Геометрия · 10 классурок · 2026-09-27~9 мин чтения

Правильные многогранники. Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

От кристалла соли до геодезического купола: пять правильных многогранников, таблица их граней и вершин, теорема Эйлера и задачи на рёбра, диагонали и развёртки.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Поваренная соль кристаллизуется идеально ровными кубиками: достань лупу и рассмотри крупинки — прямые углы видны прямо в сольнице. Пирит выстреливает почти правильными додекаэдрами, кристаллы алмаза растут октаэдрами. Математика объясняет редкость такой стройности: правильный многогранник — фигура настолько строгая, что таких тел всего пять на всю геометрию, и их называют телами Платона. Разберём, что именно требует определение, почему пятёрка полная и не может пополниться, и потренируемся считать рёбра, вершины и диагонали.

Что значит правильный

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников. Определение правильного многогранника требует сразу трёх условий, и все три обязательны. Первое: многогранник выпуклый — он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Второе: все грани — равные правильные многоугольники. Третье: в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Упало одно условие — тело вылетело из клуба: прямая призма с правильным пятиугольником в основании выглядит безупречно, но её грани не равны между собой, в вершинах сходится разное число рёбер — и это не правильный многогранник.

Многогранник#: тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников
Правильный многогранник#: выпуклый многогранник с равными правильными гранями и одинаковым числом рёбер в каждой вершине
Грань#: многоугольник, из которых составлена поверхность многогранника
Развёртка#: плоская фигура, из которой склеивается многогранник без разрывов и наложений

Из определения следует неожиданное ограничение: гранями могут быть только правильные треугольники, квадраты или правильные пятиугольники. Почему не шестиугольники? Посмотри на вершину: в ней сходится не меньше трёх граней, а сумма их плоских углов при вершине обязана быть меньше 360° — иначе поверхность не согнётся в выпуклое тело. У правильного шестиугольника угол 120°, и уже три таких угла дают ровно 360°: вершина распрямляется в плоскость, многогранник не собирается. Чем дальше шестиугольник, тем хуже — большие многоугольники отбрасываются сразу.

Пять тел Платона

Переберём возможности до конца. Из правильных треугольников с углом 60° вершина собирается при трёх, четырёх или пяти гранях в основании: суммы 180°, 240° и 300° — всё меньше 360°. Шесть граней дают уже 360° — мимо. Из квадратов с углом 90° годится только тройка: 270°. Из правильных пятиугольников с углом 108° — тоже тройка: 324°. Шестиугольники не проходят вовсе. Итого ровно пять комбинаций — и ровно пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр из треугольников, куб из квадратов и додекаэдр из пятиугольников.

Тело	Грани	Вершины	Рёбра
тетраэдр	4 треугольника	4	6
куб	6 квадратов	8	12
октаэдр	8 треугольников	6	12
додекаэдр	12 пятиугольников	20	30
икосаэдр	20 треугольников	12	30

V - E + F = 2

Теорема Эйлера: число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум

Теорема Эйлера — проверочный ключ для всей таблицы: для любого выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум. Проверь на кубе: 8 − 12 + 6 = 2. На икосаэдре: 12 − 30 + 20 = 2. Формула работает и в обратную сторону: зная два числа, третье вычисляется в одну строку — так в задачах узнают число рёбер додекаэдра, не пересчитывая их на модели.

Решение по шагам: шаг 0 из 5

Куб: вершины 8, рёбра 12, грани 6 — подставляем числа в формулу Эйлера.
8 − 12 + 6 = 2 — проверка сходится.
Додекаэдр: грани 12, вершины 20, число рёбер обозначим Е.
20 − Е + 12 = 2, откуда Е = 30 — столько рёбер у додекаэдра.
Контроль по таблице: у икосаэдра 12 − 30 + 20 = 2 — тоже верно.

Эйлер на практике

Раскрывай шаги и проверяй формулу на двух телах сразу.

Развёртки и склейка

Развёртка многогранника — плоская фигура, которая складывается в тело без разрывов и наложений. У куба развёртка — шесть соединённых квадратов, и разных раскладок у неё ровно одиннадцать: художники и упаковщики перепробовали все. Классический брак — фигура с наложением: две грани, попавшие на одно место, склеить не получится, а одной грани не хватит. Проверка простая: пронумеруй мысленно клетки развёртки — каждой из шести граней должно достаться своё место без совпадений.

Тетраэдр разворачивается в большой треугольник, разрезанный средними линиями на четыре равных маленьких: соедини середины сторон правильного треугольника — и развёртка готова. Октаэдр собирается из двух таких развёрток, сложенных «пирамидками» вверх. В задачах на развёртки любят спрашивать, какие стороны контура совпадут при склейке: пройдись по границе фигуры и попарно соедини равные по длине стороны — непарных остаться не должно, иначе края не сомкнутся.

Развёртка превращает объёмную задачу в плоскую, и этим стоит пользоваться. Классический пример: муравей ползёт по поверхности куба с ребром 2 см от вершины к противоположной — по какой траектории путь короче? Разверни куб: на плоскости путь становится отрезком из одного угла прямоугольника в противоположный, и теорема Пифагора даёт корень из двадцати, то есть чуть больше четырёх сантиметров. Так работают картонные коробки, вентиляционные переходы и упаковка: сначала плоский раскрой, потом склейка.

Симметрия куба и тетраэдра

У куба симметрий целый парк: центр симметрии — в самой середине тела, девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии. Оси собираются в три семейства: через центры противоположных граней — три штуки, через противоположные вершины — четыре, через середины противоположных рёбер — шесть. Проверь любое из них мысленным поворотом: куб на 90° вокруг оси через центры граней совпадает сам с собой — этим и меряется симметрия.

У правильного тетраэдра скромнее: центра симметрии нет вовсе, осей три — они соединяют середины противоположных рёбер, а плоскостей симметрии шесть, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра. Причина несимметричной скромности в устройстве фигуры: у каждой вершины тетраэдра «напротив» стоит грань, а не вершина, поэтому пара «противоположных вершин», через которую у куба шла ось, здесь невозможна.

Симметрия — не украшение, а рабочий инструмент задач. Поворот куба вокруг оси через центры противоположных граней переводит каждую пространственную диагональ в другую — значит, все четыре диагонали равны, и ничего не нужно измерять. Точно так же симметрия доказывает равенство всех рёбер и всех плоских углов правильного многогранника: любое преобразование, переводящее тело в себя, сохраняет длины и углы, а комбинаций поворотов и отражений хватает, чтобы добраться от любого элемента до любого другого.

Ловушка

Первая ловушка — «правильная призма значит правильный многогранник»: шестиугольная призма с ровными боками выглядит идеально, но грани у неё разные, и в вершинах сходится неодинаковое число рёбер. Вторая: формула Эйлера верна для любого выпуклого многогранника, но из её выполнения не следует правильность — косая пирамида тоже даст двойку. Третья: диагональ куба путают с диагональю грани — первая протягивается через всё тело и равна $a 3$ , вторая лежит в грани и равна $a 2$ , и в задачах важно не перепутать, какую из них спрашивают.

Задачи на рёбра и диагонали

Диагональ куба с ребром a вычисляется теоремой Пифагора дважды. Сначала диагональ грани: её квадрат равен $a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$ , значит, сама она равна $a 2$ . Затем диагональ тела: она соединяет вершину нижнего основания с противоположной вершиной верхнего и образует прямоугольный треугольник из ребра, диагонали грани и самой диагонали d. Отсюда $d^{2} = a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{2}$ и $d = a 3$ . Для куба с ребром 6 см диагональ тела равна $63$ — чуть больше 10 см, а диагональ грани — $62$ , примерно 8,5 см.

