Задачи на геометрические преобразования

Фонарик на столе светит на стену, но луч нужно пустить хитро: отразить от зеркальной полоски так, чтобы пятно попало в мишень. Ломаный путь «лампа — зеркало — мишень» хочется укоротить, но перебирать все точки полоски подряд невозможно. Выручает геометрическое преобразование: одно отражение разворачивает ломаную в отрезок, и ответ становится виден без перебора. Тем же приёмом решают задачи про реки, мосты и маршруты с обязательным заходом — это и есть задачи на преобразования.

Метод симметрии: развернуть ломаную в отрезок

Задача о реке. Дом стоит в точке A(1; 5), магазин — в B(9; 3), по дороге нужно набрать воды: река — ось x. Маршрут A → P → B короче всех, если точка P на берегу выбрана удачно. Отразим B от реки — образ B₁(9; −3) получается заменой знака ординаты. Главное наблюдение: при любой точке P на оси выполняется PB = PB₁, потому что ось перпендикулярна отрезку BB₁ и проходит через его середину. Значит, длина маршрута равна AP + PB₁ — и минимум достигается, когда A, P и B₁ лежат на одной прямой.

Почему это минимум: для любой другой точки Q на берегу ломаная AQ + QB₁ длиннее отрезка AB₁ по неравенству треугольника. Луч света решает ту же задачу мгновенно: угол падения равен углу отражения, и отражённый луч летит так, будто идёт в зеркального двойника мишени, — природа экономит путь. В задачах без координат точку отражают циркулем и линейкой, а прямая через исходную точку и образ сама указывает место захода на берег.

Центральная симметрия тоже работает инструментом, а не только определением. Приём «удвоение медианы»: вершину треугольника отражают относительно середины стороны — центральная симметрия превращает медиану в сторону параллелограмма, и равные отрезки переезжают на новое место, где их видно и можно сравнивать. Тот же приём достраивает произвольную фигуру до параллелограмма: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому середина стороны автоматически становится центром симметрии.

Параллельный перенос и поворот в задачах на построение

Параллельный перенос — сдвиг всей фигуры на один вектор. В задачах на построение им перекидывают окружности и точки на удобное место: если нужно провести отрезок заданной длины и направления между двумя окружностями, одну окружность переносят на этот вектор — условие упрощается, потому что направление уже зашито в сдвиг. Житейский пример: через реку с параллельными берегами провести мост строго перпендикулярно — одну точку переносят на ширину реки вдоль берега, и задача про мост превращается в задачу про прямую.

Поворот собирает разбросанные отрезки в треугольник. Если в задаче есть равные отрезки, выходящие из одной точки — стороны квадрата, лучи равностороннего треугольника, спицы колеса, — фигуру поворачивают на 60° или 90° вокруг общей вершины. Два разрозненных отрезка после поворота оказываются сторонами одного треугольника, который уже можно сравнивать с данным и считать. Именно так решаются задачи, где без поворота данных хронически не хватает.

Композиция — два преобразования, применённые одно за другим. Две осевые симметрии с параллельными осями дают параллельный перенос на удвоенное расстояние между осями: отражение от первой оси уводит фигуру за неё, второе отражение докидывает ровно ещё на столько же. Перископ подводной лодки — ровно эта композиция: два параллельных зеркала уносят картинку наверх без зеркального переворота. Две осевые симметрии с пересекающимися осями дают поворот вокруг точки пересечения на удвоенный угол между осями.

Проверим композицию на координатах. Оси — вертикальные прямые x = 2 и x = 5, расстояние между ними 3. Точка A(1; 4): отражение от x = 2 даёт A₁(3; 4), отражение от x = 5 даёт A₂(7; 4). Итоговый сдвиг — на 6 вправо, ровно удвоенное расстояние между осями, а направление — от первой оси ко второй. Всякий раз, когда в задаче видны два зеркала подряд, ищи вместо них один сдвиг: расчёт сокращается вдвое, а риск запутаться в знаках исчезает.

Что сохраняется: разрежь и сложи

Симметрия, перенос и поворот — движения: расстояния между точками сохраняются, поэтому стороны, углы и площадь фигуры не меняются. Фигуры, совмещаемые движением, равны; фигуры с одинаковой площадью называют равновеликими. На ОГЭ это проверяется задачами «разрезал и сложил»: прямоугольник со сторонами 8 и 3 разрезают на два треугольника и складывают из них параллелограмм — площадь остаётся 24, потому что части просто переехали на новые места без искажений.

Разрезание с перекладыванием — единственный случай, когда фигура меняет вид, но не площадь: каждая часть двигается как есть, ничего не растягивается и не сжимается. Поэтому квадрат можно перекроить в ромб той же площади, а треугольник — в прямоугольник с тем же основанием и высотой: у треугольника и прямоугольника с общим основанием и высотой площади совпадают. Если в ответе площадь «после» получилась другой — где-то ошибка в вычислениях, потому что площади равновеликих фигур обязаны совпасть.

Словарь урока

Метод симметрии#

приём: отразить точку, чтобы превратить ломаный путь в отрезок

Образ точки#

точка, в которую преобразование переводит исходную

Параллельный перенос#

сдвиг всех точек фигуры на один и тот же вектор

Композиция#

два преобразования, применённые одно за другим

Равновеликие фигуры#

фигуры с равной площадью

Углы падения и отражения#

равные углы луча с перпендикуляром к зеркалу в точке отражения

Метод работает и в обратную сторону: прежде чем считать, посмотри, не совмещается ли одна фигура с другой движением — тогда половина расчётов отменяется. В ОГЭ это задачи на кратчайшие маршруты, разрезания и площади после преобразований; дальше в старших классах симметрия станет частью векторного метода и доказательств. Прогони задачи тренажёра: там каждое преобразование нужно не нарисовать, а применить для получения ответа.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема