Геометрия · 11 классурок · 2026-09-29~8 мин чтения

Теорема о трёх перпендикулярах — 11 класс: формулировка и применение

Теорема о трёх перпендикулярах: наклонная, проекция и перпендикуляр в одном прямоугольном треугольнике, прямая и обратная формулировки, расстояние от точки до прямой.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Тебе поручили натянуть растяжку для телевизионной мачты: верхнее крепление на высоте 12 метров, нижний якорь вбит в землю в пяти метрах от основания. Трос при этом выходит длиной ровно тринадцать метров — проверь на прямоугольном треугольнике с катетами 5 и 12. Если смотреть на трос сверху, его след на земле — отрезок от основания мачты до якоря, и эти пять метров геометры называют проекцией наклонной. Теорема о трёх перпендикулярах связывает такой след с перпендикулярами в пространстве, и именно через неё решается половина задач на расстояния от точки до прямой.

Наклонная и её проекция

Дадим определения аккуратно. Пусть есть плоскость и точка A вне её. Проведём из A перпендикуляр AH к плоскости; точка H называется основанием перпендикуляра, а также проекцией точки A. Возьми теперь любую точку B плоскости, отличную от H: отрезок AB называют наклонной, точку B — основанием наклонной, а отрезок HB — проекцией наклонной AB. Все три отрезка сидят в одном прямоугольном треугольнике AHB: AH и HB — катеты, AB — гипотенуза, и потому вся работа с ними сводится к теореме Пифагора.

Наклонная#: отрезок из точки вне плоскости к точке плоскости, не перпендикулярный ей
Основание наклонной#: точка B, в которой наклонная встречается с плоскостью
Проекция точки#: основание H перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость
Проекция наклонной#: отрезок HB между основаниями перпендикуляра и наклонной

Из прямоугольного треугольника читаются свойства. Наклонная длиннее перпендикуляра из той же точки: гипотенуза больше катета. Из двух наклонных длиннее та, у которой длиннее проекция, а равные наклонные имеют равные проекции. Проверь и обратную сторону: две наклонные с равными проекциями равны, ведь у их треугольников совпадают оба катета. Практическое следствие: равенство наклонных из точки к концам отрезка — верный признак того, что точка лежит на серединном перпендикуляре отрезка.

Перпендикуляр AH, м	Проекция HB, м	Наклонная AB, м
12	5	13
12	9	15
12	16	20
12	0	12 — наклонная выродилась в перпендикуляр

Полезное геометрическое место: основания всех наклонных равной длины, проведённых из точки A, ложатся на окружность плоскости с центром H. Радиус этой окружности — длина проекции, он равен корню из квадрата наклонной минус квадрат перпендикуляра. Например, из точки на высоте 12 м над площадкой наклонные длиной 13 м упираются в окружность радиусом 5 м: мячик на нитке, обведённый по полу, чертит ровно её.

Угол между наклонной и плоскостью тоже меряется по проекции: это угол между наклонной AB и её проекцией HB. Поэтому проекция вычисляется умножением на косинус, а обратная задача — восстановить наклонную по проекции и углу — делением.

H B = A B \cdot cos φ

Проекция наклонной равна её длине, умноженной на косинус угла между наклонной и плоскостью

Практический вопрос — где искать проекцию точки. Ответ подсказывает сама фигура: если ребро перпендикулярно основанию, проекция вершины — соседняя вершина основания; если это правильная пирамида, проекция вершины — центр основания; если точка лежит на ребре, помогай свойствам параллельных граней. Перед всяким расчётом проговори: перпендикуляр из моей точки падает куда? Без ответа на этот вопрос двигаться нельзя.

Теорема о трёх перпендикулярах

Сформулируем главное. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Три перпендикуляра из названия — это перпендикуляр AH к плоскости, перпендикуляр HB к прямой в плоскости и вывод: наклонная AB тоже перпендикулярна этой прямой. Верно и обратное утверждение: если прямая в плоскости перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции. Прямая и обратная теоремы позволяют передавать перпендикулярность между наклонной и проекцией в ту сторону, какая нужна задаче.

