Геометрия · 8 классурок · 2026-09-27~8 мин чтения

Теорема Пифагора

Квадраты на сторонах прямоугольного треугольника: формула Пифагора, обратная теорема и тройки чисел, которые стоит запомнить.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Прислонил лестницу к стене: нижний конец на 3 метрах от стены, верх достаёт до 4 метров высоты. Сколько метров в самой лестнице? Восемь плюс девять? Никак — 5, и это не подгонка, а теорема, которой больше двух с половиной тысяч лет. Её же используют при разметке фундамента: строители натягивают верёвку с узлами на 3, 4 и 5 метров и получают идеальный прямой угол.

Формула и обратная теорема

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Гипотенуза c лежит против прямого угла — она всегда самая большая сторона. Теорема работает и в обратную сторону: если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Этим проверяют чертежи и находят прямые углы без угломера. Тройки чисел, удовлетворяющие формуле, называют пифагоровыми: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 — умножая их на любое число, получаешь новые.

За значками в формуле стоит площадь: a² — это площадь настоящего квадрата со стороной a. Теорема поэтому и звучит геометрически: квадрат на гипотенузе можно разрезать на части, из которых складываются оба квадрата на катетах. Отсюда и старое название «квадрат, построенный на гипотенузе» — речь о фигуре, а не о действии возведения в степень.

Слова темы пришли из греческого: «гипотенуза» значит «натянутая» — как тетива, протянутая между катетами, а «катет» — «отвес». Лестница у стены из начала урока действительно устроена как тот чертёж: земля и стена — катеты, лестница — натянутая гипотенуза.

a² + b² = c² → 160² + 120² = 25600 + 14400 = 40000 c = √(a² + b²) ≈ 200

Квадраты на сторонах

Тяни катеты: площади квадратов на катетах в сумме всегда равны площади квадрата на гипотенузе.

Пример: экран телевизора

Экран имеет размеры 60 см на 45 см. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Возводим катеты в квадрат и складываем.
$6 0^{2} + 4 5^{2} = 3600 + 2025 = 5625$
Извлекаем корень: диагональ 75 см.
$c = 5625 = 75$

Тройки, которые стоит узнавать в лицо, собраны в таблице. Умножение на любое число даёт новые: 3-4-5 растягивается в 6-8-10 и 9-12-15. Если катеты в задаче кратны членам тройки, гипотенузу находи в уме — без возведения в квадрат.

Теорема Пифагора: квадраты, построенные на катетах, вместе равны квадрату на гипотенузе — Геометрический смысл теоремы Пифагора: два квадрата на катетах равновелики квадрату, построенному на гипотенузе.

Тройка	Проверка	Кратные
3-4-5	$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$	6-8-10, 9-12-15, 12-16-20
5-12-13	$25 + 144 = 169$	10-24-26
8-15-17	$64 + 225 = 289$	16-30-34
7-24-25	$49 + 576 = 625$	14-48-50

Если тройка близка к пифагоровой, но равенство не точное, треугольник лишь почти прямоугольный — так бывает при округлённых измерениях, и на чертеже прямой угол выйдет кривым. Проверяй равенство до последней единицы: 5-6-7 даёт 25 + 36 = 61 против 49 — не тройка.

Пифагор и пифагорейцы

Теорема носит имя Пифагора Самосского, жившего в шестом веке до нашей эры и основавшего в южноитальянском Кротоне союз математиков. Само равенство знали задолго до него: вавилонские глиняные таблички за тысячу лет до Пифагора содержат готовые тройки. На знаменитой табличке Плимптон 322 выписаны пятнадцать троек, среди них 119-120-169: проверь сами — 14161 + 14400 = 28561, и корень из 28561 равен ровно 169.

Пифагорейцы считали число основой всего: изучали чётные и нечётные, треугольные числа 1, 3, 6, 10, обнаружили, что струна вдвое короче даёт звук на октаву выше. С их школой связан и первый кризис математики: диагональ квадрата со стороной 1 равна корню из двух, примерно 1,414, и никакая дробь его не выражает. Легенда гласит, что за это открытие автора чуть не утопили — настолько оно противоречило вере союза в целые числа.

То же равенство независимо открыли в Индии и Китае: в индийских строительных трактатах и в древнекитайском комментарии к «Математике в девяти книгах» чертежи с квадратами на сторонах встречаются задолго до контакта с Грецией. Теорема принадлежит всем культурам, где строили стены и мерили землю, — просто имя к ней прицепилось одно.

Всё есть число.
девиз пифагорейцев

Выучено: 0 из 5 · В колоде: 5

Карточки темы

Переверни карточку и проверь себя перед контрольной.

Египетский треугольник: 3-4-5

Землемеры Египта после каждого разлива Нила заново размечали поля. Инструмент — верёвка с двенадцатью узлами на равных расстояниях: 3 + 4 + 5 = 12 промежутков. Натянули верёвку в треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — угол между сторонами 3 и 4 получается прямым, потому что 9 + 16 = 25. Так без угломера, одной верёвкой, получали точный прямой угол; тот же приём тысячу лет спустя применяли каменщики по всей Европе.

