Теоремы синусов и косинусов. Правильные многоугольники и круг

Через овраг моста нет, а ширину знать надо — инженер стоит на одном краю, отмеряет базу 100 метров вдоль берега и замеряет два угла на противоположный столб. Третьей стороны «в руках» нет, но треугольник определён: две стороны и угол между ними. Это триангуляция — метод, которым картали страны и измеряли Землю. Математический мотор метода — теоремы синусов и косинусов, обобщение школьного Пифагора.

Две теоремы на все случаи

Теорема косинусов находит сторону по двум другим и углу между ними; при прямом угле косинус равен нулю и остаётся обычный Пифагор. Теорема синусов связывает стороны с углами: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=2R$, где R — радиус описанной окружности. Зная угол и радиус, сторона получается делением. Правильный n-угольник имеет равные стороны и углы; его углы дают в сумме $(n-2)\cdot 180^{\circ }$, и он вписывается в окружность с одинаковыми центральными углами $\frac{360^{\circ }}{n}$.

Выбор теоремы простой: знаешь две стороны и угол МЕЖДУ ними — бери косинусов; знаешь сторону и её противолежащий угол — синусов. Иногда подойдёт обе, и тогда выбирай ту, где числа приятнее: синус 30° равен 0,5 и считает мгновенно. Ошибка выбора не катастрофична, но лишние вычисления — лишние места для ошибки.

Стороны правильных многоугольников считаются через радиус описанной окружности общей формулой $a_n=2R\cdot \sin \frac{180^{\circ }}{n}$, но для трёх основных случаев значения проще запомнить. Откуда у шестиугольника «единица»: центральный угол 60°, и треугольник из центра с двумя соседними вершинами равносторонний — его сторона и есть R.

Косинус в жизни

Косинус — множитель, на который умножается длина, чтобы получить проекцию. Лестница длиной 4 м, поставленная под углом 60° к земле, отстоит от стены на 4 · cos 60° = 2 м: половина длины ушла в высоту, половина — в отступ. Та же лестница под углом 30° ляжет основанием в 4 · cos 30° ≈ 3,5 м от стены — почти вся длина вдоль земли. Чем круче угол, тем меньше косинус и короче проекция.

Дорога в гору длиной 100 м с уклоном под 30° смещает путника по горизонтали на 100 · cos 30° ≈ 87 м и поднимает на 100 · sin 30° = 50 м. Косинус и синус делят путь на две составляющие — вдоль земли и вверх. Проектировщики пандусов, монтажники лестниц и строители дорог живут именно этой парой значений.

Границы запомнить легко: cos 0° = 1 — луч лежит вдоль земли, cos 90° = 0 — луч стоит вертикально. Между ними косинус плавно убывает: 30° даёт примерно 0,87, 45° — примерно 0,71, 60° — ровно 0,5. Та же таблица работает в теореме косинусов: при угле 90° член с косинусом исчезает и остаётся обычный Пифагор.

Скалярное произведение из девятого класса — тот же косинус, спрятанный в координаты: произведение длин на косинус угла между векторами. Нулевое произведение значит угол 90° — косинус обратился в ноль. Две темы курса сцепились зубцами: без таблицы значений не работают ни теоремы, ни векторы.

Круг: длина и площадь

Число π — отношение длины окружности к диаметру, и оно одинаково для любого круга: у монеты и у карусели. Приближение 3,14 — грубое, дробь 22/7 ≈ 3,143 — точнее. Два рабочих правила на контрольной: длина окружности растёт по радиусу линейно, а площадь — по квадрату: радиус стал вдвое больше, площадь выросла вчетверо.

Круг в цифрах: колесо, пицца и гайка

Колесо велосипеда имеет диаметр 0,7 м, значит радиус 0,35 м. За один оборот колесо прокатывает ровно свою длину окружности: 2 · π · 0,35 ≈ 2,2 м. Сто оборотов — около 220 метров пути, и старый счётчик километров на колесе работал именно так: считал обороты и умножал на длину окружности.

