Вписанная и описанная сферы — 11 класс: куб, конус, пирамида
Комбинации со сферами: описанная сфера вокруг куба и призмы, вписанная сфера конуса и пирамиды, центр на высоте, метод осевого сечения и главные радиусы.
Ёлочный шар радиусом 6 см кладут в кубическую коробку: производитель делает ребро ровно 12 см, чтобы шар касался всех шести граней и не болтался. А поставщик гирлянд упаковывает такой же шар в конус из картона и подбирает конус так, чтобы шар касался и дна, и боковой стенки. Обе истории — про вписанные и описанные сферы: сфера может сидеть внутри многогранника, касаясь граней, или охватывать его снаружи, проходя через вершины. Разберём главные конфигурации, радиусы и приём, который сводит всё к планиметрии.
Описанная сфера: все вершины на сфере
Многогранник вписан в сферу, если все его вершины лежат на этой сфере; тогда говорят, что сфера описана вокруг многогранника. Вокруг куба она есть всегда: центр — точка пересечения диагоналей, а диагональ куба служит диаметром сферы. Для ребра a радиус равен половине диагонали: куб со стороной 4 имеет диагональ 4√3 и описанную сферу радиуса 2√3 ≈ 3,46.
Вокруг прямоугольного параллелепипеда сфера тоже есть: все четыре диагонали равны и делятся пополам в одной точке, а радиус равен половине диагонали. У прямой призмы центр сидит на середине оси: половина высоты плюс радиус описанной окружности основания дают радиус сферы по теореме Пифагора. А у наклонной призмы равноудалённость вершин может рухнуть — тогда описанной сферы не существует, и в задаче на доказательство это честный ответ.
Вокруг правильного тетраэдра с ребром a сфера тоже есть всегда, и её радиус равен a умножить на корень из шести, делённый на четыре. Проверь на тетраэдре с ребром 6: радиус выходит 6 умножить на 2,449 и разделить на четыре — примерно 3,67. Центр лежит на высоте пирамиды, на четверти высоты от основания: считается через координаты или через равенство расстояний до вершин. У правильного тетраэдра центр вписанной и описанной сфер совпадает, а радиус описанной втрое больше радиуса вписанной.
Вписанная сфера: касается всех граней
Многогранник описан вокруг сферы, если сфера касается всех его граней; тогда сферу называют вписанной, а её центр лежит внутри и равноудалён от всех граней. В куб сфера вписывается всегда: её диаметр равен ребру, радиус — половине ребра. Куб со стороной 12 вмещает шар радиусом 6 — та самая коробка из первого абзаца.
В конус сфера вписывается тоже всегда: она касается основания и боковой поверхности, а центр сидит на оси конуса. Радиус выражается через высоту h, радиус основания r и образующую l. Проверь формулу на конусе с высотой 4 и радиусом 3: образующая равна 5, и радиус сферы выйдет 1,5.
- Конус с высотой 4 и радиусом основания 3. Найди радиус вписанной сферы.
- Образующая по теореме Пифагора: корень из 16 плюс 9, то есть 5.
- Радиус сферы: высота, умноженная на радиус основания, делённые на сумму образующей и радиуса.
- Считаем: 12 делить на 8 равно 1,5 — сфера радиусом 1,5 касается дна и боковой поверхности.
Почему центр лежит на высоте
Для правильной пирамиды и конуса есть красивый аргумент из урока про движения. Фигура переходит в себя при поворотах вокруг высоты, а вписанная сфера у неё единственна — значит, при каждом повороте сфера обязана переходить в себя. Единственная неподвижная точка таких поворотов лежит на высоте, поэтому и центр сферы стоит там. Для куба та же логика даёт центр в точке пересечения диагоналей: любые симметрии куба оставляют её на месте.
Радиус вписанной сферы пирамиды считается одной формулой: три объёма, делённые на полную площадь поверхности. Она вытекает из разбиения пирамиды на маленькие пирамидки с вершиной в центре сферы: высота каждой равна радиусу, а основания — грани. Проверь на кубе: объём со стороной 12 равен 1728, полная поверхность равна 864, и радиус выходит 3 умножить на 1728, делить на 864, — ровно 6, половина ребра. Сходится.
