Алгебра · 9 классурок · 2026-09-27~7 мин чтения

Корень n-й степени. Степенная функция

Из куба объёмом 125 дм³ достаём ребро 5: корень n-й степени, его свойства, ловушки чётных степеней и знакомство со степенной функцией.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Дедушка привёз аквариум кубической формы на 125 литров — это 125 дм³ — и просит подобрать тумбу со стороной ровно под него. Какой длины ребро? Нужно найти число, которое в кубе даёт 125. Перебор быстрый: 4³ = 64 — мало, 5³ = 125 — в точку. Ответ «корень третьей степени из 125» в девятом классе учатся записывать коротко: ∛125 = 5. Обратная операция к возведению в степень нужна везде, где объёмы, площади и обратные задачи на формулы.

Корень n-й степени и степенная функция

Корнем n-й степени из числа a называют число, n-я степень которого равна a; пишут $n a$ . Например, $36 = 6$ , $364 = 4$ , $481 = 3$ . Свойства позволяют разбирать сложные выражения: корень из произведения равен произведению корней, $4 \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$ . С корнями связана степенная функция $y = x^{n}$ : при n = 2 это парабола, при n = 3 — кубическая парабола, а график $y = x$ начинается в нуле и поднимается всё положе: при x = 4 он на высоте 2, при x = 9 — на высоте 3.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 4

Термины

Определения

Собери пары: считаем корни

Соедини выражение с его значением — перед тренажёром разомнись на четвёрках.

Утверждение 1 из 4

Корень третьей степени из −27 равен −3.

Верно или нет?

Каждый раз проверяй: степень чётная или нечётная?

(n a)^{n} = a, n ab = n a \cdot n b

Корень отменяет степень, корень из произведения распадается на произведение корней

Свойство	Формула	Пример
Корень из произведения	$n ab = n a \cdot n b$	$3 8 \cdot 27 = 2 \cdot 3 = 6$
Корень из частного	$n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$	$3 \frac{8}{27} = \frac{2}{3}$
Корень из корня	$m n a = mn a$	$364 = 664 = 2$
Корень и степень	$(n a)^{n} = a$	$(43)^{4} = 3$

Как решать по шагам: x³ = −125

Степень нечётная — минус достаётся: корень существует.
Ищи число, куб которого равен 125: 5³ = 125.
Припиши минус: x = ∛(−125) = −5.
Проверка: (−5)³ = −125 — верно.

Заполнено: 0 из 2

Корень степени из отрицательного числа не существует, а корень степени из −32 равен −2.

Банк слов

Заполни правило чётности

Вставь слова из банка в пропуски.

Арифметический корень: слово, которое всё меняет

У уравнения x² = 25 два корня: 5 и −5. Но запись √25 означает только одно число — 5. Неотрицательное значение корня называют арифметическим, и именно его обозначает знак радикала. Отсюда формула, на которой спотыкается половина класса: √(x²) = |x|. При x = 7 модуль ничего не меняет, а при x = −7 под корнем стоит 49, корень равен 7, то есть ровно |−7|. Корень из квадрата не может вернуть минус — таково определение. Возведение в степень и извлечение корня — взаимно обратные операции, как умножение и деление: (√a)² = a и (∛a)³ = a. Но работает это аккуратно только при неотрицательных числах: равенство (√x)² = x верно лишь при x ≥ 0.

x^{2} = ∣ x ∣

Корень из квадрата равен модулю подкоренного выражения

У корней нечётной степени с минусом всё проще: уравнение y³ = −8 имеет единственный корень −2, и пишут ∛(−8) = −2. Нечётная степень сохраняет знак, поэтому корень нечётной степени из отрицательного числа существует и отрицателен. Степенная функция y = x³ при этом проходит через начало координат и растёт в обе стороны: слева график убывает вниз, справа поднимается вверх.

Свойства корней: разбираем примеры

Свойства из таблицы работают в обе стороны. Разложи подкоренное число на множители — и часть корня извлечётся: √72 = √(36 · 2) = 6√2, потому что 36 — точный квадрат. Так же √45 = √(9 · 5) = 3√5 и ∛40 = ∛(8 · 5) = 2∛5. Обратный ход собирает произведение корней в один: 2√3 · 5√3 = 10 · 3 = 30 — перемножаются коэффициенты и подкоренные числа. Возведение в степень упрощается мгновенно: (√5)² = 5 и (∛7)³ = 7, потому что корень и степень взаимно уничтожаются. Наконец, прикидка опирается на соседние точные квадраты: √50 лежит между √49 = 7 и √64 = 8, причём ближе к семёрке, поэтому √50 ≈ 7,07.

Соберём маленькую шпаргалку упрощений: √12 = 2√3, потому что двенадцать — это четыре на три; √18 = 3√2; √27 = 3√3; а ∛16 = 2∛2, потому что шестнадцать — это восемь на два. Проверяй себя обратным действием: 2√3 в квадрате даёт 4 · 3 = 12 — всё верно. Такие упрощения постоянно всплывают в геометрии — диагональ квадрата со стороной c равна c√2 — и позже в тригонометрии, поэтому довести их до автоматизма полезно уже в девятом классе.

График y = √x — визитная карточка темы. Он начинается в нуле и поднимается всё положе: при x = 4 высота 2, при x = 9 высота 3, при x = 16 высота 4. Чтобы подняться ещё на единицу, иксу приходится расти всё быстрее — сначала на 5, потом на 7. Так выглядит обратная сторона быстрого роста параболы: графики y = x² при x ≥ 0 и y = √x симметричны относительно прямой y = x. Степенная функция y = xⁿ при больших n растёт ещё круче, а её обратная — корень n-й степени — поднимается ещё положе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Дробь с корнем в знаменателе считается незаписанной до конца: в классической записи радикал внизу не оставляют. Приём один — умножить числитель и знаменатель на подходящее выражение. Для 1/√2 умножают на √2/√2: получается √2/2. Для 5/√5 умножают на √5: выходит 5√5/5, то есть √5. Для 3/√3 точно так же выходит √3. Значение дроби не меняется, меняется только форма записи — но с ней удобнее считать дальше и сравнивать выражения. В старших классах добавится домножение на сопряжённое выражение, например для дроби 1/(√2 + 1), но принцип останется прежним.

Корни вокруг нас: экран, лестница, падение

Теорема Пифагора — главный поставщик корней. Экран телевизора имеет диагональ 65 см и ширину 52 см; высота равна √(65² − 52²) = √(4225 − 2704) = √1521 = 39 см. Строительная лестница длиной 5 м, поставленная в 3 м от стены, достаёт до высоты √(25 − 9) = 4 м. Физика добавляет свободное падение: без начальной скорости путь равен 5t², поэтому камень падает с высоты 125 м ровно √(125 : 5) = √25 = 5 секунд.

Не всегда ответ выходит целым. Диагональ квадрата со стороной 1 м равна √2 ≈ 1,41 м — иррациональное число, бесконечная непериодическая дробь, которую невозможно записать в виде обыкновенной. Корни не обязаны считаться нацело: их оценивают между соседними целыми числами и при необходимости округляют. Само существование таких чисел когда-то потрясло пифагорейцев: длина диагонали есть, а дроби для неё в их таблицах нет.

Словарь урока

Арифметический корень#: Неотрицательное значение корня: √36 = 6, а не ±6.
Радикал#: Знак корня; число под ним — подкоренное выражение, сама степень — показатель корня.
Иррациональное число#: Число, которое нельзя записать обыкновенной дробью: √2 ≈ 1,4142…
Вынесение множителя из-под корня#: Разложение с точным квадратом внутри: √72 = 6√2.
Сопряжённое выражение#: Пара вида √2 + 1 и √2 − 1; их произведение убирает радикал из знаменателя.
Степенная функция#: Функция y = xⁿ; при n = 2 — парабола, а график y = √x растёт всё медленнее.

Разбор типовой задачи

Сколько секунд камень падает с высоты 125 метров?

Запиши формулу пути при свободном падении: h = 5t² (ускорение свободного падения округлено до 10 м/с²).
Подставь высоту: 125 = 5t².
Вырази квадрат времени: t² = 125 : 5 = 25.
Извлеки арифметический корень: t = √25 = 5.
Отбрось лишнего кандидата: t = −5 тоже в квадрате даёт 25, но время отрицательным не бывает.
Проверь: 5 · 5² = 125 — верно, значит падение длится 5 секунд.

Как спрашивают на ОГЭ

Вычисли корень: сначала посмотри на показатель и знак подкоренного выражения — чётная степень требует неотрицательного числа.
Сравни выражения: приводи к одному показателю, 3√5 и 2√10 превращаются в √45 и √40, поэтому первое больше.
Найди значение выражения с переменной: подставляй аккуратно и помни про √(x²) = |x|.
Реши уравнение вида x⁴ = 16 или x³ = −27: чётная степень даёт два корня или ни одного, нечётная — всегда один.
Задача с формулой из физики или геометрии: выражай нужную величину и проверяй ответ на здравый смысл.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Вычисли корень третьей степени из 64.

Какое выражение не имеет смысла?

Объём кубического аквариума — 343 дм³. Найди длину его ребра в дециметрах.

Уравнение x³ = −8 имеет решение.

Вычисли $6^{2} + 8^{2}$ .

Сопоставь понятие и утверждение о нём.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Разложи выражения по возможности посчитать.

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни вычисление корня.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

∛(−27) = , потому что число в кубе даёт −27.

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему $\sqrt{a^2} = |a|$, а не просто a?

Если a = −5, то a² = 25 и корень равен 5, а не −5. Корень чётной степени не бывает отрицательным, поэтому и пишут модуль.

Когда корень из отрицательного числа существует?

Только при нечётном показателе: ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. Для чётных степеней корня нет: квадрат любого числа неотрицателен.

Что такое степенная функция?

Функция вида y = x^n. При n = 2 — парабола, при n = 3 — кубическая парабола, а y = √x растёт всё медленнее: чтобы подняться с 3 до 4, иксу нужно вырасти с 9 до 16.

Зачем избавляться от иррациональности в знаменателе?

Дробь вида 1/√2 считается незаписанной до конца: под корнем не оставляют знаменатель. После умножения на √2/√2 получается √2/2 — значение то же самое, но с такой формой удобнее считать дальше и сравнивать выражения.