Расстояние от точки до плоскости — 11 класс: методы и задачи
Все расстояния стереометрии: точка и плоскость, точка и прямая, параллельные плоскости, скрещивающиеся прямые через общий перпендикуляр и метод объёмов.
Собирая стеллаж, ты замечаешь: боковая стенка стоит не по уровню, и зазор до полки местами 3 см, а местами все 7. Мастер говорит: «Меряй по перпендикуляру». Это не придирка: расстоянием в геометрии всегда называют самое короткое, а коротчайший путь до плоскости — только перпендикуляр. В этом уроке разберём все основные пары: точка и плоскость, точка и прямая, параллельные плоскости, скрещивающиеся прямые — и метод объёмов, который выручает, когда чертёж не помогает.
Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Основание перпендикуляра заодно называют проекцией точки. Почему именно перпендикуляр? Любой другой отрезок от точки до плоскости — наклонная, а в прямоугольном треугольнике катет короче гипотенузы. Числа подтверждают: точка висит на высоте 12 над полом — до пола ровно 12, а до любой другой точки пола не меньше: по прямой 13, если сместиться на 5 в сторону.
Точка и прямая; параллельные плоскости
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра из точки на эту прямую. В пространстве есть тонкость: точка и прямая вместе задают плоскость, и перпендикуляр обязан лежать именно в ней. Универсальный рецепт: дострой эту плоскость, сведи задачу к плоской и работай в ней. Проверка на кубе: расстояние от вершины A₁ до диагонали BD нижнего основания равно 3√6 ≈ 7,35 — и весь расчёт держался на проекции из прошлого урока.
Расстояние между параллельными плоскостями — длина их общего перпендикуляра. Приятное свойство: из любой точки одной плоскости получится одно и то же число, ведь все общие перпендикуляры параллельны и равны. Отсюда приём: возьми самую удобную точку. Перекрытия этажей параллельны, и высота между ними одинакова у окна и у стены; в кубе расстояние между противоположными гранями равно ребру — мерь из центра, из вершины или из середины ребра, ответ не изменится.
- Расстояние от точки до плоскости#
- длина перпендикуляра из точки на плоскость
- Расстояние от точки до прямой#
- длина перпендикуляра из точки на прямую
- Расстояние между параллельными плоскостями#
- длина общего перпендикуляра, одна и та же из любой точки
- Общий перпендикуляр#
- отрезок, пересекающий обе прямые (или плоскости) и перпендикулярный каждой
Скрещивающиеся прямые
У скрещивающихся прямых общих точек нет, но расстояние между ними определить нужно: это длина их общего перпендикуляра — отрезка, пересекающего обе прямые и перпендикулярного каждой. Такой отрезок существует и единственный. Практическая проблема в том, что рисуется он неохотно, поэтому чаще работают через плоскость: построй плоскость через одну из прямых, параллельную второй, и найди расстояние от второй прямой до этой плоскости — оно равно расстоянию между прямыми.
- Куб с ребром 6: ищем расстояние между скрещивающимися рёбрами AB и CC₁.
- Через ребро CC₁ проходит задняя грань DCC₁D₁. Прямая AB параллельна её ребру DC, значит, AB параллельна всей плоскости грани.
- Расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки AB до этой плоскости. Возьмём точку A: перпендикуляр к плоскости — отрезок AD.
- AD — ребро куба, оно перпендикулярно AB и вертикальному CC₁, то есть является общим перпендикуляром. Ответ: 6.
Вывод стоит запомнить: расстояние между скрещивающимися рёбрами куба равно его ребру. Тот же приём с плоскостью работает в призмах и пирамидах — ищи грань или диагональное сечение, содержащее одну прямую и параллельное другой.
Выбор точки для опускания перпендикуляра — половина решения. Свойство «из любой точки одно и то же» разрешает переехать в самую удобную вершину, середину ребра или центр грани. В кубе с ребром 4 расстояние между диагональю BD нижнего основания и вертикальным ребром CC₁ равно 4: прямая BD лежит в нижней грани, ребро CC₁ пересекает эту грань в точке C, и достаточно одного перпендикуляра CB. Симметрия экономит время: в правильной пирамиде все боковые рёбра равны, поэтому расстояния от вершины до каждой стороны основания одинаковы — посчитай для любой одной и спиши ответ на остальные.
Третий инструмент — координаты. Если плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0, а точка имеет координаты x₀, y₀, z₀, расстояние равно модулю числа ax₀ + by₀ + cz₀ + d, делённому на корень из суммы квадратов коэффициентов. Возьмём плоскость 2x + y − 2z + 6 = 0 и точку с координатами (1; 2; 3): числитель равен 2 + 2 − 6 + 6 = 4, знаменатель — корень из 9, то есть 3, и ответ ровно 4/3. Метод механический и честный: подставляй, дели, готово. На экзамене он страхует там, где строить перпендикуляр на чертеже неудобно или страшно.
