Решение треугольников 9 класс: синусы и косинусы
Три программы решения треугольника: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам, по трём сторонам — и правило выбора между теоремами синусов и косинусов.
Картографу поручили измерить ширину реки, не переплывая её. Он встаёт на берегу, выбирает точку прямо напротив дерева на другом берегу, отходит вдоль берега на сто метров и измеряет угол между направлением на дерево и своим маршрутом. Всё. Три числа — сто метров, прямой угол на старте и угол на конце базы — полностью описывают треугольник, а ширина реки становится его стороной, которую можно вычислить, сидя в тетради. Именно так решают треугольники: по трём известным элементам восстанавливают остальные. Этот приём работает у геодезистов, моряков, строителей мостов и астрономов, измеряющих расстояние до планет.
Решить треугольник — значит по некоторым его известным элементам найти все остальные: три стороны и три угла. Инструмента два, и оба ты уже знаешь. Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов: отношение стороны к синусу её угла одинаково для всех трёх сторон. Теорема косинусов связывает одну сторону с двумя другими и углом между ними: квадрат стороны равен сумме квадратов двух сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними. Осталось научиться выбирать инструмент под то, что дано, — в этом и есть вся тема.
Программа первая: две стороны и угол между ними
Даны две стороны и угол между ними — например, стороны шесть и восемь, угол шестьдесят градусов. План прямой: сначала теорема косинусов даёт третью сторону, потому что угол между известными сторонами есть прямо в формуле. Возводим стороны в квадрат: тридцать шесть плюс шестьдесят четыре — сто. Двойное произведение: два раза шесть на восемь — девяносто шесть, а косинус шестидесяти градусов равен одной второй, и девяносто шесть на одну вторую — сорок восемь. Третья сторона в квадрате равна пятидесяти двум, сторона — корень из пятидесяти двух, чуть больше семи. Дальше любой из двух оставшихся углов находим по теореме косинусов уже для него: выражаем косинус через три стороны. Последний угол добираем по сумме углов треугольника — сто восемьдесят градусов минус два известных.
Почему второй угол ищут через теорему косинусов, а не синусов? Логика такая: синус отвечает на вопрос «какой угол?» неоднозначно — синус сорока и синус ста сорока градусов одинаковы, и без дополнительной информации не понять, острый угол перед тобой или тупой. Косинус же однозначен: чем больше угол, тем меньше косинус, и по значению косинуса угол восстанавливается без вариантов. Поэтому когда известны три стороны, углы находят именно косинусами, а синусы оставляют для случаев, где неоднозначности нет.
Программа вторая: сторона и два угла
Даны одна сторона и два угла — например, сторона десять, углы сорок пять и шестьдесят градусов. Третий угол бесплатен: сто восемьдесят минус сорок пять минус шестьдесят — семьдесят пять. Теперь у каждой стороны есть свой противолежащий угол, и работает теорема синусов. Отношение известной стороны к синусу её угла даёт коэффициент, а каждая недостающая сторона — этот коэффициент, умноженный на синус её угла. Сторона десять лежит против угла семьдесят пять градусов; делим десять на синус семидесяти пяти — получаем общий множитель; умножаем его на синус сорока пяти — вторая сторона, на синус шестидесяти — третья. Вся программа — три строки вычислений.
Третий угол всегда находят первым, и вот почему: у каждой стороны должен быть свой угол-пара, а до этого шага против одной из сторон угла нет. Сумма углов треугольника — единственное правило, которое не требует тригонометрии, и выкачивать из него бесплатный элемент — правильное начало любой программы. Только после этого включаются теоремы, и вычисления идут по кругу: сторона — угол — сторона — угол, каждый элемент через уже известные.
Программа третья: три стороны
Даны три стороны — например, пять, шесть и семь. Здесь синусы сразу не помогут: их теорема связывает стороны с углами, а углов нет. Снова теорема косинус, но перевёрнутая: из формулы выражают косинус угла — косинус угла равен сумме квадратов двух сторон минус квадрат третьей, делённой на удвоенное произведение двух сторон. Для угла против стороны семь: сорок девять в числителе со знаком минус, двадцать пять плюс тридцать шесть — шестьдесят один, разность двенадцать, делить на шестьдесят — косинус ноль целых двенадцать сотых. Угол получается немного больше восьмидесяти градусов. Так по очереди находят два угла, а третий — через сумму углов. Все углы здесь острые или один тупой — косинусы честно это покажут: у тупого угла косинус отрицателен.
- Посчитай, что дано: сколько сторон и сколько углов. Три элемента, среди них хотя бы одна сторона.
- Если есть угол между двумя сторонами или все три стороны — начни с теоремы косинусов.
- Если дана сторона и два угла — найди третий угол и работай теоремой синусов.
