Параллельность прямых и плоскостей — тренажёр
Тренировка по теме «Параллельность прямых и плоскостей»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Точки M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, отрезок MN параллелен AB и равен 5 см. Найди AB.
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
13 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Точки M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, отрезок MN параллелен AB и равен 10 см. Найди AB.
Подсказка. Средняя линия — половина стороны.
Как решать. MN — средняя линия: она вдвое короче параллельной стороны, значит AB = 10*2.
Ответ: 20
Пример 2. У прямой 3-угольной призмы все 3 боковых рёбер параллельны и равны 8 см. Чему равна сумма длин всех боковых рёбер?
Подсказка. Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны — складывай длины.
Как решать. Боковых рёбер 3, и каждое по 8 см: складываем 3 одинаковых длин, 3*8 см.
Ответ: 24
Пример 3. Куб с ребром 10 см. Найди расстояние между плоскостями двух противоположных граней.
Подсказка. Перпендикуляр между гранями — это ребро.
Как решать. Противоположные грани параллельны, расстояние между ними равно ребру: 10 см.
Ответ: 10
Пример 4. Точки M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, отрезок MN параллелен AB и равен 4 см. Найди AB.
Подсказка. Средняя линия — половина стороны.
Как решать. MN — средняя линия: она вдвое короче параллельной стороны, значит AB = 4*2.
Ответ: 8
Пример 5. У прямой 7-угольной призмы все 7 боковых рёбер параллельны и равны 9 см. Чему равна сумма длин всех боковых рёбер?
Подсказка. Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны — складывай длины.
Как решать. Боковых рёбер 7, и каждое по 9 см: складываем 7 одинаковых длин, 7*9 см.
Ответ: 63
Пример 6. Куб с ребром 6 см. Найди расстояние между плоскостями двух противоположных граней.
Подсказка. Перпендикуляр между гранями — это ребро.
Как решать. Противоположные грани параллельны, расстояние между ними равно ребру: 6 см.
Ответ: 6
Пример 7. Точки M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, отрезок MN параллелен AB и равен 8 см. Найди AB.
Подсказка. Средняя линия — половина стороны.
Как решать. MN — средняя линия: она вдвое короче параллельной стороны, значит AB = 8*2.
Ответ: 16
Пример 8. У прямой 5-угольной призмы все 5 боковых рёбер параллельны и равны 5 см. Чему равна сумма длин всех боковых рёбер?
Подсказка. Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны — складывай длины.
Как решать. Боковых рёбер 5, и каждое по 5 см: складываем 5 одинаковых длин, 5*5 см.
Ответ: 25
Пример 9. Куб с ребром 11 см. Найди расстояние между плоскостями двух противоположных граней.
Подсказка. Перпендикуляр между гранями — это ребро.
Как решать. Противоположные грани параллельны, расстояние между ними равно ребру: 11 см.
Ответ: 11
Пример 10. Точки M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, отрезок MN параллелен AB и равен 12 см. Найди AB.
Подсказка. Средняя линия — половина стороны.
Как решать. MN — средняя линия: она вдвое короче параллельной стороны, значит AB = 12*2.
Ответ: 24
Пример 11. Куб с ребром 13 см. Найди расстояние между плоскостями двух противоположных граней.
Подсказка. Перпендикуляр между гранями — это ребро.
Как решать. Противоположные грани параллельны, расстояние между ними равно ребру: 13 см.
Ответ: 13
Пример 12. У прямой 8-угольной призмы все 8 боковых рёбер параллельны и равны 8 см. Чему равна сумма длин всех боковых рёбер?
Подсказка. Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны — складывай длины.
Как решать. Боковых рёбер 8, и каждое по 8 см: складываем 8 одинаковых длин, 8*8 см.
Ответ: 64
Пример 13. Куб с ребром 5 см. Найди расстояние между плоскостями двух противоположных граней.
Подсказка. Перпендикуляр между гранями — это ребро.
Как решать. Противоположные грани параллельны, расстояние между ними равно ребру: 5 см.
Ответ: 5
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Параллельность прямых и плоскостей» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Прямая a параллельна прямой b, лежащей в плоскости α. Где может оказаться a?
Ответ: параллельно α или в самой α
Пояснение. Признак даёт параллельность, но случай прямой a, лежащей в α, тоже возможен.
Вопрос 2. Сколько общих точек у двух параллельных плоскостей?
Ответ: 0
Пояснение. По определению параллельные плоскости не имеют общих точек.
Вопрос 3. Если две прямые в пространстве не пересекаются, они обязательно параллельны.
Ответ: Неверно
Пояснение. Могут быть скрещивающимися: например, дорога и эстакада над ней.
Вопрос 4. Что верно для параллельных плоскостей?
Ответ: у них нет общих точек; третья плоскость режет их по параллельным прямым
Пояснение. Пересекающая их плоскость даёт две параллельные линии сечения — на этом держится много задач.
Вопрос 5. Какой набор гарантирует параллельность двух плоскостей?
Ответ: две пересекающиеся прямые первой плоскости параллельны второй плоскости
Пояснение. Признак требует именно пересекающихся прямых: одной или двух параллельных мало.
Вопрос 6. Чем параллельные прямые отличаются от скрещивающихся?
Пояснение. Всё решает общая плоскость: у параллельных она есть, у скрещивающихся — нет.
Вопрос 7. Вставь пропущенное.
Ответ: параллельна → лежит
Пояснение. Пересечься или упереться в плоскость параллельная ей прямая не может — остаются два случая.
Вопрос 8. Сколько плоскостей проходит через две параллельные прямые?
Ответ: ровно одна
Пояснение. Параллельные прямые по определению лежат в одной плоскости, и эта плоскость единственная.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.