Правильные многогранники — геометрия 10 класс: пять платоновых тел

В настольных играх кости бывают четырёхгранные (d4), классические шестигранные (d6), восьми-, двенадцати- и двадцатигранные — и это весь список: других правильных костей не существует. Дело не в экономии фабрик: ровно пять выпуклых правильных многогранников может существовать в принципе. Кристаллы поваренной соли растут кубами, пирит встречается почти додекаэдрами, а формула Эйлера объясняет, почему шестого тела не придумать.

Пять платоновых тел

Правильный многогранник — выпуклый, все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится поровну рёбер. Почему их всего пять, видно из одной строки: в вершине сходится минимум три грани, и сумма их углов обязана быть меньше 360°. Треугольники с углами по 60° сходятся по три, четыре и пять; квадраты по 90° — только по три; пятиугольники по 108° — тоже только по три. Три шестиугольника по 120° дают уже ровно 360° — такие грани сложатся в плоскость, а не в тело. Пять комбинаций — пять тел, их называют платоновыми.

Теорема Эйлера

Леонард Эйлер подметил свойство любого выпуклого многогранника: число вершин минус число рёбер плюс число граней всегда равно двум. Проверь на кубе: 8 − 12 + 6 = 2; на октаэдре: 6 − 12 + 8 = 2; на икосаэдре: 12 − 30 + 20 = 2. Формула работает как калькулятор с двумя слотами: знаешь любые два числа — третье выйдет само. У додекаэдра 20 вершин и 12 граней, значит рёбер 20 + 12 − 2 = 30 — сходится с таблицей выше.

Двойственность: у каждого тела есть близнец

Платоновы тела разбиваются на пары-двойники. Возьми куб, отметь центры его шести граней и соедини соседние центры — получишь октаэдр: восемь вершин куба превращаются в восемь граней октаэдра, а шесть граней куба — в шесть вершин. Куб и октаэдр называют двойственными телами: у одного столько же рёбер, сколько у другого, а вершины меняются местами с гранями. Тетраэдр двойственен сам себе: у него и вершин, и граней по четыре. Пятая пара — додекаэдр и икосаэдр: 12 пятиугольных граней одного и 12 вершин другого глядятся друг в друга, как в зеркало.

Двойственность видна и в кристаллах: поваренная соль NaCl растёт и кубами, и октаэдрами — один и тот же кристалл в разных условиях. Считать рёбра двойственного тела удобно из таблицы: у куба 8 вершин и 6 граней, значит у октаэдра 6 вершин и 8 граней, а рёбра общие — по 12.

Проверь двойственность на числах по таблице: у пары «куб — октаэдр» вершины и грани меняются местами 8 и 6 против 6 и 8; у пары «додекаэдр — икосаэдр» — 20 и 12 против 12 и 20; тетраэдр стоит особняком — у него и вершин, и граней по четыре. Рёбра у двойников всегда совпадают: 6, 12 и 30. Поэтому если в задаче известны вершины одного двойника, число граней второго выписывается без единого чертежа. Обратное тоже верно: соединив центры граней октаэдра, снова получишь куб.

Платон, вирусы и футбол: где тела встречаются

Греческий философ Платон в диалоге «Тимей» связал четыре тела со стихиями: тетраэдр — огонь, куб — земля, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, а додекаэдр достался всему мирозданию. Наука давно сменила стихии на атомы, но тела никуда не делись: икосаэдральная форма оказалась невероятно выгодной для вирусов — из одинаковых белковых «деталей» собирается самая ёмкая оболочка.

Икосаэдр — самое «круглое» из платоновых тел: 20 граней дают оболочку, ближайшую к сфере. Вирусу выгодно собрать её из повторяющихся белковых блоков: меньше разных деталей — меньше генетического кода на инструкцию, а объём при этом максимальный. Геодезический купол Фуллера работает по той же логике: треугольная сетка, натянутая на икосаэдр, держит вес при малом расходе материала — поэтому такие купола стоят над стадионами и радиотелескопами.

Как проверить тело на правильность

Проверка на правильность — чек-лист из четырёх пунктов: тело выпуклое; все грани — правильные многоугольники; все грани равны; в каждой вершине сходится поровну рёбер. Провалился хотя бы один пункт — платонового тела нет. Шестиугольная призма с ровными боками выглядит идеально, но грани у неё двух сортов: прямоугольники и шестиугольники. Пирамида Хеопса гложет глаз точностью, но её грани — равнобедренные треугольники, а не равносторонние.

Тонкий случай — бипирамида: две пирамиды, склеенные основаниями. Квадратная бипирамида из равносторонних треугольников — это октаэдр, платоново тело. Но стоит вытянуть её по высоте: грани останутся равными равнобедренными треугольниками, а правильность пропадёт — треугольники перестанут быть равносторонними, и в вершинах начнёт сходиться разное число рёбер. Именно поэтому «равные грани» и «правильные грани» — не синонимы, и проверять надо оба слова по отдельности.

Обратная задача тоже встречается: по числам В, Р и Г узнать, что за тело. Алгоритм короткий: посчитай стороны одной грани — удвоенное число рёбер делится на число граней, а число рёбер в вершине — то же удвоенное число рёбер, делённое на вершины. Вышло по 5 сторон и по 3 ребра в вершине — перед тобой додекаэдр, и числа обязаны сойтись с таблицей из начала урока.

• игральные кости d4, d8, d12 и d20 — тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр
• кристаллы пирита растут кубами и почти правильными додекаэдрами
• алмаз встречается октаэдрическими кристаллами, поваренная соль — кубами
• скелет многих вирусов — икосаэдр из белковых блоков
• футбольный мяч — усечённый икосаэдр: родственник платоновых тел
• геодезический купол Фуллера — сетка из треугольников, натянутая на икосаэдр

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Правильный многогранник#

выпуклый, все грани — равные правильные многоугольники, в каждой вершине поровну рёбер

Платоновы тела#

те же пять правильных многогранников; название идёт от Платона и его «Тимея»

Тетраэдр#

4 треугольные грани, 4 вершины, 6 рёбер; двойственен сам себе

Двойственные тела#

пара многогранников, у которой вершины одного отвечают граням другого

Теорема Эйлера#

вершины минус рёбра плюс грани равно 2 для любого выпуклого многогранника

Выпуклость#

весь многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани

Как это спрашивают на контрольной

• назови все пять платоновых тел и их грани — таблица выше закрывает вопрос целиком
• объясни, почему шестиугольников в вершине быть не может — 3 · 120° = 360°
• найди третье число по теореме Эйлера, если известны два
• посчитай рёбра через стороны граней: каждое ребро принадлежит двум граням
• объясни, почему правильная пирамида — не платоново тело

Ключ к половине задач — умножение и деление пополам: стороны граней дают удвоенное число рёбер, рёбра из вершин — тоже удвоенное число. Поэтому считать можно от любого удобного элемента, а проверять — теоремой Эйлера. Если все три числа посчитаны честно и двойка не сошлась — где-то потеряна грань или вершина на невидимой стороне.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема