Теоремы синусов и косинусов. Правильные многоугольники и круг — тренажёр

Пример 1. Сторона треугольника лежит против угла 30°, радиус описанной окружности равен 8 см. Найди эту сторону.

Как решать. По теореме синусов a = 2R·sin30° = 2·8·0,5 = 8 см.

Ответ: 8

Пример 2. Две стороны треугольника равны 3 см и 9 см, угол между ними 60°. Найди квадрат третьей стороны.

Как решать. По теореме косинусов c² = 3² + 9² − 2·3·9·0,5.

Ответ: 63

Пример 3. Найди сумму углов правильного 9-угольника в градусах.

Как решать. Сумма углов многоугольника: (9 − 2) · 180°.

Ответ: 1260

Пример 4. Чему равен внешний угол правильного шестиугольника?

Как решать. Внешние углы любого многоугольника дают 360°, значит 360° : 6 = 60°.

Ответ: 60°

Пример 5. Сторона треугольника лежит против угла 30°, радиус описанной окружности равен 3 см. Найди эту сторону.

Как решать. По теореме синусов a = 2R·sin30° = 2·3·0,5 = 3 см.

Ответ: 3

Пример 6. Две стороны треугольника равны 8 см и 10 см, угол между ними 60°. Найди квадрат третьей стороны.

Как решать. По теореме косинусов c² = 8² + 10² − 2·8·10·0,5.

Ответ: 84

Пример 7. Найди сумму углов правильного 6-угольника в градусах.

Как решать. Сумма углов многоугольника: (6 − 2) · 180°.

Ответ: 720

Пример 8. Сторона треугольника лежит против угла 30°, радиус описанной окружности равен 6 см. Найди эту сторону.

Как решать. По теореме синусов a = 2R·sin30° = 2·6·0,5 = 6 см.

Ответ: 6

Пример 9. Две стороны треугольника равны 6 см и 6 см, угол между ними 60°. Найди квадрат третьей стороны.

Как решать. По теореме косинусов c² = 6² + 6² − 2·6·6·0,5.

Ответ: 36

Пример 10. Чему равен внешний угол правильного шестиугольника?

Как решать. Внешние углы любого многоугольника дают 360°, значит 360° : 6 = 60°.

Ответ: 60°

Пример 11. Сторона треугольника лежит против угла 30°, радиус описанной окружности равен 9 см. Найди эту сторону.

Как решать. По теореме синусов a = 2R·sin30° = 2·9·0,5 = 9 см.

Ответ: 9

Пример 12. Найди сумму углов правильного 11-угольника в градусах.

Как решать. Сумма углов многоугольника: (11 − 2) · 180°.

Ответ: 1620

Пример 13. Чему равен внешний угол правильного шестиугольника?

Как решать. Внешние углы любого многоугольника дают 360°, значит 360° : 6 = 60°.

Ответ: 60°

Пример 14. Две стороны треугольника равны 9 см и 9 см, угол между ними 60°. Найди квадрат третьей стороны.

Как решать. По теореме косинусов c² = 9² + 9² − 2·9·9·0,5.

Ответ: 81

Пример 15. Найди сумму углов правильного 5-угольника в градусах.

Как решать. Сумма углов многоугольника: (5 − 2) · 180°.

Ответ: 540

Пример 16. Чему равен внешний угол правильного шестиугольника?

Как решать. Внешние углы любого многоугольника дают 360°, значит 360° : 6 = 60°.

Ответ: 60°

Вопрос 1. Теорема косинусов — это обобщение…

Ответ: теоремы Пифагора

Пояснение. При прямом угле косинус равен нулю, и остаётся классическое a² + b² = c².

Вопрос 2. Стороны треугольника 5 см и 8 см, угол между ними 60°. Найди третью сторону.

Ответ: 7

Пояснение. c² = 25 + 64 − 2·5·8·0,5 = 49, значит c = 7 см.

Вопрос 3. Найди сумму углов правильного восьмиугольника.

Ответ: 1080

Пояснение. (8 − 2) · 180° = 1080°.

Вопрос 4. В теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно 2R.

Ответ: Верно

Пояснение. Да, и это R — радиус описанной окружности треугольника.

Вопрос 5. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна…

Ответ: $R$

Пояснение. Центральный угол 60°, треугольник из двух радиусов равносторонний — сторона равна R.

Вопрос 6. Найди каждый угол правильного пятиугольника.

Ответ: 108

Пояснение. Сумма углов (5 − 2)·180° = 540°, делим на 5 — получаем 108°.

Вопрос 7. Которая из двух теорем?

Пояснение. Теорема косинусов работает с двумя сторонами и углом между ними, теорема синусов связывает стороны с противолежащими углами через 2R.

Вопрос 8. Вставь пропущенное.

Ответ: 2R → Пифагора

Пояснение. Отношение a/sin α всегда равно диаметру описанной окружности 2R. При прямом угле косинус обнуляет лишний член — остаётся a² + b² = c².