Калькулятор объёма

Аквариум на подоконник: длина 50 см, ширина 30, вода на высоту 35. Продавец называет его «пятидесятилитровником», но столько ли в него реально влезет? Перемножаем измерения: $50\cdot 30\cdot 35=52500$ кубических сантиметров. Литр — это тысяча кубических сантиметров, значит до краёв аквариум держит 52,5 литра, а с грунтом, фильтром и корягой — заметно меньше. Калькулятор выше делает такой пересчёт за секунду для шести тел: параллелепипеда, куба, цилиндра, конуса, шара и пирамиды, и сразу переводит ответ в литры.

Объём отвечает на вопрос, сколько места занимает тело, и измеряется в кубических единицах. Линейные размеры в формуле всегда должны быть в одних единицах: длина в сантиметрах — ответ в кубических сантиметрах, длина в метрах — ответ в кубометрах. Бытовая лестница перевода выглядит так: 1 л = 1 дм³ = 1000 см³ = 1000 мл, а 1 м³ = 1000 л. Отсюда счётчик воды в квартире: единица на табло — целый кубометр, то есть тысяча литров; ведро — около 10 литров; ванна — 150–200.

Параллелепипед: аквариум, коробка и комната

Прямоугольный параллелепипед — самое частое тело в хозяйстве: коробка, холодильник, кирпич, комнатный объём воздуха. Его объём равен произведению трёх измерений: длины, ширины и высоты. Множители можно брать в любом порядке — от перестановки произведение не меняется, поэтому «длина на ширину на высоту» и «ширина на высоту на длину» дают одно и то же число.

Практическая деталь: измеряй внутренние размеры, а не наружные. Стенки аквариума со стеклом 5 мм съедают по сантиметру с каждой стороны — на банке 50 на 30 это уже потерянный литр-полтора. Тот же вопрос при переезде с коробками: влезет ли пылесос — меряй внутренний просвет, а не корпус. Кубатуру комнаты для кондиционера считают так же: длина на ширину на высоту в метрах даёт объём воздуха, по которому подбирают мощность прибора.

Куб — параллелепипед с равными измерениями, и формула сжимается до $V=a^3$. Куб со стороной 10 см вмещает ровно литр: $10\cdot 10\cdot 10=1000$ см³. Так литр обретает форму — это кубик со стороной десять сантиметров, ничего абстрактного. Пакет молока на полке примерно такой и есть: высота почти равна ширине, и объём близок к литровому кубу.

Цилиндр: бочки, банки и трубы

Цилиндр — призма с круглым основанием: площадь круга умножаем на высоту. В формуле сидит радиус, а на банке или бочке обычно написан или виден диаметр, поэтому первым делом делим на два. Промахнуться с этим делением — второй по частоте промах после путаницы литров и кубометров: объём сразу выходит в четыре раза больше настоящего, ведь радиус входит в квадрате.

Труба — тот же цилиндр, только полый: вода внутри занимает объём по своей внутренней высоте и радиусу. При ремонте так прикидывают, сколько теплоносителя останется в системе отопления: метр полдюймовой трубы — стакан-другой воды, а весь дом — уже десятки литров, и это меняет объём расширительного бака. Стакан на кухне тоже цилиндр: его «250 миллилитров» — высота, умноженная на площадь дна.

Конус и пирамида: везде множитель одна треть

Конус — цилиндр, сужающийся к точке, и объём у него ровно втрое меньше: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. С пирамидой на квадратном основании та же история: она — треть призмы с тем же основанием и высотой, $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$. Треть здесь не декоративный множитель: на каждой высоте сечение конуса втрое меньше сечения цилиндра, и принцип Кавальери переносит это на весь объём. Школьный опыт повторяется в каждой лаборатории: три полных конуса воды выливают в цилиндр с тем же дном — и он наполняется ровно до края.

