Скалярное произведение векторов в пространстве — 11 класс
Скалярное произведение в пространстве: угол между векторами, координатная формула с тремя слагаемыми, ноль для перпендикулярных и физический смысл — работа силы.
Двое переносят шкаф: ты толкаешь его вдоль коридора с силой 300 Н, а напарник упирается сбоку, под углом 30° к направлению движения, и давит с теми же 300 Н. Старание одинаковое, а польза разная: у напарника в дело идёт лишь часть усилия, остальное прижимает шкаф к стене. Физика считает это одной строкой: 300 · 4 · cos 30° ≈ 1040 Дж полезной работы против 1200 Дж у тебя. Разница прячется в косинусе, и у этой строки есть точное геометрическое имя — скалярное произведение векторов. На плоскости вы встречали его ещё в девятом классе; теперь векторы живут в пространстве, у них три координаты, а применять формулу придётся к диагоналям куба, рёбрам пирамиды и силам в экзаменационных задачах.
Угол между векторами в пространстве
Сначала договоримся, что такое угол. Любые два вектора можно отложить от одной точки, и угол между ними берут от 0° до 180°: сонаправленные векторы дают 0°, противоположно направленные — 180°. В пространстве всё то же самое, только точку приложения выбирают по удобству: угол не зависит от того, где именно «висят» векторы, важны лишь длины и направления. В кубе с ребром 4 рёбра AB и AD перпендикулярны — угол 90°, а вот ребро AB и диагональ куба AC₁ расходятся примерно на 55°: диагональ смотрит чуть вверх и вглубь. Транспортир к чертежу приложить негде, поэтому угол в пространстве почти всегда вычисляют, а не измеряют.
Знак результата читается сразу по углу. Произведение положительно, пока угол острый, равно нулю ровно при 90° и отрицательно при тупом угле. Отсюда приятное свойство: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины, ведь угол нулевой, а косинус 0° равен единице. Если же один из векторов нулевой, произведение всегда ноль — с оговоркой, что угол с нулевым вектором вообще не определён. Эти три факта — про знак, про квадрат длины и про нулевой вектор — закрывают половину каверзных вопросов контрольных.
- Угол между векторами#
- величина от 0° до 180° между векторами, отложенными от одной точки
- Скалярное произведение#
- число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними
- Сонаправленные векторы#
- векторы одного направления; угол между ними равен 0°
- Нулевой вектор#
- вектор нулевой длины; его произведение с любым вектором равно нулю
Если нужно само значение угла, косинус достают делением: произведение делят на произведение длин. В кубе с ребром 4 для ребра AB и диагонали AC₁ произведение равно 16, длины равны 4 и 4√3, значит косинус равен 16/(16√3) = 1/√3 ≈ 0,577 — угол около 55°. Сверься по таблице: косинус 55° действительно около 0,574. Такие вычисления — хлеб задач на углы, и в соседнем уроке про углы между прямыми и плоскостями эта строка станет основной.
| Знак a·b | Угол | Пример в кубе с ребром 4 |
|---|---|---|
| a·b > 0 | острый | диагональ AC₁ и ребро AB: угол около 55° |
| a·b = 0 | прямой | диагонали одной грани: AC и BD |
| a·b < 0 | тупой | диагональ AC и наклонная CA₁: около 145° |
| a·b = |a|·|b| | 0°, сонаправлены | два параллельных ребра в одну сторону |
| a·b = −|a|·|b| | 180°, противоположны | рёбра AB и CD |
Координатная формула
Транспортир и правда не нужен: если известны координаты, угол спрятан внутри арифметики. Для векторов с координатами (a₁; a₂; a₃) и (b₁; b₂; b₃) скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат: первую с первой, вторую со второй, третью с третьей, потом всё сложить. Для векторов (1; 2; −3) и (4; 1; 2) получаем 1·4 + 2·1 + (−3)·2 = 0, а ноль означает перпендикулярность. Ещё пример: векторы (3; −2; 1) и (−1; 5; 2) дают −3 − 10 + 2 = −11 — минус сообщает о тупом угле, и никакого чертежа проверять не нужно.
Три координаты — значит три слагаемых, а не два, как было на плоскости: это самая частая механическая ошибка при переходе в стереометрию. Проверяй себя вопросом: у меня все три компоненты поучаствовали? Второй контроль — размерность задачи: если векторы заданы точками, сначала вычти координаты начала из координат конца, и только потом перемножай.
Перпендикулярность через скалярное произведение
Равенство произведения нулю — самый частый инструмент стереометрии. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Проверка стоит три умножения и два сложения, зато заменяет целое рассуждение о прямых углах. Так проверяют перпендикулярность диагоналей, доказывают, что ребро перпендикулярно грани, и обосновывают теорему о трёх перпендикулярах — соседнюю тему курса. Разберём показательный случай в кубе с ребром 4: перпендикулярны ли диагональ куба AC₁ и диагональ нижней грани BD?