Метод объёмов
Бывает, что перпендикуляр к плоскости «не рисуется»: фигура наклонная, данные скудные, а строить высоту из вершины — только ломать чертёж. Тогда включай метод объёмов: дострой пирамиду, у которой искомое расстояние — высота, и посчитай объём двумя способами. Объём не зависит от того, какую грань считать основанием, поэтому приравнивание и выдаёт высоту.
- Правильный тетраэдр с ребром 6. Найдём расстояние от вершины D до плоскости ABC — это высота пирамиды.
- Считаем объём: 216 умножить на √2 и разделить на 12, выходит 18√2.
- Площадь грани ABC — равносторонний треугольник со стороной 6: половина произведения 6 на 3√3.
- Выражаем высоту: утроенный объём делим на площадь грани, выходит 2√6 ≈ 4,9.
Сила метода в свободе выбора дна: объём всё равно считается по данным задачи, а площадь «плохой» грани достаётся из плоских формул. Тем же способом ищут и расстояния между скрещивающимися прямыми: дострой пирамиду с вершиной на одной прямой и посчитай высоту к плоскости, содержащей вторую. Метод объёмов останется с тобой до конца школы — им же находятся радиусы вписанных сфер.
Метод объёмов требует аккуратности в одном месте: площадь «дна» из другого ракурса. Разбери правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 6 и боковым ребром 5. Диагональ основания равна 6√2, её четверть — 3√2, и высота по теореме Пифагора равна √(25 − 18) = √7. Объём выходит (1/3)·36·√7 = 12√7. Захочешь расстояние от вершины до боковой грани — приравняешь тот же объём к одной трети произведения площади боковой грани на искомую высоту, а площадь достанешь из равнобедренного треугольника. Два подсчёта, одно уравнение, готовая высота без единого построения.
Где всё это всплывает на ЕГЭ: вторая часть задачи 14 почти всегда начинается словом «докажите» и заканчивается словом «найдите». Типовые запросы: расстояние от середины ребра до плоскости сечения, между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани, от точки до плоскости A₁BC в параллелепипеде. Стратегия одна: выбери инструмент под чертёж. Красивые перпендикуляры прямо видны — строй их. Всё косое — переводи в координаты. Данных мало, а объём собирается — считай двумя способами. Один и тот же чертёж решается тремя разными ключами, и сильный решающий знает все три.
| Пара объектов | Что называют расстоянием | Быстрый путь |
|---|---|---|
| точка и плоскость | длину перпендикуляра | опусти перпендикуляр или метод объёмов |
| точка и прямая | длину перпендикуляра | метод проекций через теорему о трёх перпендикулярах |
| две параллельные плоскости | длину общего перпендикуляра | расстояние от любой удобной точки одной до другой |
| скрещивающиеся прямые | длину общего перпендикуляра | плоскость через одну прямую параллельно другой |
Ребро куба равно 12 см. Сколько сантиметров составляет расстояние между его скрещивающимися рёбрами AB и CC₁? Введи число.
Все расстояния из урока встретятся в задачах на сферы и комбинации тел, а метод объёмов выстрелит ещё раз в теме вписанных сфер. Пройди квиз, потренируй прикидку в лаборатории оценок и вернись к таблице, если забудешь, какая пара как меряется.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Что называют расстоянием от точки до плоскости?
2 Рёбра AB и CC₁ куба с ребром 9 скрещиваются. Найди расстояние между ними. Запиши число.
3 Расстояние от любой точки одной из двух параллельных плоскостей до другой одинаково.
4 Какие способы находят расстояние между скрещивающимися прямыми?
5 Расставь шаги метода объёмов для расстояния от точки до плоскости.
6 Сопоставь пару объектов и определение расстояния.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Вставь пропуски: расстояние между параллельными плоскостями измеряют по ___, а объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на ___.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Расстояние между параллельными плоскостями измеряют по , а объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как найти расстояние от точки до плоскости?
Проведи из точки перпендикуляр к плоскости — его длина и есть расстояние. Если перпендикуляр трудно построить, дострой пирамиду и посчитай объём двумя способами. Такой приём называют методом объёмов.
Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?
Это отрезок, концы которого лежат на прямых, а сам он перпендикулярен обеим. Его длина и называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. В кубе это часто просто ребро.
Как искать расстояние между скрещивающимися прямыми без общего перпендикуляра?
Построй плоскость через одну из прямых, параллельную второй. Затем найди расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости. Оно и равно расстоянию между прямыми.
Почему метод объёмов работает?
Объём пирамиды не зависит от того, какую грань считать основанием. Приравняв два подсчёта, выражают неизвестную высоту. Так получают расстояние до плоскости, перпендикуляр к которой неудобно строить.