Метод осевого сечения и ЕГЭ-конфигурации
Почти любую комбинацию со сферой решает одно движение: режь конструкцию плоскостью через ось или центр. Сфера превращается в окружность, конус — в равнобедренный треугольник, цилиндр — в прямоугольник, и дальше работает обычная планиметрия. Разбери главную схему экзамена: конус с радиусом 3 и высотой 4 вписан в сферу. В осевом сечении — треугольник с боковыми сторонами 5, вписанный в окружность, и радиус сферы равен 25/8 = 3,125.
| Комбинация | Радиус | Где центр |
|---|---|---|
| сфера описана вокруг куба | a√3 / 2 | пересечение диагоналей куба |
| сфера вписана в куб | a / 2 | центр куба |
| сфера описана вокруг конуса | (h² + r²) / 2h | на оси конуса |
| сфера вписана в конус | h·r / (l + r) | на оси конуса |
| сфера вписана в цилиндр | равна радиусу цилиндра | на оси, высота равна диаметру |
| цилиндр вписан в сферу | R² = r² + (h/2)² | центр сферы — середина оси цилиндра |
Пара фактов про цилиндр и призму пригодится в быстрых вопросах. Сфера, вписанная в цилиндр, существует только когда высота равна диаметру основания: в осевом сечении тогда квадрат с вписанной окружностью. Цилиндр, вписанный в сферу, связан с ней теоремой Пифагора: квадрат радиуса сферы равен квадрату радиуса цилиндра плюс квадрат половины высоты. Оба факта читаются с одного осевого сечения.
Сравни радиусы на одном конусе с высотой 4 и радиусом 3: вписанная сфера имеет радиус 1,5, а описанная — 3,125. Разница больше двойки, и это подсказка на экзамене: если в ответе вписанная и описанная сферы вышли почти одинаковыми — ищи арифметическую ошибку. А в кубе с ребром 4 радиусы равны 2 и 2√3 ≈ 3,46: запомни пару «половина ребра и половина диагонали».
Комбинации встречаются и с обратной стороны: не сфера вокруг тела, а тело вокруг сферы. Цилиндр, описанный вокруг шара радиуса 5, обязан иметь высоту 10 и радиус основания 5 — в осевом сечении квадрат с вписанной окружностью. Конус, описанный вокруг того же шара, задан не однозначно: чем шире угол при вершине, тем ниже конус, и в этом вся прелесть задачи — одно условие касания даёт семейство ответов, а конкретные числа выбирает дополнительное условие, например угол или высоту. Касание сферы и плоскости грани — точка, лежащая в центре вписанной окружности этой грани: в правильной пирамиде она сидит на апофеме, и всё сводится к плоскому треугольнику.
Осевое сечение — не единственный разрез: иногда выгоднее плоскость через центр сферы параллельно основанию или диагональный разрез куба. Диагональное сечение куба со стороной 4 — прямоугольник со сторонами 4 и 4√2, и вписанная в куб сфера в нём видна как окружность радиуса 2, касающаяся большой диагонали. Прежде чем резать, спроси себя: в какой плоскости всё тело и сфера симметричны? Там и живёт простой рисунок. А если сфера задана уравнением с центром не в нулевой точке, перенеси начало координат в центр — вычитание координат иногда превращает страшную конструкцию в школьную задачу про окружность и треугольник.
Описанная сфера проходит через все многогранника, а вписанная касается всех его .
Банк слов
Ёлочный шар вписан в кубическую коробку с ребром 12 см. Каков радиус шара в сантиметрах? Введи число.
Комбинации со сферами — излюбленная тема второй части экзамена, и почти всегда это осевое сечение плюс одна формула из таблицы. Пройди квиз, собери словарь урока на карточках и реши пару задач тренажёра: там высоты и радиусы подобраны под тройку 3-4-5.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Что означает, что сфера вписана в многогранник?
2 Найди радиус сферы, вписанной в куб с ребром 8. Запиши число.
3 Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте.
4 Какие комбинации описаны корректно?
5 Расставь шаги решения задачи о сфере, вписанной в конус.
6 Сопоставь конфигурацию и радиус сферы.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Вставь пропуски: многогранник вписан в сферу, если все его ___ лежат на сфере, и описан вокруг сферы, если сфера касается всех его ___.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Многогранник вписан в сферу, если все его лежат на сфере, и описан вокруг сферы, если сфера касается всех его .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Какая сфера называется вписанной в многогранник?
Сфера, которая касается всех граней многогранника. Центр такой сферы лежит внутри, а расстояние от центра до любой грани равно радиусу. Сам многогранник при этом называют описанным вокруг сферы.
Где центр описанной сферы вокруг куба?
В точке пересечения диагоналей куба. Диагональ куба служит диаметром сферы, поэтому радиус равен половине диагонали. Для ребра a это a√3/2.
Как найти радиус сферы, вписанной в конус?
Проведи осевое сечение — получится равнобедренный треугольник с вписанной окружностью. Радиус равен произведению высоты на радиус основания, делённому на сумму образующей и радиуса основания.
Что даёт метод осевого сечения?
Он сводит пространственную комбинацию к плоской картинке: сфера превращается в окружность, конус — в треугольник, цилиндр — в прямоугольник. Дальше работает обычная планиметрия. Так решают большинство задач про комбинации тел.