Пицца диаметром 30 см: радиус 15, площадь π · 15² = 225π ≈ 707 см². А теперь две пиццы по 25 см: радиус 12,5, площадь каждой π · 12,5² ≈ 491 см², вместе около 982 см². Две маленькие дают заметно больше теста, чем одна большая, — квадрат радиуса растёт быстрее, чем кажется.

Шестигранная гайка, вписанная в окружность радиуса 10 мм, имеет сторону ровно 10 мм — центральный угол 60° даёт равносторонний треугольник из центра и двух соседних вершин. Расстояние между противоположными гранями — 2R · cos 30° ≈ 17,3 мм: именно поэтому на болт с резьбой М10 берут ключ на 17. Геометрия шестиугольника живёт в каждом ящике с инструментами.

Триангуляция: от Эратосфена до спутников

В третьем веке до нашей эры Эратосфен измерил Землю с помощью тени. В Сиене в полдень летнего солнцестояния солнце стояло в зените и тени не было, а в Александрии, примерно в 800 км севернее, столб отбрасывал тень под углом 7,2°. Круг — это 360°, значит 360 : 7,2 = 50: угол занимает одну пятидесятую окружности. Оставалось умножить: 800 · 50 = 40 000 км — окружность Земли, и современные измерения дают около 40 000 км по меридиану.

Триангуляция идёт дальше: измеряют один базис на земле и два угла на далёкий предмет — треугольник задан, и стороны считают по теоремам синусов и косинусов. Так цепочкой треугольников картели страны, а сегодня тот же принцип работает в навигаторе: приёмник решает задачу о пересечении сфер от нескольких спутников. Математика та же, что у оврага из начала урока.

Углы на глобусе переводятся в километры одним множителем: один градус меридиана — примерно 111 км. Город в 5° к югу отстоит примерно на 555 км: пять градусов по 111. Широта и долгота — это углы, и весь земной шар превращается в задачу на окружность с радиусом 6371 км.

Разбор типовой задачи

Задача на теорему синусов: в треугольнике сторона 5 см лежит против угла 30°, а сторона 10 см — против прямого угла. Найти радиус описанной окружности и проверить, что обе пары дают одно и то же.

Проверка через диаметр — общий приём: если в треугольнике есть прямой угол, его гипотенуза является диаметром описанной окружности. Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 имеет гипотенузу 10 и радиус описанной окружности ровно 5. Запомни это свойство — на контрольной оно экономит целый чертёж.

Словарь урока

Теорема косинусов#

Находит третью сторону по двум сторонам и углу между ними; при прямом угле превращается в теорему Пифагора.

Теорема синусов#

Связывает каждую сторону с синусом её угла: отношение равно диаметру описанной окружности.

Описанная окружность#

Окружность через все вершины треугольника; её радиус появляется в теореме синусов.

Правильный многоугольник#

Многоугольник с равными сторонами и равными углами.

Центральный угол#

Угол с вершиной в центре окружности; у правильного n-угольника равен 360° : n.

Длина окружности#

Два пи на радиус; за один оборот колесо проходит ровно её.

Как это спрашивают на контрольной и ОГЭ

• Найди третью сторону по двум сторонам и углу между ними — теорема косинусов.
• Найди радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу.
• Вычисли сумму углов или один угол правильного многоугольника.
• Найди сторону правильного шестиугольника по радиусу описанной окружности.
• Считай длину окружности или площадь круга по радиусу и наоборот.

На ОГЭ обе теоремы обычно дают вместе: одна находит сторону, вторая — угол или радиус. Экономит время таблица значений: синус 30° равен 0,5, синус 45° — примерно 0,71, синус 60° — примерно 0,87, и косинусы — те же числа в обратном порядке. И помни про минус в теореме косинусов: он превращается в плюс, только когда угол прямой.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема