Длина окружности и площадь круга

Минутная стрелка длиной 10 см за полчаса описывает половину окружности — сколько сантиметров пролетает её кончик? Спидометр велосипеда просто считает обороты: один оборот — ровно длина окружности колеса. Обе величины — длина окружности и площадь круга — считаются в одну строку, если помнить, где радиус стоит просто r, а где r².

Длина окружности

Окружность — замкнутая кривая, граница круга: обруч — окружность, а всё, что внутри него вместе с границей, — круг. Длину окружности обозначают C и считают по радиусу: $C=2\pi r$, где $\pi \approx 3,14$. Число π постоянно: длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз. Через диаметр $d$ запись ещё короче: $C=\pi d$.

Дуга и круговой сектор

Часть окружности между двумя точками — дуга. Дуга в 1° — это $\frac{1}{360}$ полной окружности, поэтому дуге с градусной мерой $\alpha$ отвечает длина $l=\frac{\pi r\alpha }{180}$. Круговой сектор — «кусок пиццы» между двумя радиусами, его площадь $S=\frac{\pi r^2\alpha }{360}$. Кусок пиццы радиусом 30 см с углом 45°: $3,14\cdot 900\cdot \frac{45}{360}\approx 353$ см² — восьмая часть круга.

Число π: от Архимеда до наших дней

Число π — это отношение длины окружности к её диаметру, и у всех окружностей оно одинаковое: у монеты, у колеса, у орбиты спутника. Точного десятичного значения у π нет — это бесконечная непериодическая дробь, она начинается как 3,141592653... Для вычислений хватает приближения 3,14, а в ответах часто оставляют саму букву π: запись «C = 10π» честнее округлённых сантиметров.

Первым окружность «зажал» многоугольниками Архимед: в III веке до нашей эры он вписал в неё и описал вокруг неё правильные 96-угольники и получил неравенство 223/71 < π < 22/7, то есть 3,1408 < π < 3,1429. Точность до третьей цифры — без калькулятора, только циркулем, линейкой и упорством. Идея «зажать окружность между многоугольниками» оставалась главным способом вычислять π почти два тысячелетия.

Рекорды ручного счёта ставили и позже: в 1596 году голландец Лудольф ван Цейлен вычислил 20 знаков π, а к концу жизни довёл счёт до 35 — эти цифры выбили на его надгробии. Сегодня компьютеры нашли сотни триллионов знаков, но школьнику они не нужны: на окружности радиуса 1 м разница между точным значением 2π и приближением 2 · 3,14 — около 3 мм.

Похоже, π прячется не только в кругах. Брось иглу на разлинованную бумагу: вероятность, что игла пересечёт линию, выражается через π — этот опыт описал Бюффон в XVIII веке, и им до сих пор проверяют, что π «разлито» по природе. Но для школьного курса главное одно: π стоит за любым переходом между длиной окружности и её диаметром.

Сколько знаков π брать в работе? Правило простое: точность результата не хуже точности данных, а школьные данные обычно округлены до целых и десятых — хватает 3,14. Дальше по потребностям: для расчёта орбиты Нептуна, круга радиусом около 4,5 миллиарда километров, инженеры обходятся двенадцатью знаками, а сорока знаками π окружность наблюдаемой Вселенной считается с точностью до размера атома водорода.

Окружности вокруг нас

Колесо — главный потребитель формулы. Велосипедный одометр считает обороты и умножает их на длину окружности колеса: колесо радиусом 30 см за один оборот проходит 2 · 3,14 · 0,3 ≈ 1,88 м, а километр — уже около 530 оборотов. Тот же приём работает и наоборот: зная путь и число оборотов, легко вычислить радиус колеса — так определяют, насколько стёрлась шина.

Экваториальный радиус Земли равен 6378 км, поэтому длина экватора C = 2πR ≈ 40 075 км. Пассажирский самолёт со скоростью 900 км/ч пролетел бы этот путь без посадки почти двое суток — около 44,5 часов. И именно окружность Земли когда-то задала метр: в 1791 году метр определили как одну десятимиллионную четверти земного меридиана, поэтому вся окружность меридиана оказалась близкой к 40 000 км.

Часы — тоже задача на окружность. Кончик минутной стрелки длиной 15 см за час описывает полную окружность: 2 · 3,14 · 15 ≈ 94 см, а за сутки наматывает 24 круга — больше 22 метров. Часовая стрелка за то же время проходит в 12 раз меньше, потому что делает всего два круга в сутки.

Сравнивай круги через радиус — это экономит время. Если радиус увеличить в k раз, длина окружности вырастет в k раз, а площадь круга — сразу в k² раз: клумба радиуса 2 м против клумбы радиуса 1 м требует вдвое больше бордюра, но вчетверо больше газона. На этой разнице строятся задания с вопросом «во сколько раз», и прикидывать отношения часто быстрее, чем считать всё через π.

Круг приходит и в цирк: арена манежа — это круг диаметром 13 м, поэтому барьер по краю имеет длину π · 13 ≈ 40,8 м. Всадник, бегущий по внешнему кругу, за один круг проходит больше, чем всадник у барьера, — разница в длине окружностей зависит только от разницы радиусов. Тот же вопрос «чья дорожка длиннее» решают на стадионе: внешняя дорожка длиннее внутренней, поэтому старты на ней сдвинуты вперёд.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Окружность#

замкнутая кривая — граница круга: все её точки на одном расстоянии от центра

Круг#

окружность вместе со всей внутренней областью

Дуга#

часть окружности между двумя точками; у дуги есть градусная мера и длина

Круговой сектор#

часть круга между двумя радиусами — «кусочек пиццы»

Хорда#

отрезок, соединяющий две точки окружности; самая длинная хорда — диаметр

Число π#

отношение длины окружности к диаметру, π ≈ 3,14159

Как это спрашивают на контрольной

• Дана площадь круга, просят длину окружности: сначала найди радиус из S = πr², затем подставь в C = 2πr.
• Дана длина окружности, просят площадь: r = C : 2π, затем S = πr².
• Дуга и сектор: умножай полную длину или площадь на долю угла α/360.
• Дан диаметр вместо радиуса: раздели его пополам до подстановки в формулу.
• Если в условии сказано «π ≈ 3», считай именно с тройкой: ответ нужен для теста, а не для науки.

Перед записью ответа проверь единицы: длина окружности и дуга измеряются в сантиметрах и метрах, площадь круга и сектора — в квадратных. Ответ «78,5 см» у площади круга сразу показывает, что потерян квадрат. И не выбрасывай промежуточные результаты: в задачах на два действия — сначала радиус из площади, потом длина окружности — без них легко ошибиться.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема