Аксиомы стереометрии. Прямые в пространстве — тренажёр

Пример 1. Никакие три из 9 точек не лежат на одной прямой. Сколько прямых проходит через первую из них и каждую из остальных точек?

Подсказка. Остальных точек 9-1, и каждой отвечает своя прямая.

Как решать. Из фиксированной точки выходит ровно по одной прямой к каждой из остальных: 9-1 прямых.

Ответ: 8

Пример 2. Прямые a и b пересекаются. На прямой a отметили 2 точек, на прямой b — 5 точек, а точку пересечения не считали. Сколько прямых задают пары «точка с прямой a и точка с прямой b»?

Подсказка. Две пересекающиеся прямые сидят в одной плоскости, каждой паре отвечает своя прямая.

Как решать. Каждая из 2 точек первой прямой соединяется с каждой из 5 точек второй: 2*5 прямых.

Ответ: 10

Пример 3. Пол комнаты — прямоугольник 6 м на 4 м. Сколько метров плинтуса нужно на весь периметр?

Подсказка. Периметр прямоугольника.

Как решать. Плинтус идёт по периметру: 6 + 4 + 6 + 4 = 2*(6+4).

Ответ: 20

Пример 4. Никакие три из 5 точек не лежат на одной прямой. Сколько прямых проходит через первую из них и каждую из остальных точек?

Подсказка. Остальных точек 5-1, и каждой отвечает своя прямая.

Как решать. Из фиксированной точки выходит ровно по одной прямой к каждой из остальных: 5-1 прямых.

Ответ: 4

Пример 5. Прямые a и b пересекаются. На прямой a отметили 5 точек, на прямой b — 6 точек, а точку пересечения не считали. Сколько прямых задают пары «точка с прямой a и точка с прямой b»?

Подсказка. Две пересекающиеся прямые сидят в одной плоскости, каждой паре отвечает своя прямая.

Как решать. Каждая из 5 точек первой прямой соединяется с каждой из 6 точек второй: 5*6 прямых.

Ответ: 30

Пример 6. Пол комнаты — прямоугольник 4 м на 2 м. Сколько метров плинтуса нужно на весь периметр?

Подсказка. Периметр прямоугольника.

Как решать. Плинтус идёт по периметру: 4 + 2 + 4 + 2 = 2*(4+2).

Ответ: 12

Пример 7. Никакие три из 8 точек не лежат на одной прямой. Сколько прямых проходит через первую из них и каждую из остальных точек?

Подсказка. Остальных точек 8-1, и каждой отвечает своя прямая.

Как решать. Из фиксированной точки выходит ровно по одной прямой к каждой из остальных: 8-1 прямых.

Ответ: 7

Пример 8. Прямые a и b пересекаются. На прямой a отметили 4 точек, на прямой b — 3 точек, а точку пересечения не считали. Сколько прямых задают пары «точка с прямой a и точка с прямой b»?

Подсказка. Две пересекающиеся прямые сидят в одной плоскости, каждой паре отвечает своя прямая.

Как решать. Каждая из 4 точек первой прямой соединяется с каждой из 3 точек второй: 4*3 прямых.

Ответ: 12

Пример 9. Никакие три из 10 точек не лежат на одной прямой. Сколько прямых проходит через первую из них и каждую из остальных точек?

Подсказка. Остальных точек 10-1, и каждой отвечает своя прямая.

Как решать. Из фиксированной точки выходит ровно по одной прямой к каждой из остальных: 10-1 прямых.

Ответ: 9

Пример 10. Прямые a и b пересекаются. На прямой a отметили 6 точек, на прямой b — 6 точек, а точку пересечения не считали. Сколько прямых задают пары «точка с прямой a и точка с прямой b»?

Подсказка. Две пересекающиеся прямые сидят в одной плоскости, каждой паре отвечает своя прямая.

Как решать. Каждая из 6 точек первой прямой соединяется с каждой из 6 точек второй: 6*6 прямых.

Ответ: 36

Пример 11. Пол комнаты — прямоугольник 7 м на 6 м. Сколько метров плинтуса нужно на весь периметр?

Подсказка. Периметр прямоугольника.

Как решать. Плинтус идёт по периметру: 7 + 6 + 7 + 6 = 2*(7+6).

Ответ: 26

Пример 12. Прямые a и b пересекаются. На прямой a отметили 6 точек, на прямой b — 5 точек, а точку пересечения не считали. Сколько прямых задают пары «точка с прямой a и точка с прямой b»?

Подсказка. Две пересекающиеся прямые сидят в одной плоскости, каждой паре отвечает своя прямая.

Как решать. Каждая из 6 точек первой прямой соединяется с каждой из 5 точек второй: 6*5 прямых.

Ответ: 30

Пример 13. Пол комнаты — прямоугольник 3 м на 6 м. Сколько метров плинтуса нужно на весь периметр?

Подсказка. Периметр прямоугольника.

Как решать. Плинтус идёт по периметру: 3 + 6 + 3 + 6 = 2*(3+6).

Ответ: 18

Вопрос 1. Сколько плоскостей проходит через три точки, не лежащие на одной прямой?

Ответ: 1

Пояснение. Это первая аксиома стереометрии: такая плоскость существует и единственная.

Вопрос 2. Прямые a и b не имеют общих точек, и через них нельзя провести общую плоскость. Как они называются?

Ответ: скрещивающимися

Пояснение. Нет общей плоскости — прямые скрещиваются: это главная новинка пространства.

Вопрос 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они обязательно пересекаются по прямой.

Ответ: Верно

Пояснение. Так гласит третья аксиома: общей точки мало, пересечение идёт по целой прямой.

Вопрос 4. Сколько прямых можно провести через две точки?

Ответ: 1

Пояснение. Через две точки проходит ровно одна прямая — и в планиметрии, и в стереометрии.

Вопрос 5. Какие прямые в пространстве не имеют общих точек?

Ответ: параллельные; скрещивающиеся

Пояснение. Пересекающиеся имеют общую точку, совпадающие — бесконечно много общих точек. Остаются параллельные и скрещивающиеся.

Вопрос 6. Что из перечисленного относится к стереометрии?

Пояснение. Про плоскости — стереометрия, про углы и треугольники на одном листе — планиметрия.

Вопрос 7. Вставь пропущенное.

Ответ: прямой → единственная

Пояснение. Третья аксиома: общей точки мало — плоскости режутся по целой прямой. А прямая с точкой вне неё задают плоскость однозначно.

Вопрос 8. Сколько плоскостей проходит через прямую и не лежащую на ней точку?

Ответ: ровно одна

Пояснение. Прямая и точка вне неё задают плоскость однозначно — это следствие первой аксиомы стереометрии.