Окружность: касательная, хорды и вписанные углы
Колесо, торцевой ключ и циферблат: касательная, хорда и вписанный угол — три инструмента для работы с окружностью.
Торцевой ключ накидывается на гайку и касается её ровно в одном «поясе» — так работает касательная к окружности. Колесо катится по земле, соприкасаясь в одной точке, и ось всегда перпендикулярна земле: это ключевое свойство касательной. А стрелки часов показывают третий сюжет: угол между часовой стрелкой на «12» и минутной на «4» опирается на треть циферблата и потому равен 60°. Окружность — фигура с идеальной симметрией, и все её углы считаются по дугам. Разберём язык окружности, докажем связь вписанного угла с центральным и встретимся с двумя окружностями вокруг треугольника.
Касательная, хорда, диаметр
Окружность задаётся центром и радиусом: центр — точка, равноудалённая от всех точек окружности, радиус — само это расстояние. Из равенства всех радиусов вырастает остальное. Диаметр проходит через центр и вдвое длиннее радиуса, поэтому никакая хорда не длиннее диаметра: в треугольнике «центр и два конца хорды» сторона-хорда меньше суммы двух радиусов. Равные хорды равноудалены от центра — следствие равных прямоугольных треугольников, у которых гипотенуза радиус, а катет — расстояние до хорды.
- Хорда#
- Отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — наибольшая хорда, проходящая через центр.
- Касательная#
- Прямая с единственной общей точкой; перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- Дуга#
- Часть окружности между двумя точками. Центральный угол равен своей дуге.
- Вписанный угол#
- Угол с вершиной на окружности; равен половине дуги, на которую опирается.
- Радиус#
- Отрезок от центра до точки окружности; все радиусы окружности равны
- Секущая#
- Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Прямая и окружность встречаются по-разному: общих точек может не быть вовсе, может быть одна или две. Отсюда три имени одной прямой, и все задачи «пересекает или нет» решаются одним сравнением: расстояние от центра до прямой против радиуса.
| Расстояние от центра до прямой | Общих точек | Название |
|---|---|---|
| Больше радиуса | 0 | Просто прямая |
| Равно радиусу | 1 | Касательная |
| Меньше радиуса | 2 | Секущая |
Касательная — самый важный из трёх случаев. Свойство одно, но золотое: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Колесо на рельсе: земля — касательная, ось — центр, спица к точке касания — радиус, и он стоит вертикально. Верно и обратное: прямая, перпендикулярная радиусу на его конце, — касательная. А из одной внешней точки к окружности идут две касательные, и отрезки от точки до касания равны между собой.
Почему касательная перпендикулярна радиусу? Возьми на касательной любую точку, кроме точки касания: она лежит вне окружности, и её расстояние до центра больше радиуса. Значит, точка касания — ближайшая к центру точка всей прямой, а ближайшая точка достигается перпендикуляром. Радиус в точку касания — тот самый перпендикуляр.
Идеальная симметрия окружности работает в технике на полную: подшипник держит вал в центре, потому что все радиусы равны; шестерни сцепляются зубьями по окружностям одного шага; круглую трубу давление обжимает равномерно — в каждой точке стенки сила направлена по радиусу. Даже круглость детали проверяют через радиус: деталь круглая, если радиус одинаков во всех направлениях.
- Центральный угол AOB опирается на дугу AB и равен 70°.
- Дуга AB равна центральному углу.
- Вписанный угол ACB на той же дуге вдвое меньше.
Почему вписанный угол равен половине центрального? Пусть вписанный угол ABC опирается на дугу AC. Соедини B с центром O. Треугольник AOB равнобедренный — OA и OB радиусы, значит, углы при основании равны. Угол AOC — внешний для этого треугольника — равен сумме двух равных углов при основании, то есть удвоенному углу ABC. Но угол AOC центральный и равен дуге AC. Значит, вписанный угол ровно вдвое меньше центрального на той же дуге.
Из половинности вылетают три следствия, которые экономят время. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны — вершину можно переносить по окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°: диаметр стягивает дугу 180°. Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180° — каждый из них опирается на дугу, дополняющую чужую до 360°.