Насыпная горка — скрытый конус: песок, щебень и зерно сами образуют конус с углом естественного откоса. Чтобы оценить объём кучи, обмеряют верёвкой длину окружности основания, делят её на 2π и получают радиус, затем меряют высоту и подставляют формулу конуса. Дорожный конус, воронка, рожок мороженого, обрезки при точении детали на станке — все они живут в одной формуле с третью.

Шар: формула с четырьмя третями

Шар — единственное тело из списка с четырьмя третями: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Радиус входит в кубе, поэтому объём растёт стремительно: шар радиусом 2 см вмещает восемь шариков радиусом 1 см, а не два. На этом держится физика кипения: пузырёк радиусом 2 мм в восемь раз объёмнее пузырька в миллиметр, поэтому крупные пузыри быстро поглощают мелких соседей и отрываются к поверхности. Капли дождя, мячи, арбуз и планеты — всё это задачи про одну формулу с кубом радиуса.

Для мяча радиусом 11 см подсчёт даёт $\frac{4}{3}\cdot 3,1416\cdot 1331\approx 5575$ см³ — около 5,6 литра воздуха. Заметь, как мало деталей нужно: у шара не бывает длины, ширины и высоты — единственное измерение это радиус, и ошибка в нём утраивается. Измерил радиус неточно на палец — объём уплыл на треть.

Во всех строках таблицы одна логика: площадь основания, умноженная на высоту, у шара — своя ветка с кубом радиуса. Если в задаче дан диаметр, первым делом дели его пополам. Все размеры держи в сантиметрах — ответ выйдет в кубических сантиметрах, а литры получаются делением на 1000.

Сколько литров в аквариуме: практика

Аквариумисты считают литры по высоте воды, а не по высоте банки: до края оставляют 3–5 сантиметров, грунт лежит слоем 4–6 см и тоже съедает объём, плюс фильтр, камни и коряги. Реальный полезный объём «пятидесятилитровника» обычно 40–45 литров. Отсюда и плотность посадки рыб: правило «литр на сантиметр рыбы» работает с реальным объёмом, а не с паспортным, и перелив по паспортному кончается кислородным голоданием в жару.

Та же арифметика окружает нас ежедневно: кастрюля на 5 литров, ведро на 10, расширительный бак котла. Медицина живёт в кубических сантиметрах напрямую: шприц «пять кубиков» — это ровно 5 см³, потому что миллилитр и кубический сантиметр одно и то же. Кулинария рядом: столовая ложка без горки — около 15 мл, то есть 15 см³ масла или сиропа.

Объём в задачах ОГЭ и ЕГЭ

Экзаменационные сюжеты делятся на несколько типов. Первый — прямое применение формулы: даны размеры, найти объём. Второй — перевод единиц: кубометры просят в литрах или наоборот. Третий — обратная задача: по известному объёму ищут измерение, например высоту бака через площадь дна. Четвёртый — комбинации: из куба вырезали конус и спрашивают, во сколько раз остаток больше вырезанного; деталь перелита из одной формы в другую — найти новый уровень жидкости.

В задачах на переливание работает сохранение: сколько воды было, столько и осталось, поменялся только сосуд. Цилиндрический бак с водой радиусом 20 см и уровнем 30 см переливают в бак с радиусом 30 см. Объём воды прежний — $\pi \cdot 400\cdot 30\approx 37699$ см³, площадь дна выросла до $\pi \cdot 900$, значит новый уровень — 37 699 делить на 2827 — примерно 13,3 см. Уровень упал почти втрое, хотя воды не убавилось ни капли.

Связка с площадями тут прямая: объём почти всякой фигуры считается через площадь основания. Поэтому тема опирается на площадь круга $\pi r^2$ и площадь квадрата $a^2$ — если они «плавают», сначала стоит их повторить, и тогда любая формула объёма соберётся на месте: узнай площадь дна, умножь на высоту, а если тело сужается к точке — не забудь треть.