Вписанная и описанная сферы — 11 класс: куб, конус, пирамида — тренажёр
Тренировка по теме «Вписанная и описанная сферы — 11 класс: куб, конус, пирамида»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Радиус шара, вписанного в куб, равен 8 см. Найди длину ребра куба в сантиметрах.
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
11 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Радиус шара, вписанного в куб, равен 8 см. Найди длину ребра куба в сантиметрах.
Подсказка. Ребро — это диаметр шара.
Как решать. Диаметр вписанного шара равен ребру куба: 2 умножить на 8.
Ответ: 16
Пример 2. Куб вписан в сферу радиуса 2. Найди квадрат диагонали куба.
Подсказка. Диагональ куба равна диаметру сферы.
Как решать. Диагональ куба — диаметр описанной сферы: 2 умножить на 2, а квадрат равен 4 умножить на 2 в квадрате.
Ответ: 16
Пример 3. Ёлочный шар касается всех граней кубической коробки. Во сколько раз ребро коробки больше радиуса шара?
Как решать. Диаметр вписанного шара равен ребру куба, а диаметр вдвое больше радиуса; корень из трёх появился бы для описанной сферы.
Ответ: в 2 раза
Пример 4. Радиус шара, вписанного в куб, равен 3 см. Найди длину ребра куба в сантиметрах.
Подсказка. Ребро — это диаметр шара.
Как решать. Диаметр вписанного шара равен ребру куба: 2 умножить на 3.
Ответ: 6
Пример 5. Куб вписан в сферу радиуса 8. Найди квадрат диагонали куба.
Подсказка. Диагональ куба равна диаметру сферы.
Как решать. Диагональ куба — диаметр описанной сферы: 2 умножить на 8, а квадрат равен 4 умножить на 8 в квадрате.
Ответ: 256
Пример 6. Ёлочный шар касается всех граней кубической коробки. Во сколько раз ребро коробки больше радиуса шара?
Как решать. Диаметр вписанного шара равен ребру куба, а диаметр вдвое больше радиуса; корень из трёх появился бы для описанной сферы.
Ответ: в 2 раза
Пример 7. Радиус шара, вписанного в куб, равен 6 см. Найди длину ребра куба в сантиметрах.
Подсказка. Ребро — это диаметр шара.
Как решать. Диаметр вписанного шара равен ребру куба: 2 умножить на 6.
Ответ: 12
Пример 8. Куб вписан в сферу радиуса 5. Найди квадрат диагонали куба.
Подсказка. Диагональ куба равна диаметру сферы.
Как решать. Диагональ куба — диаметр описанной сферы: 2 умножить на 5, а квадрат равен 4 умножить на 5 в квадрате.
Ответ: 100
Пример 9. Радиус шара, вписанного в куб, равен 9 см. Найди длину ребра куба в сантиметрах.
Подсказка. Ребро — это диаметр шара.
Как решать. Диаметр вписанного шара равен ребру куба: 2 умножить на 9.
Ответ: 18
Пример 10. Ёлочный шар касается всех граней кубической коробки. Во сколько раз ребро коробки больше радиуса шара?
Как решать. Диаметр вписанного шара равен ребру куба, а диаметр вдвое больше радиуса; корень из трёх появился бы для описанной сферы.
Ответ: в 2 раза
Пример 11. Куб вписан в сферу радиуса 9. Найди квадрат диагонали куба.
Подсказка. Диагональ куба равна диаметру сферы.
Как решать. Диагональ куба — диаметр описанной сферы: 2 умножить на 9, а квадрат равен 4 умножить на 9 в квадрате.
Ответ: 324
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Вписанная и описанная сферы — 11 класс: куб, конус, пирамида» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Что означает, что сфера вписана в многогранник?
Ответ: она касается всех его граней
Пояснение. Вписанная сфера касается всех граней изнутри; сфера через вершины — описанная.
Вопрос 2. Найди радиус сферы, вписанной в куб с ребром 8. Запиши число.
Ответ: 4
Пояснение. Вписанная сфера касается противоположных граней, её диаметр равен ребру 8, значит, радиус равен 4.
Вопрос 3. Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте.
Ответ: Верно
Пояснение. Правильная пирамида переходит в себя при поворотах вокруг высоты, поэтому единственный центр вписанной сферы обязан остаться на высоте.
Вопрос 4. Какие комбинации описаны корректно?
Ответ: сфера, описанная вокруг куба; сфера, вписанная в конус; сфера, описанная вокруг правильной пирамиды
Пояснение. Вписанная сфера касается граней, а не рёбер, поэтому третий вариант описан неверно; остальные конфигурации существуют.
Вопрос 5. Расставь шаги решения задачи о сфере, вписанной в конус.
Ответ: Проведи осевое сечение и получи треугольник с вписанной окружностью → Отметь высоту, радиус основания и вершину конуса → Найди образующую конуса по теореме Пифагора → Подставь значения в формулу радиуса вписанной сферы
Пояснение. Порядок: сечение, данные на чертеже, образующая, формула радиуса.
Вопрос 6. Сопоставь конфигурацию и радиус сферы.
Пояснение. Три главные формулы урока: половина диагонали, половина ребра и h·r/(l+r).
Вопрос 7. Вставь пропуски: многогранник вписан в сферу, если все его ___ лежат на сфере, и описан вокруг сферы, если сфера касается всех его ___.
Ответ: вершин → граней
Пояснение. Описанная сфера проходит через вершины, вписанная касается граней — ключевые слова определений.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.