Правильная пирамида: апофема и площадь поверхности — геометрия 10 класс — тренажёр
Тренировка по теме «Правильная пирамида: апофема и площадь поверхности — геометрия 10 класс»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 4 см, апофема 7 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
19 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 7 см, апофема 6 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Периметр квадрата умножь на апофему и раздели пополам.
Как решать. P = 4·7, боковая поверхность — 4·7·6/2 = 2·7·6.
Ответ: 84
Пример 2. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 2 см, апофема 8 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Шесть одинаковых треугольных граней.
Как решать. P = 6·2, шесть граней по 2·8/2: 6·2·8/2 = 3·2·8.
Ответ: 48
Пример 3. Высота правильной пирамиды 8 см, радиус вписанной окружности основания 6 см. Найди квадрат апофемы.
Подсказка. Пифагор: апофема — гипотенуза.
Как решать. l² = h² + r² = 8² + 6² = 8·8+6·6.
Ответ: 100
Пример 4. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды 49 см², сторона основания 3 см. Найди площадь полной поверхности в см².
Подсказка. У пирамиды одно основание.
Как решать. Полная поверхность — боковая плюс основание: 49 + 3·3.
Ответ: 58
Пример 5. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 4 см, апофема 9 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Периметр квадрата умножь на апофему и раздели пополам.
Как решать. P = 4·4, боковая поверхность — 4·4·9/2 = 2·4·9.
Ответ: 72
Пример 6. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 5 см, апофема 9 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Шесть одинаковых треугольных граней.
Как решать. P = 6·5, шесть граней по 5·9/2: 6·5·9/2 = 3·5·9.
Ответ: 135
Пример 7. Высота правильной пирамиды 5 см, радиус вписанной окружности основания 4 см. Найди квадрат апофемы.
Подсказка. Пифагор: апофема — гипотенуза.
Как решать. l² = h² + r² = 5² + 4² = 5·5+4·4.
Ответ: 41
Пример 8. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды 40 см², сторона основания 3 см. Найди площадь полной поверхности в см².
Подсказка. У пирамиды одно основание.
Как решать. Полная поверхность — боковая плюс основание: 40 + 3·3.
Ответ: 49
Пример 9. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6 см, апофема 8 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Периметр квадрата умножь на апофему и раздели пополам.
Как решать. P = 4·6, боковая поверхность — 4·6·8/2 = 2·6·8.
Ответ: 96
Пример 10. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 4 см, апофема 5 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Шесть одинаковых треугольных граней.
Как решать. P = 6·4, шесть граней по 4·5/2: 6·4·5/2 = 3·4·5.
Ответ: 60
Пример 11. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды 38 см², сторона основания 6 см. Найди площадь полной поверхности в см².
Подсказка. У пирамиды одно основание.
Как решать. Полная поверхность — боковая плюс основание: 38 + 6·6.
Ответ: 74
Пример 12. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 8 см, апофема 5 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Периметр квадрата умножь на апофему и раздели пополам.
Как решать. P = 4·8, боковая поверхность — 4·8·5/2 = 2·8·5.
Ответ: 80
Пример 13. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 6 см, апофема 9 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Шесть одинаковых треугольных граней.
Как решать. P = 6·6, шесть граней по 6·9/2: 6·6·9/2 = 3·6·9.
Ответ: 162
Пример 14. Высота правильной пирамиды 10 см, радиус вписанной окружности основания 9 см. Найди квадрат апофемы.
Подсказка. Пифагор: апофема — гипотенуза.
Как решать. l² = h² + r² = 10² + 9² = 10·10+9·9.
Ответ: 181
Пример 15. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды 26 см², сторона основания 6 см. Найди площадь полной поверхности в см².
Подсказка. У пирамиды одно основание.
Как решать. Полная поверхность — боковая плюс основание: 26 + 6·6.
Ответ: 62
Пример 16. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 7 см, апофема 5 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Периметр квадрата умножь на апофему и раздели пополам.
Как решать. P = 4·7, боковая поверхность — 4·7·5/2 = 2·7·5.
Ответ: 70
Пример 17. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 6 см, апофема 8 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Подсказка. Шесть одинаковых треугольных граней.
Как решать. P = 6·6, шесть граней по 6·8/2: 6·6·8/2 = 3·6·8.
Ответ: 144
Пример 18. Высота правильной пирамиды 4 см, радиус вписанной окружности основания 8 см. Найди квадрат апофемы.
Подсказка. Пифагор: апофема — гипотенуза.
Как решать. l² = h² + r² = 4² + 8² = 4·4+8·8.
Ответ: 80
Пример 19. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды 40 см², сторона основания 6 см. Найди площадь полной поверхности в см².
Подсказка. У пирамиды одно основание.
Как решать. Полная поверхность — боковая плюс основание: 40 + 6·6.
Ответ: 76
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Правильная пирамида: апофема и площадь поверхности — геометрия 10 класс» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Высота правильной пирамиды 8 см, радиус вписанной окружности основания 6 см. Найди апофему в см.
Ответ: 10
Пояснение. l² = 8² + 6² = 100, значит апофема 10 см — тройка 6-8-10.
Вопрос 2. Апофема правильной пирамиды — это...
Ответ: высота боковой грани
Пояснение. Апофема — высота боковой грани, проведённая к середине стороны основания.
Вопрос 3. Боковые рёбра правильной пирамиды равны.
Ответ: Верно
Пояснение. Вершина стоит над центром правильного основания, поэтому все боковые рёбра равны.
Вопрос 4. Периметр основания правильной пирамиды 30 см, апофема 4 см. Найди площадь боковой поверхности в см².
Ответ: 60
Пояснение. Половина периметра на апофему: 30 · 4 / 2 = 60 см².
Вопрос 5. Что верно для правильной пирамиды?
Ответ: основание — правильный многоугольник; вершина проецируется в центр основания; боковые грани — равные равнобедренные треугольники
Пояснение. Грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники; квадраты у них исключение, а не правило.
Вопрос 6. Расставь отрезки правильной пирамиды по возрастанию длины: от самого короткого к самому длинному.
Ответ: половина стороны основания → апофема → боковое ребро
Пояснение. Апофема — гипотенуза треугольника с катетами «высота» и «половина стороны», а боковое ребро ещё длиннее апофемы.
Вопрос 7. Соедини линию пирамиды и её описание.
Пояснение. Три разные линии, и путать их — самая частая ошибка темы.
Вопрос 8. Вставь пропуски.
Ответ: периметра → апофему → один
Пояснение. Боковая поверхность — половина периметра на апофему, а полное основание у пирамиды одно — снизу.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.