ГеометрияКалькулятор2026-09-01

Калькулятор объёма пирамиды и конуса

Три режима: объём пирамиды с треугольным, квадратным или готовым основанием, объём конуса с образующей и боковой поверхностью, проверка «призма против пирамиды» — одна и та же треть на живых числах. Подстановка по шагам, палатка-шалаш и рожок мороженого, ловушки с высотой и радиусом.

Объём пирамиды: V = S·h/3, конуса: V = π·r²·h/3 — треть от призмы и цилиндра

Сторона квадрата a (см)смВысота пирамиды h (см)см

Объём пирамиды: V = 120 см³ · основание S = 36 см²

Площадь квадратного основания: сторона в квадрате. $S = 6^{2} = 36 cm^{2}$
Формула объёма: треть от площади основания, умноженной на высоту. $V = \frac{1}{3} S h$
Подставляем площадь основания и высоту пирамиды. $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120 cm^{3}$

Призма с тем же основанием и высотой вмещала бы 360 см³ — втрое больше: пирамида съедает две трети. Высота в расчёте — перпендикуляр к плоскости основания; если в условии дано боковое ребро, сначала добудь высоту по Пифагору.

Палатка-шалаш на трёх кольях — треугольная пирамида в чистом виде: колья втыкают по углам треугольника, а верхушки связывают в одну точку. Перед походом встаёт бытовой вопрос: сколько воздуха внутри, хватит ли на двоих с рюкзаками? Объём ведром не намеришь, но считается он одной формулой: площадь пола умножить на высоту и взять треть. А если жерди воткнуть по кругу и стянуть наверху, получится шалаш-конус — схема та же, только основание круглое. Калькулятор выше работает в трёх режимах: объём пирамиды с треугольным, квадратным или готовым основанием, объём конуса — заодно с образующей и боковой поверхностью, и сравнение «призма против пирамиды», чтобы треть ощущалась на числах. Ниже разберём, откуда в формуле берётся эта треть и где про неё спотыкаются.

Откуда в формуле треть

Пирамида — многогранник: в основании лежит многоугольник, а треугольные боковые грани сходятся в одной вершине. Возьми призму с точно таким же основанием и той же высотой — «надстройку» над тем же полом. Во сколько раз она вместительнее? Половина — неправильный ответ: ровно в три. Проверяется на воде за минуту: пустую призму заполняют пирамидой с тем же основанием — одно переливание, второе, третье, и призма полна. Математики объясняют это разрезанием: призму с треугольным основанием удаётся разбить на три равновеликие пирамиды, поэтому каждой достаётся по трети. Отсюда и запись: объём призмы равен S·h, а у пирамиды перед этим произведением стоит множитель одна третья.

V = \frac{1}{3} S h

Объём пирамиды: одна треть от площади основания, умноженной на высоту

Треть работает не только у пирамид с углами. Конус прячется в цилиндре с тем же основанием и высотой точно так же: $\frac{1}{3} π r^{2} h$ против $π r^{2} h$ у цилиндра. Быстрая проверка на числах: призма с площадью основания 36 см² и высотой 10 см вмещает 360 см³, а пирамида над тем же полом — ровно 120 см³. Если твой ответ вышел больше призмы — треть где-то потерялась, возвращайся и ищи пропущенное деление на три.

Площадь основания: треугольник, квадрат, правильный многоугольник

Слагаемое S — площадь того самого многоугольника в основании. Для треугольника это половина произведения стороны на высоту, проведённую к ней: $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ . Для квадрата ещё короче — сторона в квадрате. А у правильной пирамиды, где в основании лежит правильный многоугольник, работает универсальный приём через апофему: так называют высоту боковой грани, она же расстояние от центра основания до середины стороны. Половина периметра, умноженная на апофему, даёт площадь любого правильного n-угольника — и треугольника, и квадрата, и шестиугольника. Слово «правильная» здесь про равные стороны и углы основания плюс вершину точно над центром — только в такой пирамиде все боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники.