- Ставим куб в координаты: A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), D(0; 4; 0), C₁(4; 4; 4).
- Диагональ грани BD идёт из точки B в точку D.
- Считаем произведение одноимённых координат: первое слагаемое минус шестнадцать, второе плюс шестнадцать, третье ноль.
- Произведение ноль при ненулевых векторах — векторы перпендикулярны, значит, и прямые перпендикулярны.
Заметь, как дёшево досталось доказательство: две строки арифметики против абзаца рассуждений в безкоординатном стиле. Экономия тем ощутимее, чем запутаннее тело: в наклонной пирамиде вслепую искать прямые углы тяжело, а векторы считают всё одинаково охотно. Типовой экзаменационный номер: найти косинус угла между диагональю куба AC₁ и диагональю грани AD₁. Произведение векторов (4; 4; 4) и (0; 4; 4) равно 32, длины равны 4√3 и 4√2, косинус 32/(16√6) = 2/√6 ≈ 0,816 — угол около 35°. Одна строка вместо десяти вспомогательных построений.
Работа силы: физический смысл
Физический смысл произведения прост: скалярное произведение силы на перемещение — это работа. Постоянная сила, сдвинувшая тело на вектор s, совершает работу, равную произведению длины силы, длины перемещения и косинуса угла между ними. Кран поднимает груз вертикально с силой 2000 Н на высоту 12 м: сила и перемещение сонаправлены, косинус нулевого угла равен единице, работа 24 000 Дж. Если бы тот же кран тянул груз горизонтально, вертикальная сила не совершала бы никакой работы — косинус 90° нулевой. Именно поэтому толкать шкаф поперёк движения бесполезно: угол 90° означает нулевой вклад в перемещение.
Число из первого абзаца теперь проверяется формулой: сила 300 Н под углом 30°, перемещение 4 м, работа 300 · 4 · cos 30° ≈ 300 · 4 · 0,866 ≈ 1040 Дж. Разница с наивными 1200 Дж — усилие, потраченное впустую на прижимание шкафа. Знак работы тоже читается из произведения: положительная работа разгоняет тело, отрицательная тормозит. Сила трения, направленная против перемещения, совершает отрицательную работу — косинус 180° равен минус единице, и санки, скатившись с горки, отдают обратно всю накопленную скорость.
Применение к задачам
Где всё это стреляет? В задачах на углы: чтобы найти угол между прямыми или между прямой и плоскостью, считают скалярное произведение направляющих векторов и делят его на произведение длин. В задачах на перпендикулярность: доказывают нужный прямой угол одним равенством с нулём. В физике: любая задача про работу силы под углом — это скалярное произведение. На экзамене векторный путь почти всегда короче чисто геометрического: ввёл координаты, посчитал три произведения, записал ответ.
Дальше по курсу скалярное произведение станет рабочей лошадкой: в теме углов между прямыми и плоскостями, при доказательстве теоремы о трёх перпендикулярах и в координатном решении стереометрических задач. Пройди квиз и тренажёр, а потом загляни в урок про метод координат — там формула из этого урока уже крутит полноценные задачи.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Чему равно скалярное произведение перпендикулярных ненулевых векторов?
2 Вычисли для векторов и . Запиши число.
3 Скалярное произведение — это число, а не вектор.
4 Какие векторы перпендикулярны вектору ?
5 Расставь шаги нахождения угла между векторами по координатам.
6 Сопоставь угол между векторами и значение их скалярного произведения.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Вставь пропуски: скалярное произведение равно произведению длин векторов на ___ угла между ними, а для перпендикулярных ненулевых векторов оно равно ___.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Скалярное произведение равно произведению длин векторов на угла между ними, а для перпендикулярных ненулевых векторов оно равно .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как найти угол между векторами в пространстве?
Считай скалярное произведение по координатам и дели его на произведение длин — получится косинус угла. Затем возьми арккосинус. Для ненулевых векторов угол всегда лежит от 0° до 180°.
Почему для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю?
В определении стоит косинус угла, а косинус 90° равен нулю. Поэтому произведение длин на ноль даёт ноль — независимо от длин векторов.
Что показывает знак скалярного произведения?
Плюс говорит об остром угле, минус — о тупом, ноль — о прямом. Это самый быстрый способ понять взаимное расположение векторов без чертежа.
Где применяется скалярное произведение в физике?
Главный пример — работа постоянной силы: сила умножается на перемещение и на косинус угла между ними. Отсюда же следует, что сила, перпендикулярная перемещению, работы не совершает.