Калькулятор арифметической и геометрической прогрессии

Копилка и банковский вклад растут по разным правилам. Положил на счёт 10 000 рублей и каждый месяц добавляешь ровно 1 000: суммы идут 10 000, 11 000, 12 000 — каждый шаг одинаковый. А если просто держать деньги на вкладе под 10% годовых и не трогать их, то 10 000 превратятся в 11 000, затем в 12 100, потом в 13 310 — каждый шаг всё крупнее, потому что проценты начисляются на новую сумму. Первый ряд — арифметическая прогрессия, второй — геометрическая. Калькулятор выше считает для любой из них n-й член и сумму первых n членов, а ниже разберём, откуда берутся формулы, почему школьник Гаусс сложил сто чисел за минуту и как одна задача про шахматную доску спасла царство от долга.

Арифметическая прогрессия и разность d

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа. Это число называют разностью и обозначают $d$: $a_{n+1}=a_n+d$. В ряду 3, 7, 11, 15 разность равна 4 — проверь: 7 − 3 = 4, 11 − 7 = 4, 15 − 11 = 4. Разность может быть отрицательной (20, 15, 10, 5 — лифт спускается), нулевой (7, 7, 7 — каждый день одно и то же событие) и дробной (2,5; 2,75; 3). Главное правило одно: прибавляется всегда одно и то же, иначе последовательность прогрессией не считается.

Из правила «прибавляй к предыдущему» (его называют рекуррентной формулой) выводится явная формула n-го члена. Смотри: $a_2=a_1+d$, $a_3=a_1+2d$, $a_4=a_1+3d$ — каждый шаг добавляет по одной d, и к члену с номером n их набирается ровно $n-1$. Получается формула n-го члена: $a_n=a_1+d(n-1)$. Она отвечает на вопрос «чему равен сотый член?» без выписывания девяноста девяти промежуточных: для ряда с $a_1=2$ и $d=3$ десятый член равен $2+3\cdot 9=29$. Как найти разность арифметической прогрессии по готовому ряду — вычесть из любого члена предыдущий: $d=a_{n+1}-a_n$.

Работает формула и в обратную сторону. Если известны первый член и какой-то дальний, разность выражается так: $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$ — разность крайних членов, делённая на число шагов между ними. Пример: в прогрессии $a_1=7$, а девятый член равен 31; между первым и девятым восемь шагов, значит $d=(31-7):8=3$. Так решаются типовые задания ОГЭ, где прогрессия задана двумя членами, а найти нужно и d, и десятый член, и сумму.

Сумма первых n членов: приём Гаусса

Легенда рассказывает: девятилетний Карл Гаусс сидел на уроке арифметики, когда учитель велел классу сложить все числа от 1 до 100 — рассчитывал занять детей на полчаса. Гаусс ответил через минуту: 5050. Он заметил, что 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 — пары, взятые с разных концов ряда, дают одно и то же число. Пар таких ровно пятьдесят, значит вся сумма равна $50\cdot 101=5050$.

Тот же приём работает для любой арифметической прогрессии. Сложи первый член с последним: вторая пара — второй член с предпоследним — даст ту же сумму, потому что один растёт на d, а другой на столько же уменьшается. Значит, сумма всех членов равна «сумме крайних», умноженной на количество пар, то есть $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$. Формула читается так: среднее арифметическое первого и последнего члена, умноженное на число членов. Например, для прогрессии 3, 7, 11, 15, 19 сумма равна $(3+19)\cdot 5:2=55$ — и ровно то же число получится прямым сложением.

Геометрическая прогрессия и знаменатель q

Геометрическая прогрессия устроена иначе: каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ — знаменатель прогрессии: $b_{n+1}=b_n\cdot q$. Отсюда формула n-го члена: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$. При $q>1$ ряд разгоняется (2, 6, 18, 54), при $0<q<1$ — тает (8, 4, 2, 1), при отрицательном $q$ знаки чередуются: 1, −2, 4, −8 — это знакочередующаяся последовательность. Первым членом не может быть ноль: тогда знаменатель теряет смысл, ведь из нуля никакое умножение не сделает ничего, кроме нуля.

Сумму геометрической прогрессии выводят хитрым сдвигом. Обозначь сумму $S$, умножь её на $q$ и вычти исходную сумму: почти все члены сократятся парно, останется $S(q-1)=b_1(q^n-1)$, откуда $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$. Делить нельзя только при $q=1$: там формула ломается, но прогрессия при таком q постоянна, и сумма равна $n\cdot b_1$. А теперь легенда о том, чем кончается недооценка умножения. Изобретателю шахмат пообещали плату зерном: за первую клетку одно зерно, за вторую два, за третью четыре — за каждую следующую вдвое больше. На 64-й клетке лежало бы $2^{63}$ зёрен, а всего вышло бы $2^{64}-1\approx 1,8\cdot 10^{19}$ штук. При весе зерна около 0,065 грамма это примерно 1,2 триллиона тонн пшеницы — столько не соберут все страны мира и за полторы тысячи лет нынешних урожаев. Правитель, не умевший считать геометрические прогрессии, оказался должен больше, чем производит вся планета.

Бесконечно убывающая прогрессия

Если знаменатель по модулю меньше единицы ($|q|<1$), прогрессию называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией: члены всё меньше и меньше, а их бесконечная сумма вдруг оказывается конечным числом: $S=\frac{b_1}{1-q}$. Складывая $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ — то есть деля отрезок пополам без конца, — получаем ровно 1. Тот же ряд возникает, если разрезать квадрат со стороной 1 пополам, потом одну половину ещё пополам и так без конца: площади кусков сложатся ровно в площадь целого квадрата. Так же работает периодическая дробь: $0,(3)=0,3+0,03+0,003+\cdots =\frac{1}{3}$. Этот ряд — точный ответ на знаменитый парадокс Зенона про Ахиллеса и черепаху, который два тысячелетия пугал философов бесконечностью.

Прогрессии окружают деньги и природу. Сложный процент по вкладу — чистая геометрическая прогрессия: 10 000 рублей под 10% годовых дают 11 000, 12 100, 13 310 — и калькулятор выше пересчитает это за секунду. Равные платежи по рассрочке, аренде, одинаковые ежемесячные пополнения — арифметическая прогрессия. Отскоки мяча после броска уменьшаются вдвое — геометрическая с $q=0,5$; бактерии, делящиеся каждые 20 минут, — геометрическая с $q=2$; номера дней недели в календаре — арифметическая с $d=1$. Даже накопление навыков подчиняется этим двум правилам: первые повторения дают равные прибавки, а рост «на десять процентов от достигнутого» — уже геометрическая прогрессия. На ОГЭ по математике в 9 классе прогрессии — отдельная группа заданий: обычно просят найти член, разность, знаменатель или сумму, а на ЕГЭ базового уровня встречаются текстовые задачи про рост вклада. Введи условие задачи в калькулятор, сверь ход решения со своими выкладками — и формулы закрепятся сами.