Задача: тетраэдр и куб с равными рёбрами

Ребро каждого тела равно 4 см. У тетраэдра 6 рёбер, у куба 12.
Суммы длин рёбер: у тетраэдра 24 см, у куба 48 см — вдвое больше.
Диагональ грани куба: 4, умноженное на корень из двух, — примерно 5,7 см.
$d_{1} = 42$
Диагональ куба: 4, умноженное на корень из трёх, — примерно 6,9 см.
$d = 43$
Контроль Эйлером для куба: 8 − 12 + 6 = 2 — числа согласованы.

d = a 3

Диагональ куба через его ребро

Где живут правильные многогранники

Кристаллы поваренной соли растут кубами, пирит даёт кубы и додекаэдры, алмаз — октаэдры: природа экономит энергию, и правильные грани выходят сами. Вирусы многих групп строят белковые оболочки в форме икосаэдра: из всех тел он при большом объёме требует наименьшего числа деталей — экономия драгоценного генетического материала. Архитекторы ценят жёсткость треугольных сеток: геодезические купола Бакминстера Фуллера собираются из треугольников, натянутых на каркас икосаэдра, и держат вес при малой массе. А игральная кость с двадцатью гранями — тот самый икосаэдр: все пять тел Платона годятся в честные кости, ведь равные грани дают равные шансы.

в задачах экзаменов: подсчёт рёбер и вершин, формула Эйлера, диагонали куба;
в химии: формы кристаллических решёток — куб у соли, октаэдр у алмаза;
в моделировании: развёртки для склейки фигур из бумаги и картона;
в естествознании: икосаэдральные оболочки вирусов и геодезические купола.

Разложено: 0 из 6

Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.

Разложи тела по корзинам

Кликни карточку, затем корзину: проверь определение по трём условиям.

Выучено: 0 из 5 · В колоде: 5

Карточки: пятёрка Платона

Переверни карточку и сверь числа из таблицы.

Совет

Запоминай пятёрку через двойственность: куб и октаэдр — пара, вершины одного соответствуют граням другого; додекаэдр и икосаэдр — тоже пара; тетраэдр двойственен сам себе. Числа таблицы восстанавливаются формулой Эйлера, так что зубрить все девять чисел не нужно: помни число граней, а вершины и рёбра считай. Перед контрольной склей из бумаги тетраэдр и куб — развёртка на ладони объясняет тему лучше десяти перечитанных абзацев.

Следующая остановка — тела вращения: цилиндр, конус, шар. Правильные многогранники там вернутся в задачах на вписанные и описанные тела: сфера, описанная около куба, и куб, вписанный в сферу, — упражнение на ту же связь радиуса с диагональю, которую мы только что вывели.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Сколько рёбер у октаэдра?

Найди квадрат диагонали куба с ребром 3 см (в квадратных сантиметрах).

Какие тела относятся к телам Платона?

У правильного тетраэдра есть центр симметрии.

Расставь тела по возрастанию числа граней.

Сопоставь тело и число его граней.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Вставь пропуски в формулировку теоремы Эйлера: число вершин минус число ___ плюс число ___ равно ___.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Число вершин минус число плюс число равно .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему правильных многогранников только пять?

В каждой вершине сходится не меньше трёх граней, а сумма их углов должна быть меньше 360°, иначе поверхность не согнётся в выпуклое тело. Из треугольников, квадратов и пятиугольников набирается ровно пять комбинаций. Шестиугольники не проходят: три угла по 120° дают ровно 360°, и вершина распрямляется.

Как связаны куб и октаэдр?

Они двойственны: центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра — куб. Поэтому у куба 8 вершин и 6 граней, а у октаэдра ровно наоборот. Тетраэдр при этом двойственен сам себе.

Как найти диагональ куба через его ребро?

Сначала найди диагональ грани по теореме Пифагора: она равна ребру, умноженному на корень из двух. Затем примени теорему Пифагора к треугольнику из ребра, диагонали грани и диагонали куба: получится ребро, умноженное на корень из трёх. Для ребра 3 см диагональ куба равна $33$ — примерно 5,2 см.

Где в природе встречаются правильные многогранники?

Кристаллы поваренной соли растут кубами, пирит образует кубы и додекаэдры, алмаз — октаэдры. Многие вирусы строят белковые оболочки в форме икосаэдра — так экономится белок. Геодезические купола Фуллера собираются по сетке икосаэдра.