Параллельность прямых и плоскостей

Открой схему метро: две ветки идут рядом десятки километров и ни разу не встречаются — параллельность в чистом виде. В пространстве всё хитрее, чем на листе бумаги: две прямые могут не пересекаться и при этом не быть параллельными. Прежде чем что-то доказывать, договоримся, что вообще считается параллельным — у прямой и плоскости и у двух плоскостей правила свои.

Прямая и плоскость: три сценария

Прямая и плоскость либо пересекаются (одна общая точка), либо параллельны (общих точек нет), либо прямая целиком лежит в плоскости. Рабочая лошадка всего 10 класса — признак: если прямая a параллельна какой-нибудь прямой b в плоскости α, то a параллельна α. Но прямая может и просто лежать в плоскости — признак об этом честно предупреждает. С плоскостями иначе: две плоскости параллельны, когда не имеют общих точек, как пол и потолок. Если бы у них нашлась хотя бы одна общая точка, по третьей аксиоме они резали бы друг друга по прямой. Практика: противоположные стены комнаты параллельны, а соседние пересекаются по вертикальному ребру.

У параллельности есть и обратная сторона — свойства. Если третья плоскость режет две параллельные плоскости, линии пересечения выходят параллельными: на этом держится каждый чертёж сечения. Через точку вне плоскости проходит ровно одна плоскость, параллельная данной, — как и с прямыми: параллельный «двойник» единственный. И ещё одно свойство для задач: отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны, поэтому у прямой призмы боковые рёбра не просто параллельны, но и одной длины.

Как это работает в задачах. Чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, найди в этой плоскости удобную прямую — чаще всего среднюю линию треугольника или линию пересечения граней — и проверь параллельность уже внутри плоскости. Средняя линия здесь главный помощник: MN соединяет середины сторон AC и BC, параллельна стороне AB и вдвое короче неё. Так стереометрическая задача сводится к знакомой планиметрии: сначала параллельность в маленькой плоскости, потом перенос вывода на всё пространство.

Как доказывают признак: от противного

Признак параллельности прямой и плоскости заслуживает доказательства, потому что работает на каждом шагу. Пусть прямая a параллельна прямой b, прямая b лежит в плоскости α, а a в α не лежит. Спрашивается: может ли a всё-таки пересечь α? Допустим, что может, — и получим противоречие. Через пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость β. У плоскостей α и β нашлась общая точка — та самая, в которой a задела α, — значит, по третьей аксиоме они режутся по прямой. Обе точки прямой b сидят и в α, и в β, поэтому линия их пересечения — сама b. Тогда точка встречи a и α лежит на b, то есть a пересекает b. Противоречие с параллельностью — значит, a параллельна α.

• допусти, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке
• проведи через a и параллельную ей b плоскость β — общая точка сидит и в β
• плоскости α и β режутся по прямой b: две общие точки есть у обеих
• точка встречи a и α оказалась на b — прямые пересеклись, противоречие

Линия пересечения: переносчик параллельности

Из признака вырастает свойство, без которого не построить ни одно сечение. Если прямая a параллельна плоскости α, то любая плоскость β, проходящая через a и пересекающая α, режет их по прямой, параллельной a: линии пересечения встретиться не могут, иначе a задела бы α. Отсюда лемма: прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плоскостей, параллельна линии их пересечения. Практический смысл: нашёл прямую, параллельную плоскости, — и в любой секущей плоскости можешь дорисовать параллельный след. Так достраивают сечения куба, когда точек на грани не хватает.

Проверь свойство на числах. В кубе с ребром 5 ребро AA₁ параллельно плоскости задней грани BCC₁B₁: общих точек нет. Любая секущая плоскость через AA₁ режет заднюю грань по прямой, параллельной AA₁: возьми плоскость через AA₁ и середину M ребра BC — следом на задней грани окажется отрезок MM₁, где M₁ — середина ребра B₁C₁, и он параллелен AA₁. Так одна найденная параллельность кормит целое сечение.

Каркас куба: тренажёр параллельности

Куб — идеальный полигон на параллельность, потому что в нём видно всё сразу. Вертикальные рёбра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ параллельны попарно, и то же верно для двух других направлений. Диагонали противоположных граней, проведённые в одну сторону, параллельны: AB₁ ∥ DC₁ — оба отрезка режут равные квадраты одинаково. Зато вертикальное ребро AA₁ и горизонтальное ребро B₁C₁ задней грани скрещиваются: общей плоскости у них нет. Быстрая проверка любой пары в кубе — найти общую плоскость или доказать, что её нет.

Посчитай пары рёбер в кубе целиком. Всего пар: 12 рёбер дают 66 пар. Параллельных: в каждом из трёх направлений по 4 ребра, по 6 пар на направление, итого 18. Пересекающихся: в каждой из 8 вершин сходятся 3 ребра, по 3 пары в вершине, итого 24. Скрещивающихся остаётся 66 − 18 − 24 = 24. Проверка сходится: каждая пара рёбер попала ровно в один из трёх случаев — параллельны, пересекаются, скрещиваются.

• AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁ — четыре вертикальных ребра, любые два параллельны
• AB ∥ DC ∥ A₁B₁ ∥ D₁C₁ — все рёбра одного горизонтального направления
• диагональ AB₁ параллельна диагонали DC₁ противоположной грани
• AA₁ и B₁C₁ скрещиваются: общей плоскости у этой пары нет

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Параллельные прямая и плоскость#

не имеют ни одной общей точки

Признак параллельности#

прямая параллельна прямой в плоскости — и всей плоскости

Линия пересечения#

след секущей плоскости: параллельные плоскости она режет по параллельным прямым

Средняя линия треугольника#

соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и вдвое короче

Доказательство от противного#

допусти противоположное и получи противоречие

Секущая плоскость#

плоскость, режущая тело; её следы на гранях образуют сечение

Как это спрашивают на контрольной

• докажи, что прямая параллельна плоскости, — найди в плоскости параллельную ей прямую
• точка M — середина стороны треугольника: строй среднюю линию и переноси параллельность на неё
• параллельные плоскости разрезаны третьей. Что за линии? — параллельные
• через точку вне плоскости проведи параллельную плоскость — она одна
• если прямая параллельна плоскости, параллельна ли она каждой прямой этой плоскости? — нет, среди них есть скрещивающиеся

Последний пункт — любимая ловушка составителей: параллельность прямой и плоскости не делает её параллельной каждой прямой внутри. Отвечай через определение и признак, а не через картинку. И оформляй признак по форме: назвал прямую в плоскости — покажи, что она параллельна данной, и только потом пиши вывод про плоскость.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема