Правильные многогранники — геометрия 10 класс: пять платоновых тел — тренажёр

Пример 1. У выпуклого многогранника 9 вершин и 10 граней. Сколько у него рёбер?

Подсказка. В − Р + Г = 2, вырази Р.

Как решать. Из теоремы Эйлера Р = В + Г − 2: 9 + 10 − 2.

Ответ: 17

Пример 2. У многогранника 4 вершин и 26 рёбер. Сколько у него граней?

Подсказка. Вырази Г из теоремы Эйлера.

Как решать. Г = 2 − В + Р: 2 − 4 + 26.

Ответ: 24

Пример 3. У многогранника 13 граней, каждая грань — 5-угольник. Сколько всего сторон у всех граней вместе?

Подсказка. Просто умножь и вспомни про рёбра.

Как решать. Каждая грань несёт 5 сторон: 5·13. Рёбер вдвое меньше — каждое ребро принадлежит двум граням.

Ответ: 65

Пример 4. Икосаэдр состоит из 20 треугольных граней, значит у него 30 рёбер.

Подсказка. Каждое ребро принадлежит двум граням.

Как решать. 20 граней по 3 стороны дают 60, а каждое ребро принадлежит двум граням: 60/2 = 30.

Ответ: Верно

Пример 5. У выпуклого многогранника 6 вершин и 19 граней. Сколько у него рёбер?

Подсказка. В − Р + Г = 2, вырази Р.

Как решать. Из теоремы Эйлера Р = В + Г − 2: 6 + 19 − 2.

Ответ: 23

Пример 6. У многогранника 10 вершин и 30 рёбер. Сколько у него граней?

Подсказка. Вырази Г из теоремы Эйлера.

Как решать. Г = 2 − В + Р: 2 − 10 + 30.

Ответ: 22

Пример 7. У многогранника 8 граней, каждая грань — 3-угольник. Сколько всего сторон у всех граней вместе?

Подсказка. Просто умножь и вспомни про рёбра.

Как решать. Каждая грань несёт 3 сторон: 3·8. Рёбер вдвое меньше — каждое ребро принадлежит двум граням.

Ответ: 24

Пример 8. У выпуклого многогранника 8 вершин и 18 граней. Сколько у него рёбер?

Подсказка. В − Р + Г = 2, вырази Р.

Как решать. Из теоремы Эйлера Р = В + Г − 2: 8 + 18 − 2.

Ответ: 24

Пример 9. У многогранника 8 вершин и 19 рёбер. Сколько у него граней?

Подсказка. Вырази Г из теоремы Эйлера.

Как решать. Г = 2 − В + Р: 2 − 8 + 19.

Ответ: 13

Пример 10. У многогранника 12 граней, каждая грань — 5-угольник. Сколько всего сторон у всех граней вместе?

Подсказка. Просто умножь и вспомни про рёбра.

Как решать. Каждая грань несёт 5 сторон: 5·12. Рёбер вдвое меньше — каждое ребро принадлежит двум граням.

Ответ: 60

Пример 11. У выпуклого многогранника 10 вершин и 7 граней. Сколько у него рёбер?

Подсказка. В − Р + Г = 2, вырази Р.

Как решать. Из теоремы Эйлера Р = В + Г − 2: 10 + 7 − 2.

Ответ: 15

Пример 12. У многогранника 11 вершин и 29 рёбер. Сколько у него граней?

Подсказка. Вырази Г из теоремы Эйлера.

Как решать. Г = 2 − В + Р: 2 − 11 + 29.

Ответ: 20

Пример 13. У многогранника 20 граней, каждая грань — 6-угольник. Сколько всего сторон у всех граней вместе?

Подсказка. Просто умножь и вспомни про рёбра.

Как решать. Каждая грань несёт 6 сторон: 6·20. Рёбер вдвое меньше — каждое ребро принадлежит двум граням.

Ответ: 120

Пример 14. У выпуклого многогранника 9 вершин и 8 граней. Сколько у него рёбер?

Подсказка. В − Р + Г = 2, вырази Р.

Как решать. Из теоремы Эйлера Р = В + Г − 2: 9 + 8 − 2.

Ответ: 15

Пример 15. У многогранника 12 вершин и 26 рёбер. Сколько у него граней?

Подсказка. Вырази Г из теоремы Эйлера.

Как решать. Г = 2 − В + Р: 2 − 12 + 26.

Ответ: 16

Пример 16. У многогранника 18 граней, каждая грань — 3-угольник. Сколько всего сторон у всех граней вместе?

Подсказка. Просто умножь и вспомни про рёбра.

Как решать. Каждая грань несёт 3 сторон: 3·18. Рёбер вдвое меньше — каждое ребро принадлежит двум граням.

Ответ: 54

Вопрос 1. Сколько правильных (платоновых) тел существует?

Ответ: 5

Пояснение. Только пять комбинаций граней дают сумму углов при вершине меньше 360°.

Вопрос 2. Грани додекаэдра — это...

Ответ: правильные пятиугольники

Пояснение. Додекаэдр собран из двенадцати правильных пятиугольников.

Вопрос 3. У куба и октаэдра одинаковое число рёбер.

Ответ: Верно

Пояснение. По 12 рёбер; они ещё и двойственны друг другу: вершины одного соответствуют граням другого.

Вопрос 4. У многогранника 20 вершин и 12 граней. Найди число рёбер.

Ответ: 30

Пояснение. Р = В + Г − 2 = 20 + 12 − 2 = 30. Это икосаэдр.

Вопрос 5. Какие из этих тел — платоновы?

Ответ: октаэдр; тетраэдр

Пояснение. Из списка платоновы тела — октаэдр и тетраэдр; призма и конус не состоят из равных правильных многоугольников.

Вопрос 6. Расставь платоновы тела по возрастанию числа граней.

Ответ: тетраэдр → куб → додекаэдр

Пояснение. Граней: у тетраэдра 4, у куба 6, у додекаэдра 12.

Вопрос 7. Соедини тело и его грани.

Пояснение. Названия тел прямо подсказывают число граней: тетра-4, гекса-6, окта-8, додека-12, икоса-20.

Вопрос 8. Вставь пропуски.

Ответ: рёбра → два → додекаэдр

Пояснение. В − Р + Г = 2 для любого выпуклого многогранника, а кристаллы пирита часто напоминают додекаэдр.