Аксиомы стереометрии. Прямые в пространстве

Ты клеишь плинтус в комнате 3 на 4 метра. Пол — плоскость, стены — ещё плоскости, а плинтус идёт по линии, где пол встречается со стеной. На бумаге, в планиметрии, всё умещалось на один лист. Здесь фигуры живут в пространстве: потолок, пол и стены не поместить на один чертёж. Стереометрия строится на трёх аксиомах — утверждениях, которые принимают без доказательства, — и из них выводится всё остальное. Комната станет твоим первым трёхмерным чертежом.

Три аксиомы и скрещивающиеся прямые

Аксиома 1: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Табурет на трёх ножках стоит твёрдо, а четвёртую пришлось бы подгонять — потому и три. Аксиома 2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Аксиома 3: если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой — плинтус как раз линия пересечения пола и стены. Совет: плоскость задают также прямая и точка вне неё, две пересекающиеся или две параллельные прямые — это следствия первой аксиомы. И главное отличие от планиметрии: в пространстве есть скрещивающиеся прямые. Дорога и эстакада над ней нигде не встречаются, но параллельными их не назовёшь.

Следствия первой аксиомы дают ещё три способа задать плоскость — все они сведены в таблицу, и любой из них годится в задаче. Обозначения держи школьные: точки — заглавными латинскими A, B, C; прямые — строчными a, b или двумя точками AB; плоскости — греческими буквами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Запись $M\in \alpha$ читается «точка M лежит в плоскости альфа».

Прямая относительно плоскости живёт в трёх положениях: лежит в ней (все точки общие), пересекает (одна общая точка) или параллельна (общих точек нет). Различить эти случаи — первая работа в каждой стереометрической задаче, и делается она через вторую аксиому: нашёл две общие точки прямой и плоскости — прямая лежит в плоскости.

Аксиомы в комнате: пять проверок

Комната — готовый стенд для проверки аксиом, и прогнать его стоит самому. Пол и стена встречаются не в одной точке, а по целой прямой — третья аксиома в действии, поэтому плинтус и идёт по кругу. Дверь, закреплённая на двух петлях, вместе со всем контуром полотна лежит в одной плоскости — работает вторая аксиома: двух общих точек прямой с плоскостью достаточно. Стол стоит уверенно на любых трёх ножках из четырёх — первая аксиома: три точки, не сидящие на одной прямой, держат ровно одну плоскость. А вот линия у потолка и линия у пола одной стены никогда не встретятся, хотя обе лежат в этой стене: это параллельные прямые, и общая плоскость у них есть.

• ножки табурета в трёх углах пола задают ровно одну плоскость — аксиома 1
• дверь на двух петлях целиком сидит в плоскости полотна — аксиома 2
• плинтус идёт по прямой пересечения пола и стены — аксиома 3
• край двери и край окна вдоль одной стены параллельны: общая плоскость существует
• тротуар и дорога на эстакаде не встречаются и общей плоскости не имеют — скрещиваются

Следствия со счётом: что задаёт плоскость, а что нет

Четыре способа задать плоскость стоит проговорить со счётом. Прямая плюс точка вне неё: плоскость ровно одна — точка либо лежит в плоскости прямой, либо нет, третьего не дано. Две пересекающиеся прямые: снова одна, ведь общая точка единственная, и обе прямые обязаны в ней сидеть. Две параллельные прямые: опять одна. А вот четыре точки ничего не гарантируют: если они в одной плоскости — она единственная, если нет, как вершины тетраэдра, — общей плоскости нет вообще. Поэтому в задачах так часто звучит оговорка «никакие три точки не лежат на одной прямой»: она обещает, что любые три из них зададут плоскость.

Проверь себя на любимом вопросе контрольных: верно ли, что через любые три точки проходит плоскость? Ответ: нет. Если точки сидят на одной прямой, через них проходит бесконечно много плоскостей, и ни одна не выделена. Именно поэтому в первой аксиоме стоит оговорка «не лежащие на одной прямой», и её потеря стоит балла в формулировке.

Признак скрещивающихся прямых

Доказывать скрещивание удобно признаком: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке вне первой прямой, — прямые скрещиваются. Приём простой: одна прямая заякорена в плоскости, вторая её протыкает мимо первой. В кубе с ребром 6 смотри на рёбра AB и CC₁: первое целиком лежит в плоскости нижней грани по второй аксиоме, второе начинается в точке C этой грани и уходит вверх, причём C на прямой AB не лежит. Общей плоскости у них нет — прямые скрещиваются, и даже угол между ними считается.

Изображение куба на листе

Стереометрию рисуют по правилам, и это не украшение, а язык. Плоскость изображают параллелограммом, невидимые линии — пунктиром, а равные отрезки могут выйти разными: параллельная проекция искажает длины, но сохраняет параллельность и отношения длин на одной прямой. Поэтому квадрат верхней грани куба на рисунке — параллелограмм, и это честное изображение, а не ошибка. Правило чертёжника простое: отмечай на рисунке всё, что дано, — точки, параллельность, перпендикуляры. Половина ошибок в стереометрии рождается из чертежа, на котором данные не отмечены.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Стереометрия#

раздел геометрии о фигурах в пространстве, где одной плоскостью уже не обойтись

Аксиома#

утверждение, принимаемое без доказательства: на трёх аксиомах стоит вся теория

Следствие#

утверждение, выведенное из аксиом, — например, четыре способа задать плоскость

Скрещивающиеся прямые#

прямые без общих точек, для которых нельзя провести общую плоскость

Линия пересечения#

прямая, по которой режутся две плоскости, — плинтус между полом и стеной

Признак#

условие, которого достаточно для вывода, — например, признак скрещивающихся прямых

Как это спрашивают на контрольной

• сколько плоскостей проходит через прямую и точку вне неё — ровно одна, по следствию
• докажи, что прямые скрещиваются, — признак с указанием плоскости и точки
• прямые a и b параллельны, прямая c пересекает a. Что между b и c? — пересечение или скрещивание, гарантий нет
• плоскости режутся по прямой c, и прямая a из первой плоскости пересекает c. Заденет ли a вторую плоскость? — да, в той же точке
• найди угол между скрещивающимися рёбрами куба — параллельный перенос и планиметрия

В каждом пункте выигрывает тот, кто опирается на аксиому по имени. Любимая ловушка — вопрос о четвёртой точке: три точки задают плоскость, а четвёртая может в ней лежать, а может и нет. Отвечай не «да» и не «нет», а «не обязательно», и подкрепляй ответ аксиомой: через три точки плоскость одна, а четвёртая точка выбирает её судьбу.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема