ГеометрияКалькулятор2026-09-01

Калькулятор теоремы косинусов

Q: Как найти сторону треугольника через две стороны и угол?

Возведи известные стороны в квадраты и сложи, затем вычти удвоенное произведение сторон на косинус угла между ними — из этой величины извлеки корень. Для сторон 4 и 5 с углом 60° выходит корень из 21, то есть примерно 4,58.

Q: Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?

Теорема Пифагора — частный случай: при угле 90° косинус равен нулю и слагаемое 2ab·cos γ исчезает. Для острого угла квадрат стороны меньше суммы квадратов, для тупого — больше.

Q: Как найти угол, если известны три стороны?

Подставь стороны в обратную формулу: косинус искомого угла равен разности квадратов сторон, делённой на удвоенное произведение двух прилежащих. Для треугольника со сторонами 4, 5 и 6 угол напротив шестёрки выходит около 82,8°.

Q: Что даёт проверка по неравенству треугольника?

Каждая сторона обязана быть меньше суммы двух других — иначе треугольника не существует и считать углы бессмысленно. Равенство означает вырожденный случай: все точки лежат на одной прямой.

Вводишь две стороны и угол — получаешь третью сторону, оба оставшихся угла и площадь; вводишь три стороны — получаешь все три угла и площадь по Герону со сверкой и проверкой неравенства треугольника.

Теорема косинусов: третья сторона, все углы и площадь треугольника

Сторона aСторона bУгол γ между ними°

Третья сторона: 6.245 · углы ≈ 43.9°, 76.1° и 60° · площадь ≈ 15.155

проверка: сумма углов 180° — сходится к 180°

Теорема косинусов: возводим известные стороны в квадрат и вычитаем удвоенное произведение на косинус угла между ними. $c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot cos 6 0^{\circ} \approx 39$
Извлекаем корень — это третья сторона, лежащая напротив угла γ. $c = 39 = 6.245$
Угол α — обратная теорема косинусов по стороне a и прилежащим b и c. $cos α = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} \approx 0.7206, α \approx 43. 9^{\circ}$
Угол β — так же, по стороне b и прилежащим a и c. $cos β = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} \approx 0.2402, β \approx 76. 1^{\circ}$
Площадь — половина произведения двух известных сторон на синус угла между ними. $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 15.155$

Угол γ зажат между сторонами a и b, напротив него лежит искомая сторона c — подставлять другой угол нельзя. При 90° слагаемое 2ab·cos γ исчезает и остаётся теорема Пифагора; при остром угле вычитание уменьшает результат, при тупом — увеличивает. Значения округлены, поэтому в тетради пиши знак приближённого равенства.

Два туриста вышли из одного лагеря: первый прошёл 4 км на север, второй — 5 км под углом 60° к маршруту первого. Рации села, и созвониться они могут только личной встречей — какое между ними расстояние? Треугольник уже задан: две стороны 4 и 5 и угол 60° между ними, поэтому третья сторона вычисляется в одну строку: $c^{2} = 16 + 25 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 21$ , откуда $c = 21 \approx 4, 58$ км. Калькулятор выше решает такие задачи в обе стороны: по двум сторонам и углу находит третью сторону, оба оставшихся угла и площадь, а по трём сторонам — все углы с проверкой неравенства треугольника.

Формулировка: сторона через две другие и угол

Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник. Если известны две стороны $a$ и $b$ и угол $γ$ между ними, квадрат третьей стороны равен сумме квадратов известных минус удвоенное произведение сторон на косинус угла между ними. Угол $γ$ здесь всегда «зажат» между сторонами $a$ и $b$ и лежит напротив искомой стороны $c$ . Именно эта оговорка ловит большинство ошибок: подставлять можно только угол, образованный двумя известными сторонами, а не любой из трёх.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Теорема косинусов: сторона через две другие и угол между ними

Формулу не обязательно заучивать — она выводится из Пифагора за минуту. Положи сторону $b$ на ось координат, тогда конец стороны $a$ окажется в точке с координатами $(a cos γ; a sin γ)$ , а расстояние между вершинами даст $c^{2} = (a cos γ - b)^{2} + (a sin γ)^{2}$ . Раскрой скобки: квадраты косинуса и синуса в сумме дают единицу, и остаётся ровно $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ . Такой вывод любят спрашивать сильные учителя, а на контрольной он выручает, если формула вылетела из головы.