- Закрывай оставшиеся элементы по кругу и проверяй сумму углов: сто восемьдесят градусов.
| Что дано | Первый инструмент | Чем закрыть остальное |
|---|---|---|
| две стороны и угол между ними | теорема косинусов — третья сторона | косинус для угла, сумма углов |
| сторона и два угла | сумма углов — третий угол | теорема синусов для сторон |
| три стороны | косинус из перевёрнутой теоремы косинусов | второй угол косинусом, третий — сумма |
| две стороны и угол против одной | теорема синусов — противолежащий угол | осторожно: возможны два варианта |
Особая строка в таблице — две стороны и угол, лежащий против одной из них. Теорема синусов даёт синус неизвестного угла, но синус один и тот же у острого и тупого угла, и порой задача имеет два разных ответа: треугольник получается либо с острым, либо с тупым углом. В школьных задачах этот случай обычно оговаривают рисунком — какой угол нарисован, такой и выбирают. На экзаменах такие задачи встречаются редко, но знать о двойственности стоит: это самый тонкий поворот всей темы.
Вернёмся к реке. База сто метров, угол при дальнем конце базы — тридцать пять градусов, угол при дереве — девяносто. Ширина реки лежит против угла тридцать пять, а база — против прямого угла. Отношение ширины к синусу тридцати пяти равно отношению ста к синусу девяноста, то есть ста. Ширина — сто синусов тридцати пяти, примерно пятьдесят семь метров. Ни переправы, ни лодки, ни дорогого дальномера: три измерения на берегу и одна пропорция. Точно так же астрономы Гиппарх и Аристарх измеряли расстояния до Луны и Солнца, а сегодня так работают GPS-приёмники, решая треугольники между спутниками.
Разберу ещё одну задачу целиком, уже без реки. Дан треугольник со сторонами восемь и десять и углом шестьдесят градусов между ними. Третья сторона: шестьдесят четыре плюс сто — сто шестьдесят четыре; минус два раза восемь на десять на одну вторую — минус восемьдесят; итог — восемьдесят четыре, сторона равна корню из восьмидесяти четырёх, чуть больше девяти. Угол против стороны десять: косинус равен разности квадратов — сто плюс восемьдесят четыре минус шестьдесят четыре — делённой на два раза десять на корень из восьмидесяти четырёх. Вычисление даёт косинус около нуля целых семи десятых, угол около сорока пяти градусов. Остался последний угол: сто восемьдесят минус шестьдесят минус сорок пять — около семидесяти пяти градусов. Проверка сходится, треугольник решён.
Контроль: два фильтра после вычислений
Контроль разума после вычислений простой и работает всегда: в треугольнике наибольшая сторона лежит против наибольшего угла, наименьшая — против наименьшего. Если вышло, что самая короткая сторона смотрит на самый большой угол, — где-то ошибка в арифметике. Второй контроль — сумма углов: ровно сто восемьдесят градусов, без округлительны поблажек. Эти два фильтра ловят почти все вычислительные промахи раньше учителя.
Дальше — тренажёр и тест. Выбирай программу по данным, держи в голове пару «сторона — противолежащий угол» и заканчивай каждый треугольник проверкой суммы углов. Эти три программы — весь предмет на сегодня: всё остальное, от косых треугольников в стереометрии до навигационных задач, строится на них. Решай треугольники уверенно — и измерение недоступного перестанет быть фокусом.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Стороны треугольника равны 7 и 9, угол между ними равен 60°. Чему равен квадрат третьей стороны?
2 Какую теорему выгодно применить первой, если даны три стороны треугольника?
3 В теореме синусов сторона делится на синус противолежащего ей угла.
4 Что стоит сделать сразу, если дана одна сторона и два угла треугольника?
5 Расположи шаги решения треугольника по двум сторонам и углу между ними.
6 Сопоставь данные и первый инструмент решения.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Дополни: отношение стороны к синусу ___ угла одинаково для всех сторон, а квадрат стороны равен сумме квадратов двух других минус их удвоенное произведение на ___ угла между ними.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Отношение стороны к синусу угла одинаково для всех сторон, а квадрат стороны равен сумме квадратов двух других минус их удвоенное произведение на угла между ними.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как решать треугольник по трём сторонам?
Вырази косинус одного угла из теоремы косинусов и найди этот угол, затем так же второй угол. Последний угол добери через сумму углов треугольника.
Какую теорему выбрать: синусов или косинусов?
Косинусов — когда есть угол между двумя сторонами или все три стороны. Синусов — когда известна пара «сторона и её противолежащий угол».
Как найти угол треугольника, если известны все стороны?
По перевёрнутой теореме косинусов: косинус угла равен разности суммы квадратов двух сторон и квадрата третьей, делённой на удвоенное произведение двух сторон. Найдя так два угла, третий добирают через сумму углов треугольника.
Почему нельзя всегда пользоваться теоремой синусов для углов?
Потому что синус не различает острый и тупой угол: у углов 40° и 140° синусы одинаковы. Косинус определяет угол однозначно, поэтому углы по сторонам ищут косинусом.