Скалярное произведение векторов в пространстве — 11 класс — тренажёр

Пример 1. Сила тяги направлена вдоль движения, её проекция на направление перемещения равна 55 Н, перемещение 5 м. Найди работу силы в джоулях.

Подсказка. Косинус нулевого угла равен единице.

Как решать. Работа равна произведению проекции силы на перемещение: 55 умножить на 5.

Ответ: 275

Пример 2. Найди скалярное произведение векторов (1; 1; 2) и (1; 7; 3).

Подсказка. Три слагаемых: первые, вторые и третьи координаты.

Как решать. Перемножаем одноимённые координаты и складываем: 1 + 7 + 2 умножить на 3, то есть 1 + 7 + 6.

Ответ: 14

Пример 3. Векторы ненулевые и перпендикулярны. Что можно сказать про их скалярное произведение?

Как решать. Перпендикулярность ненулевых векторов равносильна равенству их произведения нулю.

Ответ: Оно равно нулю

Пример 4. Сила тяги направлена вдоль движения, её проекция на направление перемещения равна 21 Н, перемещение 9 м. Найди работу силы в джоулях.

Подсказка. Косинус нулевого угла равен единице.

Как решать. Работа равна произведению проекции силы на перемещение: 21 умножить на 9.

Ответ: 189

Пример 5. Найди скалярное произведение векторов (7; 1; 2) и (1; 9; 3).

Подсказка. Три слагаемых: первые, вторые и третьи координаты.

Как решать. Перемножаем одноимённые координаты и складываем: 7 + 9 + 2 умножить на 3, то есть 7 + 9 + 6.

Ответ: 22

Пример 6. Векторы ненулевые и перпендикулярны. Что можно сказать про их скалярное произведение?

Как решать. Перпендикулярность ненулевых векторов равносильна равенству их произведения нулю.

Ответ: Оно равно нулю

Пример 7. Сила тяги направлена вдоль движения, её проекция на направление перемещения равна 45 Н, перемещение 8 м. Найди работу силы в джоулях.

Подсказка. Косинус нулевого угла равен единице.

Как решать. Работа равна произведению проекции силы на перемещение: 45 умножить на 8.

Ответ: 360

Пример 8. Найди скалярное произведение векторов (5; 1; 2) и (1; 4; 3).

Подсказка. Три слагаемых: первые, вторые и третьи координаты.

Как решать. Перемножаем одноимённые координаты и складываем: 5 + 4 + 2 умножить на 3, то есть 5 + 4 + 6.

Ответ: 15

Пример 9. Сила тяги направлена вдоль движения, её проекция на направление перемещения равна 67 Н, перемещение 3 м. Найди работу силы в джоулях.

Подсказка. Косинус нулевого угла равен единице.

Как решать. Работа равна произведению проекции силы на перемещение: 67 умножить на 3.

Ответ: 201

Пример 10. Найди скалярное произведение векторов (8; 1; 2) и (1; 9; 3).

Подсказка. Три слагаемых: первые, вторые и третьи координаты.

Как решать. Перемножаем одноимённые координаты и складываем: 8 + 9 + 2 умножить на 3, то есть 8 + 9 + 6.

Ответ: 23

Пример 11. Векторы ненулевые и перпендикулярны. Что можно сказать про их скалярное произведение?

Как решать. Перпендикулярность ненулевых векторов равносильна равенству их произведения нулю.

Ответ: Оно равно нулю

Пример 12. Сила тяги направлена вдоль движения, её проекция на направление перемещения равна 56 Н, перемещение 4 м. Найди работу силы в джоулях.

Подсказка. Косинус нулевого угла равен единице.

Как решать. Работа равна произведению проекции силы на перемещение: 56 умножить на 4.

Ответ: 224

Пример 13. Найди скалярное произведение векторов (9; 1; 2) и (1; 8; 3).

Подсказка. Три слагаемых: первые, вторые и третьи координаты.

Как решать. Перемножаем одноимённые координаты и складываем: 9 + 8 + 2 умножить на 3, то есть 9 + 8 + 6.

Ответ: 23

Вопрос 1. Чему равно скалярное произведение перпендикулярных ненулевых векторов?

Ответ: нулю

Пояснение. Косинус прямого угла равен нулю, поэтому произведение длин на ноль даёт ноль.

Вопрос 2. Вычисли $\vec{a}\cdot \vec{b}$ для векторов $\vec{a}(1;2;-3)$ и $\vec{b}(4;1;2)$. Запиши число.

Ответ: 0

Пояснение. Складываем произведения одноимённых координат: 4 + 2 − 6 = 0, векторы перпендикулярны.

Вопрос 3. Скалярное произведение — это число, а не вектор.

Ответ: Верно

Пояснение. Верно: длины и косинус — числа, и их произведение тоже число.

Вопрос 4. Какие векторы перпендикулярны вектору $\vec{a}(1;2;-3)$?

Ответ: (4; 1; 2); (2; -1; 0); (1; 1; 1)

Пояснение. Проверяем сумму произведений координат: 4+2−6 = 0, 2−2+0 = 0, 1+2−3 = 0, а с вектором (0; 0; 5) выходит −15.

Вопрос 5. Расставь шаги нахождения угла между векторами по координатам.

Ответ: Найди скалярное произведение по координатам → Посчитай длины обоих векторов → Раздели произведение на произведение длин → Возьми арккосинус

Пояснение. Порядок такой: произведение, длины, деление, арккосинус — так получается сам угол.

Вопрос 6. Сопоставь угол между векторами и значение их скалярного произведения.

Пояснение. При 90° косинус нулевой, при 0° он единица, при 180° — минус единица.

Вопрос 7. Вставь пропуски: скалярное произведение равно произведению длин векторов на ___ угла между ними, а для перпендикулярных ненулевых векторов оно равно ___.

Ответ: косинусу → нулю

Пояснение. Определение содержит косинус угла, а перпендикулярность равносильна нулевому произведению.