Обратная формула: угол по трём сторонам

Формула переворачивается, когда известны все три стороны, а найти нужно угол. Выразим косинус: вычтем из обеих частей $b^{2}$ и $a^{2}$ , перенесём $c^{2}$ и разделим на $2 ab$ — сторона $c$ оказывается в числителе с минусом, а прилежащие стороны $a$ и $b$ — в знаменателе. Дробь заменяет таблицу косинусов: подставил три стороны — получил косинус, взял arccos — получил угол. Так в любом треугольнике находят все три угла, не строя высот и не делая дополнительных построений.

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Обратная теорема косинусов: угол по трём сторонам

Знак дроби рассказывает о форме треугольника. Косинус вышел положительным — угол острый; нулевым — прямой; отрицательным — тупой. Отсюда моментальный тест на вид треугольника: проверять достаточно один угол — тот, что лежит напротив наибольшей стороны. Если даже он острый, остальные и подавно; если косинус отрицателен — треугольник тупоугольный, и двух тупых углов в нём быть не может.

Угол γ	Косинус	Что происходит с формулой
γ = 90°	0	слагаемое 2ab·cos γ обнуляется, остаётся c² = a² + b² — теорема Пифагора
острый γ	положителен	вычитается положительное число, поэтому c² меньше суммы a² + b²
тупой γ	отрицателен	минус на минус даёт плюс, c² больше a² + b² — сторона раздувается
γ = 0°	1	c = \|a − b\|: стороны легли одна на другую, треугольник выродился
γ = 180°	−1	c = a + b: стороны натянулись в одну прямую, треугольника нет

Ловушка

При угле 90° теорема косинусов превращается в теорему Пифагора: слагаемое с косинусом исчезает. Отсюда две частые ошибки. Первая — применить Пифагора к непрямоугольному треугольнику, забыв про слагаемое 2ab·cos γ: при остром угле ответ выходит завышенным, при тупом — заниженным. Вторая — потерять минус в обратной формуле: острый угол посчитается верно, а тупой незаметно превратится в острый, ведь косинус сменил знак, а arccos этого не прощает. Всегда сверяй, какой угол лежит напротив какой стороны.

Разбор задачи по шагам

Расстояние между туристами

Записываем теорему косинусов и подставляем стороны 4 и 5 с углом 60°.
$c^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 16 + 25 - 20 = 21$
Извлекаем корень — это расстояние между туристами.
$c = 21 \approx 4, 58$
Проверяем вилкой: разность сторон 1, сумма 9, ответ внутри.
$1 < 21 < 9$
Для контроля находим угол напротив стороны 4 по обратной формуле.
$cos α = \frac{5 ^{2} + 21 - 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 21} \approx 0, 65, α \approx 49, 1^{\circ}$

Как найти угол, если известны три стороны

Разберём обратную задачу на числах: стороны 4, 5 и 6. Ищем угол между сторонами 4 и 5 — напротив стороны 6: $cos γ = \frac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = 0, 125$ , значит $γ \approx 82, 8^{\circ}$ — угол острый. Два оставшихся: напротив 4 выходит $arccos 0, 75 \approx 41, 4^{\circ}$ , напротив 5 — $arccos 0, 5625 \approx 55, 8^{\circ}$ , и в сумме ровно 180°. Калькулятор в режиме трёх сторон печатает все три угла сразу и заранее проверяет неравенство треугольника, чтобы не считать несуществующее.

Типовая контрольная: даны стороны 7, 8 и 9, требуется наибольший угол. План одинаковый всегда: наибольшая сторона 9 лежит напротив искомого угла, прилежащие — 7 и 8. Косинус выходит $\frac{49 + 64 - 81}{2 \cdot 7 \cdot 8} = 0, 286$ , угол около 73,4° — треугольник остроугольный, хоть и близок к прямоугольному. Заметил приём? Числитель $49 + 64 - 81$ почти ноль, и это симптом: стороны почти пифагоровы. Возьми вместо девятки $113$ — косинус обратился бы в ноль ровно.

