Калькулятор теоремы Пифагора

Привезли телевизор с диагональю 55 дюймов, а ниша шкафа имеет 120 сантиметров в ширину и 65 в высоту — влезет ли экран? Или проще: прислонил пятиметровую лестницу к стене, нижний конец отстоит от стены на 3 метра — на какой высоте упрётся верх? Обе задачи про прямоугольный треугольник, и решает их одна формула, которой больше двух с половиной тысяч лет. Калькулятор выше находит гипотенузу по двум катетам или второй катет по гипотенузе: показывает формулу с твоими числами, извлечение корня и проверку, что треугольник вообще существует.

Формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

В прямоугольном треугольнике две стороны образуют прямой угол — их называют катетами, а третья, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой. Гипотенуза всегда самая длинная: прямой угол — самый большой в треугольнике, и напротив него лежит самая большая сторона. Теорема Пифагора связывает все три стороны: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Слово «квадрат» здесь не фигура речи: если на каждой стороне треугольника построить настоящий квадрат, площадь двух маленьких в сумме даст площадь большого.

Откуда берётся равенство, удобно увидеть на картинке с квадратами. Разрежем большой квадрат на катете тем же узором, каким разрезаны два маленьких: четыре копии треугольника внутри большого квадрата оставляют вокруг дыру площадью $c^2$, а внутри двух маленьких — дыры площадью $a^2$ и $b^2$. Четыре треугольника в обоих случаях одни и те же, значит, дыры равны: $a^2+b^2=c^2$. Это не полное доказательство, но вся суть в нём есть: равенство про площади, и оно выполняется только у прямоугольных треугольников. Для других углов верно неравенство: против тупого угла сторона больше, чем даёт Пифагор, против острого — меньше.

Полезно знать и предельный случай — равные катеты. Квадрат, разрезанный диагональю, даёт прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза и есть диагональ: $c^2=a^2+a^2=2a^2$, значит, c = a√2. Отсюда мгновенный ответ на вопрос «сколько от угла комнаты 4 на 4 метра до противоположного угла по диагонали» — 4√2, примерно 5,66 метра. У прямоугольника диагональ считается по общей формуле: квадраты сторон, сумма, корень — тот же Пифагор, просто без бонуса в виде целого корня.

История у теоремы солидная. Пифагор жил в VI веке до нашей эры, родом с острова Самос, а школу-товарищество основал в южной Италии; доказательство связывают именно с его кружком. Правда, вавилонские глиняные таблички за тысячу лет до него уже содержат тройки вроде 3-4-5, в Китае теорему формулировали в трактате «Чжоу би суань цзин» с тем же чертежом квадратов, а в Индии — в шульба-сутрах для строительства алтарей. Так что сам факт равенства был известен многим народам — вклад Пифагора в том, что он первым, насколько известно, довёл его до доказательства.

Пифагоровы тройки и египетский треугольник

Если катеты 3 и 4, то $9+16=25$ и гипотенуза ровно 5 — корень извлекается нацело. Тройки целых чисел с таким свойством называют пифагоровыми: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Их стоит запомнить: на контрольной тройка экономит минуту возни с корнями, а в жизни позволяет проверять углы без единого прибора. Самая знаменитая — 3-4-5 — известна с древности и зовётся египетским треугольником: гарпунёры Нила строили прямые углы верёвкой с двенадцатью узлами.

Верёвочная хитрость жива до сих пор, и её стоит знать для ремонта. Узлы делят верёвку на 12 равных частей: 3 части — один катет, 4 — второй, 5 — гипотенуза. Натянул верёвку в треугольник — между короткими сторонами ровно прямой угол. Строители так проверяют разметку фундамента: отмеряют 3 и 4 метра по двум стенам, а если диагональ между концами выходит 5 метров — угол прямой, можно класть первый ряд. Диагональ 6 вместо 5 говорит, что угол завален, и разметку двигают, пока тройка не сойдётся.

Тройки не обязательно заучивать списком — их можно изготовить на месте. Возьми два натуральных числа m больше n и посчитай: первый катет m² − n², второй 2mn, гипотенуза m² + n². Для m = 3 и n = 2 выйдет 5, 12 и 13; для m = 4 и n = 3 — 7, 24 и 25. Эту формулу знал ещё Евклид, и она выдаёт тройки без остановки: 9-12-15 (утроенная 3-4-5), 20-21-29, 12-35-37. Для контрольных и строительных замеров хватает первых трёх, но понимать, откуда они берутся, стоит — на олимпиадах это спрашивают прямо.

Обратная теорема: проверка угла по сторонам

Теорема работает и в обратную сторону: если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Это отдельная теорема, и на практике она заменяет транспортир. Взял стороны 6, 8 и 10 — проверил: 36 + 64 = 100, значит, угол напротив десятки прямой. Тройка 6-8-10 — та же 3-4-5, умноженная на два: любую тройку можно растягивать, 9-12-15 и 12-16-20 работают так же. Если равенство не сошлось — угол не прямой, и всё здесь честно: 36 + 64 даёт ровно 100 только для прямоугольника.

Где теорема применяется каждый день

Диагональ экрана — это гипотенуза, и теорема сидит в каждой карточке магазина электроники. У мониторов и телевизоров ширина относится к высоте как 16 к 9, поэтому при диагонали 55 дюймов ширина выходит 55 · 16 : √337 ≈ 47,9 дюйма, а высота 55 · 9 : √337 ≈ 27 дюймов. В сантиметрах это 121,7 и 68,5 — ниша шириной 120 сантиметров такой экран не примет, хотя на глаз «должен поместиться». Диагональ здесь и есть гипотенуза: 121,7² + 68,5² ≈ 139,7², а 139,7 сантиметра — ровно 55 дюймов.

Остальные применения перечислять можно долго: лестница к стене, трос к столбу, раскос в каркасе — везде катеты и гипотенуза. Строители проверяют прямые углы тройкой 3-4-5, а геодезисты считают расстояния по координатам: разница по горизонтали и вертикали — катеты, расстояние между точками — гипотенуза. В навигаторе кратчайший путь по карте через дворы считается тем же способом. В физике модуль любого вектора — скорость, сила, перемещение — находится по теореме Пифагора из его проекций на оси.

Работа с калькулятором простая: выбери кнопкой, что ищешь — гипотенузу или катет, введи две известные стороны. Шаги покажут подстановку в формулу с твоими числами, извлечение корня и проверку неравенства треугольника. Если в ответе вышло целое число — сошлась тройка, и это хороший повод её запомнить. Проверь себя напоследок: диагональ комнаты 3 на 4 метра — сколько метров от угла до угла? Ответ 5, если сошлось. Теория разобрана в уроке про теорему Пифагора, а про прямоугольные треугольники и площади фигур — в соседних уроках ниже.