Геометрия · 10 классурок · 2026-09-27~7 мин чтения

Правильная пирамида: апофема и площадь поверхности — геометрия 10 класс

Правильная пирамида: апофема через теорему Пифагора, площадь боковой поверхности как половина периметра на апофему — на примере раскроя шатра.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Турслёт ставит шатёр в форме правильной четырёхугольной пирамиды: основание — квадрат 6 на 6 метров, высота 4 метра. Портнихе нужен точный раскрой на четыре одинаковые грани, и «на глазок» тут нельзя: не хватит полотна — шатёр не натянется. Разрезы идут по высоте каждой грани, а эта высота называется апофемой. Сначала найдём её, потом посчитаем всю поверхность — и заодно увидим, почему в формуле появляется половина.

Правильная пирамида и апофема

Пирамида правильная, если в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр. Тогда всё симметрично: боковые рёбра равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники, и достаточно посчитать одну грань. Ключевая линия — апофема: высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к середине стороны основания. Апофема, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник: у шатра половина стороны 3 м, высота 4 м, и по Пифагору апофема 5 м — та самая тройка 3-4-5. Через этот треугольник решается почти вся тема.

l^{2} = h^{2} + r^{2}

Апофема l, высота пирамиды h и радиус вписанной окружности основания r (теорема Пифагора)

Линия пирамиды	Куда идёт	Роль
Высота	из вершины перпендикулярно к центру основания	входит в формулу объёма
Апофема	к середине стороны основания	высота боковой грани, катет в треугольнике с высотой
Боковое ребро	к вершине угла основания	самая длинная из трёх линий

Площадь поверхности пирамиды

Боковые грани правильной пирамиды — n равных треугольников со стороной основания a и высотой l. Сложи их площади: n · a·l/2, а n·a — это как раз периметр P. Так и появляется половина в формуле боковой поверхности. У шатра P = 24 м, апофема 5 м, значит на четыре грани уйдёт 24 · 5 / 2 = 60 м² ткани. Полная поверхность отличается одним основанием, а не двумя, как у призмы: 60 + 36 = 96 м², если накрыть и пол.

S_{b o k} = \frac{1}{2} P \cdot l

Боковая поверхность правильной пирамиды (P — периметр основания, l — апофема)

Раскрой шатра по шагам

Квадрат 6 × 6: периметр основания и половина стороны:
$P = 4 \cdot 6 = 24, r = 3$
Апофема из прямоугольного треугольника с высотой 4 м:
$l = 3^{2} + 4^{2} = 5$
Четыре равные грани:
$S_{b o k} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$

a² + b² = c² → 120² + 90² = 14400 + 8100 = 22500 c = √(a² + b²) ≈ 150

Апофема как гипотенуза

Катеты — высота пирамиды и половина стороны основания. Выставь 120 и 90 — выйдет 150.

Двугранный угол при основании пирамиды

У правильной пирамиды, кроме апофемы, живёт ещё один важный угол — двугранный угол при основании, угол между боковой гранью и плоскостью основания. Его линейный угол собирается из двух перпендикуляров к ребру-стороне основания. Внутри боковой грани такой перпендикуляр — сама апофема. Внутри основания — отрезок от центра к середине стороны, то есть радиус вписанной окружности r. Оба выходят в одну точку середины стороны и оба перпендикулярны ей, поэтому угол между апофемой и r — линейный угол при основании.

Считается он через тот же прямоугольный треугольник: косинус равен r, делённому на апофему. У шатра из начала урока r = 3, апофема 5, косинус 0,6 — угол выходит около 53°. Чем пирамида ниже и шире, тем меньше этот угол, а у высокой и острой он приближается к 90°. Для масштаба: грани пирамиды Хеопса наклонены к основанию примерно на 52° — почти как у нашего шатра, хотя стороны у неё в тысячи раз больше.

С соседней боковой гранью апофема тоже строит угол — двугранный угол при боковом ребре. Линейный угол для него проводят плоскостью, перпендикулярной этому ребру, и в правильной четырёхугольной пирамиде он всегда больше угла при основании. В задачах различай, о каком двугранном угле спрашивают: «при основании» — работай с апофемой и радиусом вписанной окружности, «при боковом ребре» — строй перпендикуляр к ребру в обеих гранях.

Пирамиды вокруг: крыши, палатки и пакет сока

Шатровая крыша — правильная пирамида, накрытая поверх коробки дома: четыре ската, и длина ската от конька до карниза — та самая апофема. Кровельщик считает площадь кровли ровно по формуле боковой поверхности: половина периметра дома на длину ската. Палатка-«автомат» и зонт-трость — тоже пирамиды: ткань натянута на каркас из рёбер. А классический пакет сока 0,2 литра — тетраэдр: он разворачивается из одного листа картона с минимумом швов, поэтому собирается без станка.

Числовой пример: дом с квадратным основанием 10 на 10 метров и скатом длиной 3 метра. Периметр стен 40 метров, значит кровля 40 · 3 / 2 = 60 м² металлочерепицы — конёк сходится в одну точку. У двускатной крыши на том же доме конёк вытянется в линию, и оба ската по 10 на 3 метра дадут те же 60 м² — но у шатра обрезков по углам выходит меньше. Аналогично считают и расход краски на шпиль башни: периметр основания на длину наклонного ребра, пополам.

шатровая крыша — четыре равных ската, апофема равна длине ската
палатка-автомат и зонт — тканевые грани на каркасе из рёбер
пакет сока 0,2 литра — тетраэдр из одного листа картона
шпиль башни и обелиск — вытянутые пирамиды
кристаллы квасцов растут октаэдрами — двумя склеенными пирамидами

Сечение пирамиды: что отсекает плоскость

Проведи плоскость параллельно основанию — пирамида развалится на две части: сверху маленькая пирамида, снизу усечённая пирамида. Сечение — многоугольник, подобный основанию: со стороной основания 10 см на середине высоты сечение выйдет со стороной 5 см, на трети высоты — со стороной 10/3 см. Отношение сторон равно отношению расстояний от вершины: во сколько раз ближе к вершине, во столько раз меньше сечение. Вся эта механика — теорема Фалеса, переписанная в пространство.

Усечённая пирамида живёт и отдельно: так выглядят абажур на квадратном каркасе и верхушки башен-«полушатров». Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции, и высота такой трапеции зовётся апофемой усечённой пирамиды. Боковую поверхность считают трапецию за трапецией: половина суммы двух периметров, нижнего и верхнего, на апофему. Заметь: нижнее основание больше верхнего, и при сворачивании пирамиды обратно усечённая часть снова достраивается до полной. Верхнее и нижнее основания у неё всегда подобны: квадрат на квадрате, шестиугольник на шестиугольнике.

Разбор типовой задачи

Поверхность пирамиды с тройкой 5-12-13

Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 10 см, высота 12 см. Половина стороны основания:
$r = 10/2 = 5$
Апофема — гипотенуза треугольника с катетами 12 и 5, это тройка 5-12-13:
$l = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$
Периметр квадратного основания:
$P = 4 \cdot 10 = 40$
Боковая поверхность — половина периметра на апофему:
$S_{b o k} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 13 = 260$
Основание — квадрат:
$S_{os n} = 10 \cdot 10 = 100$
Полная поверхность:
$260 + 100 = 360$

Словарь урока

Правильная пирамида#: правильный многоугольник в основании, вершина проецируется в его центр
Апофема#: высота боковой грани: от вершины пирамиды к середине стороны основания
Боковое ребро#: отрезок от вершины пирамиды к углу основания
Высота пирамиды#: перпендикуляр из вершины к плоскости основания
Двугранный угол при основании#: угол между боковой гранью и основанием; линейный угол между апофемой и радиусом вписанной окружности
Радиус вписанной окружности основания#: расстояние от центра основания до его стороны; катет в треугольнике с высотой и апофемой

Как это спрашивают на контрольной

найди апофему по высоте и стороне основания — Пифагор в треугольнике с катетами h и половиной стороны
найди боковую поверхность по периметру и апофеме — половина их произведения
найди полную поверхность — добавь одно основание, не два
даны сторона основания и высота — сначала апофема, потом поверхность
обратная задача: известны боковая поверхность и апофема — выними периметр, затем сторону

Развилка всегда одна: если апофема в задаче есть — режь поверхность на равные треугольники; если её нет — сначала достань апофему Пифагором из высоты и половины стороны. Проверка на тройки 3-4-5 и 5-12-13 экономит минуту: составители почти всегда подбирают числа под них. В задачах ЕГЭ пирамида приходит в комплекте с двугранным углом при основании: из того же треугольника вынимается косинус, а через него — расстояния и площади проекций. И помни отличие от призмы: у пирамиды одно основание, у призмы два — именно здесь чаще всего теряются баллы.

Разложено: 0 из 5

Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.

Правильная или нет?

Разложи описания пирамид по корзинам

Выучено: 0 из 5 · В колоде: 5

Карточки: правильная пирамида

Переверни карточку и проверь себя

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Высота правильной пирамиды 8 см, радиус вписанной окружности основания 6 см. Найди апофему в см.

Апофема правильной пирамиды — это...

Боковые рёбра правильной пирамиды равны.

Периметр основания правильной пирамиды 30 см, апофема 4 см. Найди площадь боковой поверхности в см².

Что верно для правильной пирамиды?

Расставь отрезки правильной пирамиды по возрастанию длины: от самого короткого к самому длинному.

Соедини линию пирамиды и её описание.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Вставь пропуски.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Боковая поверхность правильной пирамиды — половина основания, умноженная на . В полной поверхности пирамиды основание считается раз.

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Что такое апофема пирамиды?

Высота боковой грани правильной пирамиды: отрезок от вершины пирамиды до середины стороны основания. Не путай её с боковым ребром — ребро идёт к углу и всегда длиннее.

Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Умножь периметр основания на апофему и раздели пополам. Это сумма площадей n равных треугольных граней, у каждой площадь — половина произведения стороны основания и апофемы.

Чем апофема отличается от бокового ребра?

Апофема идёт к середине стороны и служит высотой грани, боковое ребро — к вершине угла основания. В правильной пирамиде ребро всегда длиннее апофемы.

Почему в формуле боковой поверхности появляется половина?

Каждая грань — треугольник с площадью a·l/2. Сложив n таких площадей, получаем n·a·l/2, где n·a — периметр основания.