действий: сначала квадрат.

Как решать. 8·8 − 1: возводим в квадрат и вычитаем единицу. Так выглядит переход sin²α = 1 − cos²α.

Ответ: 63

Пример 8. Вычисли: (2·2)².

Подсказка. (xy)² = x²y².

Как решать. Квадрат произведения равен произведению квадратов: 2²·2².

Ответ: 16

Пример 9. Вычисли: 4² + 1. По образцу это 1 + tg²α при tg α = 4, то есть 1/cos²α.

Подсказка. Сначала возведи в квадрат, затем прибавь 1.

Как решать. 4·4 + 1: сначала квадрат, потом прибавляем единицу.

Ответ: 17

Пример 10. Многошаговая задача: вычисли 2² + 4² − 1. Если получится 0, точка (2; 4) лежит на единичной окружности.

Подсказка. Два квадрата, сложение, минус единица.

Как решать. Квадраты: 2·2 и 4·4. Затем складываем и вычитаем 1: 2²+4²−1.

Ответ: 19

Пример 11. Основное тождество устроено как сумма квадратов. По образцу вычисли: 5² + 8².

Подсказка. Сначала квадраты, потом сложение.

Как решать. 5² + 8² = 5·5 + 8·8: возводим в квадрат каждое число и складываем.

Ответ: 89

Пример 12. Вычисли: 6² − 1.

Подсказка. Порядок действий: сначала квадрат.

Как решать. 6·6 − 1: возводим в квадрат и вычитаем единицу. Так выглядит переход sin²α = 1 − cos²α.

Ответ: 35

Пример 13. Вычисли: 3² + 1. По образцу это 1 + tg²α при tg α = 3, то есть 1/cos²α.

Подсказка. Сначала возведи в квадрат, затем прибавь 1.

Как решать. 3·3 + 1: сначала квадрат, потом прибавляем единицу.

Ответ: 10

Пример 14. Основное тождество устроено как сумма квадратов. По образцу вычисли: 7² + 4².

Подсказка. Сначала квадраты, потом сложение.

Как решать. 7² + 4² = 7·7 + 4·4: возводим в квадрат каждое число и складываем.

Ответ: 65

Пример 15. Вычисли: (5·5)².

Подсказка. (xy)² = x²y².

Как решать. Квадрат произведения равен произведению квадратов: 5²·5².

Ответ: 625

Пример 16. Вычисли: 2² + 1. По образцу это 1 + tg²α при tg α = 2, то есть 1/cos²α.

Подсказка. Сначала возведи в квадрат, затем прибавь 1.

Как решать. 2·2 + 1: сначала квадрат, потом прибавляем единицу.

Ответ: 5

Пример 17. Многошаговая задача: вычисли 4² + 3² − 1. Если получится 0, точка (4; 3) лежит на единичной окружности.

Подсказка. Два квадрата, сложение, минус единица.

Как решать. Квадраты: 4·4 и 3·3. Затем складываем и вычитаем 1: 4²+3²−1.

Ответ: 24

Пример 18. Основное тождество устроено как сумма квадратов. По образцу вычисли: 6² + 4².

Подсказка. Сначала квадраты, потом сложение.

Как решать. 6² + 4² = 6·6 + 4·4: возводим в квадрат каждое число и складываем.

Ответ: 52

Пример 19. Вычисли: 9² − 1.

Подсказка. Порядок действий: сначала квадрат.

Как решать. 9·9 − 1: возводим в квадрат и вычитаем единицу. Так выглядит переход sin²α = 1 − cos²α.

Ответ: 80

Пример 20. Вычисли: (2·5)².

Подсказка. (xy)² = x²y².

Как решать. Квадрат произведения равен произведению квадратов: 2²·5².

Ответ: 100

Пример 21. Многошаговая задача: вычисли 3² + 4² − 1. Если получится 0, точка (3; 4) лежит на единичной окружности.

Подсказка. Два квадрата, сложение, минус единица.

Как решать. Квадраты: 3·3 и 4·4. Затем складываем и вычитаем 1: 3²+4²−1.

Ответ: 24

Вопрос 1. Чему равно sin²30° + cos²30°?

Ответ: 1

Пояснение. Основное тождество работает для любого угла: сумма квадратов синуса и косинуса всегда равна 1.

Вопрос 2. Верно ли: sin 30° + cos 30° = 1?

Ответ: Неверно

Пояснение. Сумма квадратов равна 1, а сумма самих значений ≈ 1,37. Это разные выражения — классическая ловушка.

Вопрос 3. Косинус — это какая координата точки на единичной окружности?

Ответ: абсцисса

Пояснение. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).

Вопрос 4. sin α = 0,6 и угол в первой четверти. Чему равен cos α?

Ответ: 0,8

Пояснение. cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64. В первой четверти косинус положителен, значит cos α = 0,8.

Вопрос 5. Какие значения может принимать sin α?

Ответ: 0,5; 1; −1

Пояснение. Область значений синуса — отрезок от −1 до 1, поэтому 1,5 невозможен.

Вопрос 6. Сопоставь термин и его смысл.

Пояснение. Три базовых определения — фундамент всей тригонометрии.

Вопрос 7. Разложи значения синуса по знаку.

Пояснение. Синус положителен в I и II четвертях (от 0° до 180°) и отрицателен в III и IV (от 180° до 360°).

Вопрос 8. Дополни тождество.

Ответ: 1 → синуса

Пояснение. Сумма квадратов координат точки единичной окружности равна квадрату радиуса, то есть 1. Тангенс = sin α : cos α.