Правило живёт на стройке до сих пор, только в масштабе: для разметки фундамента берут тройку 6-8-10. Помогает и проверка диагоналями: у прямоугольника 6 м на 8 м диагональ равна ровно 10 м, и если обе диагонали сошлись — углы прямые. Тем же способом выравнивают корты, грядки и площадки: два замера рулеткой вместо дорогого угломера.

Доказательство за минуту: четыре треугольника

Возьми квадрат со стороной a + b и расставь в нём четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a и b так, чтобы внутри остался наклонный квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата складывается из четырёх треугольников и внутреннего квадрата: (a + b)² = 4 · ab : 2 + c², то есть a² + 2ab + b² = 2ab + c². Убирая 2ab с обеих сторон, получаем a² + b² = c².

Проверь на числах: a = 3, b = 4. Большой квадрат 7 на 7 имеет площадь 49. Четыре треугольника по 3 · 4 : 2 = 6 дают вместе 24, внутренний квадрат со стороной 5 — площадь 25. Сходится: 25 + 24 = 49. Такое доказательство можно проделать ножницами из листа бумаги — перекладывание частей заменяет алгебру, поэтому его любят показывать на внеклассных занятиях.

Обратная теорема тоже проверяется руками: склей рамку со сторонами 30 см и 40 см и замерь диагональ. Вышло ровно 50 см — угол прямой; вышло меньше — рамка перекошена. Столяры так и проверяют прямоугольность дверных и оконных рам: две диагонали должны совпадать до миллиметра.

Где применять

А вот объяснение круглым люкам: крышку делают круглой не из экономии. Квадратная крышка со стороной 60 см провалилась бы в свой же люк по диагонали — она равна примерно 85 см и больше стороны. У круга все хорды наибольшей длины — диаметры, и провалиться невозможно. Геометрия охраняет ноги прохожих.

Разбор типовой задачи

Классика контрольных и ОГЭ: трос, лестница, мачта. Трос крепят к столбу на высоте 8 м и к земле в 6 м от основания столба. Спрашивают длину троса — а потом меняют условие: трос длиной 10 м закреплён в 8 м от столба, на какой высоте кольцо?

Решение по шагам: трос у столба

Трос, столб и земля образуют прямоугольный треугольник: катеты 8 м и 6 м, трос — гипотенуза.
Возводим катеты в квадрат и складываем.
$8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$
Извлекаем корень: трос имеет длину 10 м.
$c = 100 = 10$
Обратная задача: гипотенуза 10, известный катет 8. Ищем высоту крепления.
$h^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 36$
Извлекаем корень: кольцо на высоте 6 м.
$h = 36 = 6$
Проверка по тройке: 6-8-10 — это 3-4-5 в два раза больше, ответы согласуются без калькулятора.

Словарь урока

Гипотенуза#: Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла; всегда самая длинная.
Катет#: Одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Пифагорова тройка#: Три натуральных числа, для которых a² + b² = c²; например 3-4-5.
Египетский треугольник#: Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 — древний инструмент разметки.
Обратная теорема Пифагора#: Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
Несоизмеримость#: Диагональ квадрата и его сторона не имеют общей мерки: корень из двух не выражается дробью.

Как это спрашивают на контрольной и ОГЭ

Найди гипотенузу по двум катетам: квадраты, сумма, корень.
Найди катет по гипотенузе и второму катету: разность квадратов и корень.
Проверь по трём сторонам, является ли треугольник прямоугольным.
Найди диагональ прямоугольника по двум его сторонам.
Найди расстояние между точками на клетчатой бумаге или на координатной плоскости.

Сюжеты в задачах одни и те же: лестница у стены, трос мачты, диагональ экрана, расстояние между фигурами на сетке. Увидел катеты, кратные 3 и 4, — ищи гипотенузу, кратную 5, и считай в уме. Если числа не тройка — не пугайся некрасивого корня: в некоторых заданиях его честно оставляют в ответе.

Утверждение 1 из 4

Гипотенуза всегда длиннее каждого катета.

Верно или нет?

Проверка понимания формулы и обратной теоремы.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Катеты равны 9 см и 12 см. Найди гипотенузу.

Гипотенуза 13 см, катет 5 см. Найди второй катет.

Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.

Какие тройки чисел пифагоровы?

Лестница 10 м стоит в 6 м от стены. На какой высоте её верхний конец?

Наибольшая сторона прямоугольного треугольника — это…

Какие из этих троек подходят прямоугольному треугольнику?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Вставь пропущенное.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Квадрат гипотенузы равен квадратов катетов, а гипотенуза — самая сторона прямоугольного треугольника

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Как найти гипотенузу, зная два катета?

Возведи катеты в квадрат, сложи результаты и извлеки корень: c = корень из (a² + b²). Для катетов 9 и 12 это 81 + 144 = 225, и корень равен 15.

Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?

Вычти квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеки корень. Например, при гипотенузе 13 и катете 5 второй катет равен корню из 169 − 25 = 144, то есть 12.

Что такое пифагоровы тройки?

Натуральные числа, для которых a² + b² = c²: например 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Их кратные тоже подходят.

Как проверить, прямоугольный ли треугольник по сторонам?

Подставь наибольшую сторону как гипотенузу в обратную теорему Пифагора: если квадрат наибольшей равен сумме квадратов двух других — угол прямой. Например, стороны 8, 15 и 17 дают 64 + 225 = 289 — треугольник прямоугольный.