Объёмы тел

Летний киоск: вафельный рожок — конус высотой 12 см и радиусом 3 см, шарик мороженого — почти шар радиуса 2,5 см. Хватит ли рожка, если мороженое подтает и осядет? Объём рожка: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 9\cdot 12=108$ см³ при π ≈ 3. Шарик: считаем 2,5³ ≈ 15,6, умножаем на 4 — около 63 см³. Запас есть, рожок не переполнит. Объёмы считают там, где взвесить нельзя: бензовозы, аквариумы, силосные башни.

Объёмы тел: от бочки до шара

Для цилиндра правило то же, что для призмы: площадь основания умножить на высоту, а основание — круг, поэтому $V=\pi r^{2}h$. У конуса слои от дна к вершине сжимаются, и объём выходит ровно втрое меньше: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Шар: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ — вывод требуют интегралы, а в школе формулу просто применяют. Прикинь цистерну: радиус 2 м, длина 5 м, π ≈ 3. Объём 3·4·5 = 60 м³, то есть 60 000 литров — целый бензовоз. Шар радиуса 1 м вмещает около 4 м³ — четыре куба воды.

Масштабирование запомни на кастрюле: увеличил радиус и высоту в 2 раза — объём вырос не вдвое, а в 2³ = 8 раз, потому что растут все три измерения. Второй бытовой инструмент — плотность: масса равна плотности на объём. У воды плотность 1 г/см³, поэтому кубометр весит тонну, и 60 м³ цистерны из теории — это сразу 60 тонн топлива.

Литр — это кубический дециметр, и это самый быстрый мост от формул к жизни: 1 л = 1 дм³, 1 м³ = 1000 л. Бочка на 200 литров — это 200 дм³, и её размеры легко прикинуть обратно: цилиндр с радиусом 30 см и высотой 70 см даёт как раз около 200 л.

Проверка без формул: кубометр — это куб со стороной 1 м, он складывается из 10 × 10 × 10 = 1000 кубиков со стороной 10 см, и каждый такой кубик — ровно литр. Вот откуда 1000 л в кубометре, без единого вычисления с π.

Призма и пирамида: формулы на любой полигон

Цилиндр — не единственный обладатель правила «основание на высоту». Любая призма, хоть треугольная, хоть шестиугольная, считается так же: $V=S\cdot h$. Призма с площадью основания 12 см² и высотой 7 см вмещает 84 см³. Пирамида — «ужатая» призма: её объём ровно втрое меньше, $V=\frac{1}{3}S\cdot h$. Пирамида Хеопса: основание — квадрат 230 × 230 м, высота 147 м. Объём $rac13\cdot 52900\cdot 147\approx 2,6$ млн м³ — столько камня, что грузовиками его не вывезли бы и за век.

Треть пирамиды — не абстракция, а эксперимент: налей воду в пирамиду с теми же основанием и высотой, что у призмы, и ровно три пирамиды заполнят призму. Такую проверку делают ещё в 5 классе на моделях, а в 11 классе формула уже применяется к конусу — механика та же. Главное — не потерять множитель, когда основание круглое, а не квадратное.

Разбор типовой задачи

Задачи-сравнения любят за проверку здравого смысла: если бы стакан вышел вдвое вместительнее пакета при близких размерах, ответ стоило бы перепроверить. Заметь и приём с π ≈ 3 — прикидка даёт порядок, а точное значение просят отдельно.

Сложные тела: режь на части

Реальные объекты редко бывают чистым цилиндром или пирамидой. Силосная башня — цилиндр с конусной крышей: считай два объёма отдельно и складывай. Цистерна со сферическими днищами — цилиндр плюс два сегмента шара. Классика задач — цилиндр с вырезанным конусом или куб с продырявленным каналом: здесь работает вычитание. План всегда один: разбить тело на стандартные куски, посчитать каждый объём и собрать сумму или разность.

Литры, тонны и плотность

Объём редко нужен в кубометрах сам по себе. Молоковоз с цистерной 20 м³ возит около 20 тонн молока: плотность молока почти как у воды. Бетономешалка на 9 м³ везёт примерно 21,6 тонны бетона — плотность бетона 2,4 т/м³. Аквариум 60 × 30 × 40 см — это 72 000 см³, то есть 72 литра: тысяча кубических сантиметров складывается в литр.

• 1 л = 1 дм³ = 1000 см³ — три записи одного литра.
• 1 м³ = 1000 л — куб со стороной 1 м вмещает тонну воды.
• Масса = плотность × объём — мост от геометрии к весам.
• Вода: 1 г/см³; бетон: 2,4 г/см³; воздух: 0,0012 г/см³.

Плотность объясняет и плавучесть: лёд весит 0,9 г/см³ — легче воды, поэтому айсберг плавает, спрятав девять десятых под поверхностью. Литровая банка ртути весит 13,6 кг: ртуть тяжелее воды в 13,6 раза, и в ней плавает даже железо. Когда в задаче дана плотность, сначала пойми, о каких единицах речь: г/см³ и кг/м³ отличаются ровно в тысячу раз.

Подобие: почему масштаб в кубе

Увеличь все размеры тела в k раз — объём вырастет в k³ раз, потому что растут три измерения сразу. Модель корабля 1 : 100 легче оригинала не в сто, а в миллион раз. То же на кухне: две кастрюли с одинаковыми пропорциями, но радиусами 10 и 20 см, отличаются по объёму в восемь раз — большая не «вдвое больше», а в восемь. Отсюда и правило шара: удвоил радиус — получил 2³ = 8 объёмов.

Из кубического масштаба следует практический вывод: объём и покрытие растут по-разному. Площадь поверхности модели растёт лишь как k² — если корабль уменьшили в 10 раз, краски нужно в 100 раз меньше, а воды модель вытеснит в 1000 раз меньше. Для миниатюр работает одно правило, для покрытий — другое, и путать их не стоит.

Словарь урока

Объём#

сколько места занимает тело; измеряется в кубических единицах

Литр#

кубический дециметр: 1 л = 1000 см³

Кубометр#

1 м³ = 1000 литров — базовая единица счётчиков воды

Плотность#

масса единицы объёма: у воды 1 г/см³, у бетона 2,4 г/см³

Подобные тела#

тела с одинаковыми пропорциями; объёмы относятся как куб коэффициента

Коэффициент подобия#

во сколько раз увеличены все линейные размеры

Как это спрашивают на контрольной

• «Найдите объём призмы или цилиндра» — площадь основания на высоту.
• «Найдите объём пирамиды или конуса» — та же формула, но с третью.
• «Переведите объём в литры» — 1 л = 1 дм³, а 1 м³ = 1000 л.
• «Во сколько раз вырастет объём при увеличении ребра» — куб коэффициента.
• «Найдите массу воды или бетона» — объём умножь на плотность.

Объёмы — самая практичная глава стереометрии: счётчики воды, рецепты и стройка живут по этим формулам. Проверь себя на домашнем аквариуме или чайнике: измерь размеры, посчитай объём и сверь с надписью на дне.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема