ГеометрияКалькулятор2026-09-01

Калькулятор теоремы синусов

Q: Как найти сторону треугольника через теорему синусов?

Сначала найди третий угол: он равен 180° минус два известных. Затем раздели известную сторону на синус её угла и умножь на синус угла напротив искомой стороны. Для стороны 10 с углами 45° и 90° сторона напротив 90° выйдет 10·1/0,707 ≈ 14,14.

Q: Как найти радиус описанной окружности через теорему синусов?

Радиус равен стороне, делённой на удвоенный синус противолежащего угла: R = a/(2·sin α). Например, сторона 5 против угла 30° даёт радиус 5 и диаметр 10.

Q: Почему синус угла не определяет угол однозначно?

Синусы 30° и 150° равны 0,5, поэтому по значению синуса угол не восстановить — кандидатов два. Выбирают по сумме углов и неравенству сторон: против большей стороны лежит больший угол.

Q: Когда теорему синусов применить нельзя?

Если известны две стороны и угол между ними, противолежащего угла нет и пропорцию не составить — нужна теорема косинусов. Также она не спасёт, когда известен только один угол: двух недостающих сторон из одной стороны не вытащить.

Вводишь сторону и два угла — получаешь третий угол, обе неизвестные стороны, радиус описанной окружности и площадь; вводишь сторону и её противолежащий угол — получаешь радиус и диаметр описанной окружности за один шаг.

Теорема синусов: третий угол, стороны и радиус описанной окружности

Сторона aУгол β°Угол γ°

Углы: α ≈ 45°, β ≈ 45°, γ ≈ 90° · стороны: a = 10, b ≈ 10, c ≈ 14.142 · площадь ≈ 50

радиус описанной окружности R ≈ 7.071, диаметр 2R ≈ 14.142 · сумма углов 180° — сходится к 180°

Третий угол — из 180° минус сумма двух известных. $α = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$
Сторона b пропорциональна синусу своего угла β. $b = a \cdot \frac{s i n β}{s i n α} = 10 \cdot \frac{s i n 4 5 ^{\circ}}{s i n 4 5 ^{\circ}} \approx 10$
Сторона c — так же, через синус угла γ. $c = a \cdot \frac{s i n γ}{s i n α} = 10 \cdot \frac{s i n 9 0 ^{\circ}}{s i n 4 5 ^{\circ}} \approx 14.142$
Отношение стороны к синусу её угла — диаметр описанной окружности 2R. $R = \frac{a}{2 s i n α} = \frac{10}{2 \cdot s i n 4 5 ^{\circ}} \approx 7.071$
Площадь — половина произведения двух сторон на синус угла между ними. $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot sin 9 0^{\circ} \approx 50$

Синус не определяет угол однозначно: sin 30° = sin 150° = 0,5, поэтому после расчёта сверь пары «угол — сторона»: если β < α, то сторона b обязана быть меньше a — против меньшего угла лежит меньшая сторона. Помни про масштаб: 2R — диаметр описанной окружности, а у прямоугольного треугольника R равен просто половине гипотенузы.

Геодезистам нужно измерить ширину реки, не переплывая её. На своём берегу выбраны две точки $A$ и $B$ , расстояние между которыми — 40 м; такой опорный отрезок называют базисом. На противоположном берегу виднеется одинокий тополь $C$ . Угломер показывает: из точки $A$ направление на тополь отклонено от базиса на 55°, из точки $B$ — на 65°. Три точки образуют треугольник, в котором известна одна сторона и два угла, и этого достаточно: теорема синусов достраивает треугольник целиком — и расстояние до тополя, и ширину реки, и даже радиус окружности, описанной вокруг него. Калькулятор выше делает то же самое в один экран, а ниже разберём решение по шагам.

Формулировка: сторона против своего угла

Теорема синусов связывает каждую сторону треугольника с синусом противолежащего угла — того, что лежит напротив неё. Сторона $a$ лежит напротив угла $α$ , сторона $b$ — напротив $β$ , сторона $c$ — напротив $γ$ , и все три отношения стороны к синусу её угла равны между собой и равны диаметру описанной окружности. Отсюда главный практический вывод: зная любую сторону и два угла, можно найти две оставшиеся стороны, а зная сторону и её угол — радиус описанной окружности.

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

Теорема синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

Читать запись удобно слева направо: отношение стороны к синусу её угла одинаково для всех трёх пар. Если известны сторона $a$ и углы $β$ с $γ$ , то сначала находят третий угол $α = 18 0^{\circ} - β - γ$ , а затем каждую недостающую сторону по пропорции: $b = a \cdot sin β / sin α$ и $c = a \cdot sin γ / sin α$ . Порядок «сторона против угла» здесь принципиален: в пропорцию подставляется синус того угла, который лежит напротив этой стороны, а не соседнего. Перепутаешь местами — выйдет совсем другой треугольник, хотя числа будут выглядеть правдоподобно.

Отношение равно 2R: связь с описанной окружностью

Самая сильная часть теоремы — правая часть равенства: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно не просто какому-то числу, а диаметру описанной окружности $2 R$ . Для каждой стороны это даёт мгновенную формулу $a = 2 R \cdot sin α$ . Откуда она берётся: вписанный угол $α$ опирается на ту же хорду, что и центральный угол $2 α$ , а хорда, стягивающая угол $2 α$ , равна $2 R sin α$ . Расстояние от центра до хорды тоже выражается мгновенно: $R \cdot cos α$ . Задача «найди радиус описанной окружности» решается в одну строку: $R = a / (2 sin α)$ — именно это делает второй режим калькулятора.

a = 2 R sin α

Сторона через радиус описанной окружности и противолежащий угол

Пример с числами: пусть радиус описанной окружности равен 5, а сторона равна 6. Из формулы $a = 2 R sin α$ синус угла выходит $0, 6$ , сам угол — около 36,9°, а расстояние от центра до хорды — $5 \cdot 0, 8 = 4$ . Получился прямоугольный треугольник из катетов 3 и 4 с гипотенузой 5: половина хорды, расстояние до неё и радиус всегда образуют такой треугольник с прямым углом. Это удобная проверка: расстояние от центра до хорды обязано быть меньше радиуса, иначе хорды такой длины в окружности не поместится.

Три ловушки

Синус не определяет угол однозначно: $sin 3 0^{\circ} = sin 15 0^{\circ} = 0, 5$ , и по одному значению синуса угол не восстановить — кандидатов всегда два, острый и тупой. Выбирают между ними по неравенству сторон и по сумме углов: против большей стороны лежит больший угол, а любые два угла вместе с третьим обязаны давать ровно 180°. Вторая ловушка — порядок «сторона против угла»: в пропорцию идёт синус угла, лежащего напротив этой стороны; перепутал пару — получил чужую сторону. Третья: если даны две стороны и угол между ними, теорема синусов не поможет — там работает теорема косинусов, потому что угол не противолежащий, а зажатый между известными сторонами.

Совет

Радиус считается за один шаг из любой стороны: $R = a / (2 sin α)$ . А дальше работает правило «самая большая сторона смотрит на самый большой угол»: вычислил две стороны — сравни каждую с её углом, и грубая ошибка проявится сразу. Если угол $β$ вышел меньше угла $α$ , то и сторона $b$ обязана быть меньше стороны $a$ ; равные углы тянут за собой равные стороны. Прямоугольный треугольник проверяется мгновенно: диаметр его описанной окружности совпадает с гипотенузой, поэтому $R$ — просто половина гипотенузы.

Угол	Синус	Сколько углов даёт такой синус
30°	0,5	два кандидата: 30° и 150° — нужен дополнительный признак
90°	1	ровно один: синус равен 1 только у прямого угла
150°	0,5	тупой кандидат: если в задаче угол острый, остаётся 30°
45°	≈ 0,707	один, когда второй угол больше 45°: тогда 135° не проходит по сумме углов
60°	≈ 0,866	кандидаты 60° и 120°: выбирает сумма углов и неравенство сторон

Разбор задачи по шагам: ширина реки

Ширина реки через базис

Считаем третий угол треугольника — он лежит напротив базиса.
$∠ C = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} - 6 5^{\circ} = 6 0^{\circ}$
Записываем пропорцию: сторона AC смотрит на угол 65°, базис AB — на угол 60°.
$\frac{A C}{sin 6 5 ^{\circ}} = \frac{A B}{sin 6 0 ^{\circ}}$
Выражаем расстояние до тополя и подставляем числа.
$A C = \frac{40 \cdot sin 6 5 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} \approx \frac{40 \cdot 0 , 906}{0 , 866} \approx 41, 9$
Ширина реки — перпендикуляр из тополя на линию базиса.
$h = A C \cdot sin 5 5^{\circ} \approx 41, 9 \cdot 0, 819 \approx 34, 3$

Высота башни с двух точек

Тот же приём меряет высоты. Пусть к башне нельзя подойти вплотную: с двух точек на прямой к её основанию, на расстоянии 30 м друг от друга, углы возвышения на вершину равны 30° и 60°. Углы треугольника при точках наблюдения: 30° и $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , значит, при вершине остаётся 30°. Два равных угла — треугольник равнобедренный, и сторона от дальней точки до вершины равна базису: 30 м. Высота — катет напротив угла 60°: $30 \cdot sin 6 0^{\circ} = 153 \approx 26$ м. Никакой рулетки до вершины не нужно — только базис, два угла и теорема синусов.

Отдельного внимания заслуживает выбор между острым и тупым кандидатом. Пусть синус искомого угла вышел 0,5: формально подходят и 30°, и 150°. Смотри на данные задачи. Если противолежащая сторона оказалась меньше соседней, угол обязан быть меньшим — против меньшей стороны лежит меньший угол. Если второй известный угол уже 70°, тупой кандидат 150° отпадает сам: вместе они дали бы больше 180°. Наконец, тупой угол в треугольнике всегда наибольший, поэтому его сторона — самая длинная из трёх; это мгновенный тест на тупоугольный ответ.

Как пользоваться калькулятором

Режим «Сторона и два угла»: вводишь сторону и два угла в градусах — получаешь третий угол как 180° минус их сумму, обе недостающие стороны, радиус описанной окружности и площадь через половину произведения сторон на синус угла между ними. Контрольный пример: сторона 10, углы 45° и 90°. Третий угол — 45°, вторая сторона равна 10 (углы равны — стороны равны), третья — 14,142, радиус — 7,071, и он действительно равен половине гипотенузы 14,142. Если же сумма двух введённых углов 180° или больше, калькулятор откажется считать: третьего угла в таком треугольнике не остаётся.

Режим «Сторона против угла (2R)»: вводишь сторону и её противолежащий угол — получаешь радиус описанной окружности и диаметр. Пример: сторона 5 против угла 30° даёт $R = 5/ (2 \cdot 0, 5) = 5$ и диаметр 10. Это ровно те задачи, где спрашивают центр окружности: через три вершины треугольника всегда проходит единственная окружность, и её размер восстанавливается из любой пары «сторона — её угол». Любопытно, что сторона 5 против угла 150° даст тот же радиус — форму треугольника подскажет только неравенство сторон.

Третий угол считается первым: из 180° минус два известных угла.
Каждая сторона равна 2R·sin своего угла — проверка радиуса мгновенна.
Против большего угла — большая сторона: сравнивай пары после расчёта.
Сумма любых двух углов меньше 180°, иначе треугольник вырождается в отрезок.

Базис#: измеренный отрезок на доступном берегу, от которого углами выносят расстояние до недоступной точки
Описанная окружность#: единственная окружность, проходящая через три вершины треугольника; её радиус связан со сторонами теоремой синусов
Хорда#: отрезок между двумя точками окружности; каждая сторона треугольника — хорда его описанной окружности
2R#: диаметр описанной окружности; общее значение всех отношений стороны к синусу противолежащего угла
Неоднозначный случай#: ситуация, когда одно значение синуса дают два угла — острый и тупой; выбирает между ними неравенство сторон и сумма углов

На контрольных теорема синусов чаще всего встречается в связке с недоступными расстояниями: ширина реки, высота башни, расстояние до корабля. Начни с самопроверки: сторона 5, углы 30° и 60° обязаны дать третий угол 90°, стороны 2,5 и 4,330 и радиус 2,5 — половину гипотенузы 5. Если сошлось, вводи свои числа: шаги решения под результатом показаны формулой, подстановкой и ответом, так что переписать образец оформления в тетрадь — дело десяти секунд.

Частые вопросы

Как найти сторону треугольника через теорему синусов?

Сначала найди третий угол: он равен 180° минус два известных. Затем раздели известную сторону на синус её угла и умножь на синус угла напротив искомой стороны. Для стороны 10 с углами 45° и 90° сторона напротив 90° выйдет 10·1/0,707 ≈ 14,14.

Как найти радиус описанной окружности через теорему синусов?

Радиус равен стороне, делённой на удвоенный синус противолежащего угла: R = a/(2·sin α). Например, сторона 5 против угла 30° даёт радиус 5 и диаметр 10.

Почему синус угла не определяет угол однозначно?

Синусы 30° и 150° равны 0,5, поэтому по значению синуса угол не восстановить — кандидатов два. Выбирают по сумме углов и неравенству сторон: против большей стороны лежит больший угол.

Когда теорему синусов применить нельзя?

Если известны две стороны и угол между ними, противолежащего угла нет и пропорцию не составить — нужна теорема косинусов. Также она не спасёт, когда известен только один угол: двух недостающих сторон из одной стороны не вытащить.