Площадь двумя способами

Зная две стороны и угол между ними, площадь берут половиной произведения на синус: $S = \frac{1}{2} ab sin γ$ . Для туристов из первого абзаца это $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 8, 66$ . Когда есть три стороны, работает формула Герона через полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2}$ : площадь равна корню из произведения $p (p - a) (p - b) (p - c)$ . Виджет считает площадь обоими способами и сверяет ответы: формулы сходятся всегда, расходиться может лишь последняя округлённая цифра.

Та же формула меряет диагональ параллелограмма: диагональ — это третья сторона треугольника, собранного из двух смежных сторон. Параллелограмм со сторонами 3 и 5 и углом 60°: диагональ против острого угла равна $9 + 25 - 30 \cdot 0, 5 = 19 \approx 4, 36$ , а против смежного тупого 120° минус на минус даёт плюс — $9 + 25 + 30 \cdot 0, 5 = 7$ ровно. Навигация живёт той же схемой: два вектора перемещения и угол между ними дают смещение по прямой; азимуты, дальномерные измерения и задачи про стоянки судов сводятся к теореме косинусов без остатка.

Сумма трёх углов равна 180° с точностью округления до 0,1°.
Каждая сторона лежит в вилке: больше разности и меньше суммы двух других.
Косинус наибольшего угла положителен — треугольник остроугольный; отрицателен — тупоугольный.
Площади по Герону и по синусу совпадают до последнего знака.

Теорема косинусов#: связывает сторону треугольника с двумя другими и углом между ними; частный случай при 90° — теорема Пифагора
Обратная формула#: косинус угла равен дроби: разность квадратов сторон в числителе, удвоенное произведение прилежащих в знаменателе
Формула Герона#: площадь по трём сторонам через полупериметр; виджет использует её для перекрёстной проверки
Неравенство треугольника#: каждая сторона меньше суммы двух других; при равенстве треугольник вырождается в отрезок
Тупоугольный треугольник#: один угол больше 90°, его косинус отрицателен, а противолежащая сторона длиннее пифагоровой гипотенузы

Порядок работы с калькулятором простой. Режим «Две стороны и угол»: вводишь a, b и угол γ в градусах от 0 до 180 — получаешь третью сторону, оба оставшихся угла через обратную формулу и площадь по синусу. Режим «Три стороны»: вводишь a, b, c — калькулятор проверяет неравенство треугольника, находит все три угла через арккосинус и считает площадь Героном, тут же сверяя её с синусной формулой. Шаги решения под результатом показывают формулу, подстановку и ответ — удобно переписывать в тетрадь как образец оформления.

На контрольных теорема косинусов чаще всего спасает в задачах про расстояние между расходящимися объектами и про наибольший угол треугольника — он всегда напротив наибольшей стороны. Начни с контрольного примера: стороны 3, 4 и 5 обязаны дать углы 36,9°, 53,1° и ровно 90°, ведь это прямоугольный треугольник. Если сошлось — вводи свои числа: калькулятор не устаёт пересчитывать, а таблица сверху останется шпаргалкой на весь год.

Частые вопросы

Как найти сторону треугольника через две стороны и угол?

Возведи известные стороны в квадраты и сложи, затем вычти удвоенное произведение сторон на косинус угла между ними — из этой величины извлеки корень. Для сторон 4 и 5 с углом 60° выходит корень из 21, то есть примерно 4,58.

Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?

Теорема Пифагора — частный случай: при угле 90° косинус равен нулю и слагаемое 2ab·cos γ исчезает. Для острого угла квадрат стороны меньше суммы квадратов, для тупого — больше.

Как найти угол, если известны три стороны?

Подставь стороны в обратную формулу: косинус искомого угла равен разности квадратов сторон, делённой на удвоенное произведение двух прилежащих. Для треугольника со сторонами 4, 5 и 6 угол напротив шестёрки выходит около 82,8°.

Что даёт проверка по неравенству треугольника?

Каждая сторона обязана быть меньше суммы двух других — иначе треугольника не существует и считать углы бессмысленно. Равенство означает вырожденный случай: все точки лежат на одной прямой.