S = \frac{1}{2} P a

Площадь основания правильной пирамиды: половина периметра P на апофему a — то же, что полупериметр, умноженный на апофему

Проверь на квадрате: периметр 24, апофема 3, значит площадь 24 · 3 : 2 = 36 — ровно шесть в квадрате. На правильном треугольнике со стороной 6: периметр 18, апофема $3 \approx 1, 73$ , площадь $18 \cdot 1, 73 : 2 \approx 15, 59$ — совпадает с формулой через сторону. Четырёхугольная пирамида — самый частый гость задач: под ней квадрат, и вся площадь сводится к возведению стороны в квадрат.

S = a^{2}

Основание четырёхугольной пирамиды с квадратом снизу: сторона a в квадрате

В масштабе истории это пирамида Хеопса: сторона основания около 230 м, высота около 147 м. Площадь пола 52 900 м², объём — 52 900 · 147 : 3, около 2,6 миллиона кубометров камня. Вбей эти числа в калькулятор: режим «квадрат» выдаст то же самое, и станет видно, сколько умещается в одной строчке формулы — миллионы тонн камня, посчитанные площадью и высотой.

Конус: пирамида с круглым основанием

Шалаш из жердей, воткнутых по кругу, вафельный рожок, воронка для переливания — конусы. Формально конус — это пирамида, у которой в основании многоугольник с очень большим числом крошечных сторон: каждое новое деление уточняет площадь, а в пределе она превращается в площадь круга $π r^{2}$ . Треть при этом переходе никуда не девается, поэтому формула объёма конуса — та же формула пирамиды, только с круглым основанием.

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Объём конуса: треть от цилиндра с тем же основанием и высотой

У конуса две длины, которые постоянно путают. Радиус r соединяет центр круга с его краем — именно он входит в формулу объёма. Образующая l тянется от края круга вверх к вершине — это боковой шов рожка; по ней считают площадь боковой поверхности, то есть сколько вафли уйдёт на рожок или ватмана на шалаш. Связаны все три отрезка теоремой Пифагора: радиус и высота — катеты, образующая — гипотенуза, поэтому образующая всегда длиннее высоты.

l = r^{2} + h^{2}

Образующая конуса по теореме Пифагора: радиус и высота — катеты, образующая — гипотенуза

Задача: воздух в палатке-шалаше

Основание палатки — квадрат 3 м на 3 м, верхушки кольев сходятся в точке на высоте 2 м. Считаем воздух внутри.
$a = 3 m, h = 2 m$
Площадь квадратного пола — сторона в квадрате.
$S = a^{2} = 3^{2} = 9 m^{2}$
Объём пирамиды: треть от площади пола, умноженной на высоту.
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 6 m^{3}$
Для сравнения: кубическая палатка с тем же полом и потолком 3 м вмещала бы втрое больше.
$3 \cdot 6 = 27 m^{3}$

Задача: вафельный рожок

Рожок мороженого — конус с радиусом отверстия 3 см и глубиной 4 см. Сколько мороженого влезает и сколько вафли идёт на стенку?
$r = 3 cm, h = 4 cm$
Объём: треть от площади круга на высоту; оставляем ответ через пи.
$V = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12 π \approx 37, 7 cm^{3}$
Образующая — по теореме Пифагора: катеты 3 и 4, гипотенуза 5.
$l = 3^{2} + 4^{2} = 5 cm$
Боковая поверхность: пи на радиус и образующую — столько вафли уходит на один рожок.
$S = π r l = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π \approx 47, 1 cm^{2}$

Форма	Формула объёма	Где встречается
Треугольная пирамида	V = S·h : 3	палатка на трёх кольях, пакетик чая-пирамидка
Четырёхугольная пирамида	V = a²·h : 3	шатровая крыша, зонт над столиком, пирамида Хеопса
Конус	V = π·r²·h : 3	шалаш из жердей, вафельный рожок, куча просеянного песка
Усечённая пирамида	V = h·(S₁ + √(S₁·S₂) + S₂) : 3	постамент, колпак дымохода, стакан с квадратным дном
Усечённый конус	V = π·h·(r₁² + r₁·r₂ + r₂²) : 3	воронка, ведро, абажур лампы

Срежешь пирамиду сверху плоскостью параллельно основанию — получится усечённая пирамида с двумя параллельными полами: большим S₁ и малым S₂. Объём считается через три слагаемых: $V = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{1} S_{2} + S_{2})$ — суммы площадей и их среднего геометрического. У конуса срез даёт усечённый конус: $V = \frac{π h}{3} (r_{1}^{2} + r_{1} r_{2} + r_{2}^{2})$ . Именно усечённые формы держат быт — воронка, ведро, стакан: широкий верх, узкий низ, и вся разница спрятана в этих трёх слагаемых.