Если ты уже дружишь со скалярным произведением из первого урока, доказательство занимает три строки. Разложи наклонную на перпендикуляр и проекцию: $A B = A H + H B$ . Первое слагаемое перпендикулярно любой прямой плоскости, ведь AH перпендикулярен всей плоскости; второе перпендикулярно прямой m по условию. Значит, $A B \cdot m = A H \cdot m + H B \cdot m = 0 + 0 = 0$ , и наклонная перпендикулярна прямой m. Обратная теорема доказывается тем же разложением, только ноль теперь дан, а перпендикулярность проекции — вывод.

Разбор: расстояние от вершины куба до диагонали основания

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6. Ищем расстояние от вершины A₁ до диагонали BD нижнего основания. Ребро AA₁ перпендикулярно основанию, поэтому проекция точки A₁ — точка A.
$A A_{1} ⊥ A B C D$
A₁H — наклонная к плоскости основания, AH — её проекция. Опустим в квадрате ABCD перпендикуляр AH на диагональ BD.
$A H ⊥ B D$
По теореме о трёх перпендикулярах прямая BD перпендикулярна проекции AH, значит, перпендикулярна и наклонной A₁H. Отрезок A₁H и есть искомое расстояние.
$A_{1} H ⊥ B D$
Считаем AH: диагональ квадрата со стороной 6 равна 6√2, а расстояние от вершины до диагонали — половина диагонали.
$A H = 32$
В прямоугольном треугольнике AA₁H катеты равны 6 и 3√2, значит, гипотенуза — корень из 36 плюс 18, то есть 3√6 ≈ 7,35.
$A_{1} H = 36 + 18 = 36$

Заметь, как всё сложилось: теорема позволила не строить перпендикуляр из A₁ к BD «в воздухе», а свела задачу к квадрату и Пифагору. Обратная теорема пригодилась бы в перевёрнутой задаче: известна перпендикулярность наклонной — докажи перпендикулярность проекции. Оба направления держи в голове, потому что условия бывают сформулированы в любую сторону.

Равенство наклонных объясняет и старый факт из десятого класса: боковые рёбра правильной пирамиды равны. Все они — наклонные из одной вершины к точкам основания, и если их проекции равны, то равны и сами рёбра. А равенство проекций выполняется ровно тогда, когда основание высоты равноудалено от всех вершин основания, то есть является центром описанной окружности. Получается, правильность пирамиды и положение высоты связаны через теорему Пифагора для наклонных.

За пределами учебника теорема работает у геодезистов и монтажников. Нивелир ставят строго вертикально, луч опускают на площадку, и расстояние до цели считают по следу луча: наклонный луч и его проекция связаны ровно нашей теоремой. Монтажник, крепя полку, проверяет перпендикулярность кронштейна так: если он перпендикулярен линии на полу, то перпендикулярен и всей стене — та же передача перпендикулярности через проекцию.

Применение: расстояние от точки до прямой

Главный практический сценарий — расстояние от точки вне плоскости до прямой в этой плоскости. Алгоритм из трёх шагов: спроецируй точку на плоскость, найди в плоскости расстояние от проекции до прямой, дострой прямоугольный треугольник и посчитай гипотенузу. Числа те же: перпендикуляр 12 м, расстояние от проекции до прямой 9 м — искомое расстояние равно 15 м. Такой путь называют методом проекций, и он работает даже тогда, когда перпендикуляр «в воздухе» начертить невозможно.

Разберём типовой пример — правильную треугольную пирамиду. Пусть сторона основания равна 6, а высота пирамиды равна 4. Ищем расстояние от вершины пирамиды до стороны основания. Проекция вершины — центр основания, а расстояние от центра равностороннего треугольника до его стороны равно трети высоты треугольника: 6√3 делить на 3, то есть 2√3. Опорный треугольник из перпендикуляра 4 и проекции 2√3 даёт расстояние: корень из 16 плюс 12, ровно 2√7 ≈ 5,29.

Утверждение 1 из 5

Проекция наклонной всегда короче самой наклонной.

Верно или нет?

Пять утверждений о наклонных и проекциях: спорные проверяй на прямоугольном треугольнике со сторонами 5, 12 и 13.

Стороны: a = 180.3, b = 180.3, c = 200 Углы: 56.3° + 56.3° + 67.4° = 180° Вид: равнобедренный, остроугольный

Лаборатория треугольника

Собери опорный треугольник урока: катеты — перпендикуляр и проекция, гипотенуза — наклонная.

Решение по шагам: шаг 0 из 4

Найди проекцию H точки A: опусти перпендикуляр к плоскости.
В самой плоскости опусти перпендикуляр HB из H на прямую.
По теореме о трёх перпендикулярах отрезок AB перпендикулярен прямой.
Посчитай гипотенузу AB по теореме Пифагора — это и есть расстояние.

Алгоритм метода проекций

Открывай шаги по одному и проговаривай, что именно ты ищешь на каждом.

Ловушка

Теорема работает только внутри одной плоскости: прямая обязана лежать в той же плоскости, что и проекция наклонной, иначе перпендикулярность не передастся. Вторая ловушка — путать проекцию точки с проекцией наклонной: проекция точки A — это H, а проекция наклонной AB — отрезок HB. Третья: из одной точки наклонная всегда длиннее перпендикуляра; «короткая наклонная» возможна лишь по сравнению с другой наклонной, но не с перпендикуляром.

Как оформить такое решение письменно? Коротко и по шагам: назови перпендикуляр и наклонную, укажи проекцию, сошлись на теореме о трёх перпендикулярах, дострой прямоугольный треугольник и посчитай. Хватает двух-трёх предложений: «AH — перпендикуляр к плоскости, HB — проекция наклонной AB; HB перпендикулярна данной прямой, значит, по теореме о трёх перпендикулярах AB перпендикулярна этой прямой». Проверяющие ищут именно эту цепочку.

Дальше теорема будет работать незаметно, но постоянно: в уроке про углы угол наклонной к плоскости измеряют ровно по проекции, а в теме расстояний метод проекций — главный инструмент. Пройди квиз, потренируйся в лаборатории треугольника и запомни пятёрку чисел 5-12-13: она здесь гвоздь программы.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Что называют проекцией наклонной, проведённой из точки A к плоскости?

Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 8 и наклонная длиной 10. Найди длину проекции наклонной. Запиши число.

Наклонная, проведённая из точки к плоскости, длиннее перпендикуляра из той же точки.

Какие утверждения о теореме о трёх перпендикулярах верны?

Расставь шаги нахождения расстояния от точки A до прямой в плоскости.

Сопоставь термин и смысл.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Вставь пропуски: наклонная длиннее перпендикуляра, потому что в прямоугольном треугольнике она является ___, а угол между наклонной и плоскостью измеряют между наклонной и ___.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Наклонная длиннее перпендикуляра, потому что в прямоугольном треугольнике она является , а угол между наклонной и плоскостью измеряют между наклонной и .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Что такое наклонная в стереометрии?

Это отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой самой плоскости и не перпендикулярный ей. Точка на плоскости называется основанием наклонной. Вместе с перпендикуляром наклонная образует прямоугольный треугольник.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

Спроецируй точку на плоскость, в которой лежит прямая. Затем найди расстояние от проекции до прямой в этой плоскости и дострой прямоугольный треугольник. Гипотенуза будет искомым расстоянием по теореме о трёх перпендикулярах.

В чём формулируется теорема о трёх перпендикулярах?

Если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное: перпендикулярность наклонной влечёт перпендикулярность проекции.

Зачем в задачах нужна проекция?

Она сводит пространственную задачу к плоской: угол наклонной к плоскости измеряется по проекции, а расстояния ищутся через прямоугольный треугольник. Так стереометрия опирается на планиметрию.