Ловушка

Первая ошибка — делить на два: пополам делится площадь треугольника, а объём пирамиды — ровно треть призмы, множитель одна третья. Вторая — подставить вместо высоты боковое ребро: высота это перпендикуляр из вершины к плоскости основания, а ребро — наклонный шов грани, оно длиннее; у скошенной пирамиды высоту добирают теоремой Пифагора из ребра и его проекции на основание. Третья — у конуса: в формулу объёма входит радиус r, а не образующая l, и связаны они как $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ ; подставишь образующую вместо радиуса — завысишь ответ: у рожка с образующей 5 см и высотой 4 см радиус равен 3, а не 5, и объём выходит почти втрое больше настоящего.

Пирамида#: многогранник: многоугольник-основание и треугольные боковые грани, сходящиеся в одной вершине
Высота пирамиды#: перпендикуляр из вершины к плоскости основания; не боковое ребро и не апофема
Апофема#: высота боковой грани правильной пирамиды; с полупериметром основания даёт его площадь
Образующая конуса#: отрезок от точки окружности основания до вершины; гипотенуза треугольника из радиуса и высоты
Усечённая пирамида#: остаток пирамиды после среза вершины плоскостью, параллельной основанию; у неё два основания

Совет

Держи единицы в одной системе до подстановки: длины в сантиметрах дают площадь в квадратных сантиметрах и объём в кубических — сантиметры в квадрате превращаются в кубические сами, через возведение в степень; смешаешь метр с сантиметром — промахнёшься в сотни раз. Дальше следи за третью от круглого числа: если произведение S·h кратно трём, ответ выходит целым — 36 · 10 = 360, делим и получаем 120; если не кратно, оставляй дробь или выражение через пи: 12π точнее и короче, чем 37,6991. И последняя прикидка: пирамида всегда втрое меньше призмы с тем же основанием — ответ больше призмы сразу сигналит об ошибке.

Дальше по теме: устройство и площадь поверхности призмы разобраны в уроке про призмы, апофема и боковая поверхность правильной пирамиды — в уроке про пирамиды, конус рядом с цилиндром и шаром — в уроке про площади поверхностей тел вращения, а сводка формул объёмов собрана в уроке про объёмы тел. Треть из этой страницы — одна строчка большого словаря стереометрии, но на ней держится половина задач десятого класса.

Частые вопросы

Как найти объём пирамиды?

Умножь площадь основания S на высоту h и раздели на три: $V = \frac{1}{3} S h$. Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания, а не боковое ребро. Например, при квадратном основании со стороной 6 и высоте 10 получится $V = 36 \cdot 10 : 3 = 120$.

Почему объём пирамиды втрое меньше объёма призмы?

Потому что призма с тем же основанием и высотой складывается из трёх равновеликих пирамид — это видно и на воде: призму заполняют пирамидой ровно за три переливания. Отсюда рабочее правило: посчитал S·h для призмы — дели на три и получай пирамиду.

Как найти объём конуса, если известна образующая, а не высота?

Сначала вытащи высоту из теоремы Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ — образующая здесь гипотенуза, радиус катет. Дальше обычная формула $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставлять образующую вместо высоты нельзя: она всегда длиннее, и ответ завысится.

Как посчитать объём усечённой пирамиды?

По формуле $V = \frac{h}{3}\left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)$, где S₁ и S₂ — площади большого и малого оснований, а h — расстояние между ними. Для усечённого конуса схема та же с кругами: $V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2\right)$.