Часы — готовый тренажёр. Вся окружность циферблата — 360°, минутная стрелка за минуту пробегает 6°, часовая за час — 30°. Стрелки на «12» и на «4» дают центральный угол 120°, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу из точки окружности, — 60°. Любая дуговая разметка — спидометр, компас, лимб станка — живёт на этой же связи угла с дугой.
Вписанная и описанная окружности треугольника
С треугольником окружность связана дважды. Вписанная касается всех трёх сторон; её центр — точка пересечения биссектрис, а радиус — расстояние от центра до сторон. Описанная проходит через все три вершины; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, равноудалённая от вершин. Ярлыки для памяти: биссектрисы — про вписанную, ведь центр должен касаться всех сторон на равном расстоянии; серединные перпендикуляры — про описанную, ведь вершины должны усесться на окружность. В равностороннем треугольнике оба центра совпадают.
В прямоугольном треугольнике оба центра ищутся мгновенно. Радиус вписанной окружности: сложи катеты, вычти гипотенузу и раздели пополам — для египетского треугольника со сторонами 3, 4 и 5 выходит единица. Описанная окружность ещё проще: её радиус равен половине гипотенузы, а центр — середина гипотенузы. Поэтому прямой угол можно проверять окружностью: вершина прямого угла обязана сидеть на окружности с диаметром-гипотенузой.
Зачем это в жизни? Вписанная окружность подсказывает, как вписать круглую трубу в угол между стенами или круглый люк в треугольную деталь: центр ищется биссектрисами, радиус — расстоянием до ближайшей стороны. Описанная помогает построить арку над треугольным проёмом и понять, где у круглого стола центр, если известны три точки обода. Центр стола по трём точкам — описанная окружность в чистом виде: серединные перпендикуляры находят точку, равноудалённую от всех трёх. Обе задачи решаются линейкой и транспортиром без формул.
Касательную из внешней точки строят так: соединяют точку с центром, делят отрезок пополам и проводят окружность на этом отрезке как на диаметре. Точки её пересечения с данной окружностью — точки касания: угол на диаметре прямой, значит построенная прямая перпендикулярна радиусу. Вся магия построения держится на вписанном угле 90°.
Пример на диаметр и хорду с числами: радиус 13 см, хорда 10 см. Расстояние от центра до хорды — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и катетом-половиной хорды 5: по Пифагору выходит 12 см — классическая тройка 5-12-13. Тот же ход работает в обратную: зная расстояние, найдёшь хорду, а заодно проверишь, как далеко хорда от центра.
Диаметр добавляет хорде ещё одно свойство: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Поэтому в задачах про «хорду, рассечённую надвое», почти всегда прячется перпендикулярный радиус.
- Из точки M к окружности с центром O проведены две касательные. Радиус равен 6 см, расстояние OM равно 10 см. Найди отрезок касательной от M до точки касания.
- Радиус в точку касания перпендикулярен касательной — вышел прямоугольный треугольник с гипотенузой OM и катетом-радиусом 6 см.
- Второй катет — отрезок касательной — ищется по Пифагору.
- Отрезок касательной равен 8 см. Вторая касательная такой же длины: отрезки из одной точки равны.
- Точки A и B — концы диаметра, точка C лежит на окружности, угол ABC равен 34°. Найди углы треугольника ABC.
- Вписанный угол ACB опирается на диаметр, значит равен 90°.
- Сумма углов треугольника даёт третий угол.
- Углы треугольника: 34°, 90° и 56°. Проверка: сумма ровно 180°.
- Найди вершину угла: в центре — центральный, на окружности — вписанный.
- Определи дугу, на которую опирается угол, и её градусную меру.
- Встретил диаметр — жди прямого угла: вписанный угол на диаметре равен 90°.
- Про касательную — проверяй перпендикулярность радиуса в точке касания.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Прямая и окружность имеют ровно одну общую точку. Эта прямая — …
2 Вписанный угол равен 23°. Найди центральный угол на той же дуге.
3 Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
4 Что верно для окружности?
5 Центральный угол равен 84°. Найди вписанный угол на той же дуге.
6 Хорда — это…
7 Где вершина и чему равен угол?
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
8 Вставь пропущенное.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен , а вписанный угол вдвое центрального угла на той же дуге
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?
90°: диаметр стягивает дугу в 180°, а вписанный угол равен её половине. Поэтому любой треугольник, вписанный в окружность со стороной-диаметром, прямоугольный. Это следствие часто решает задачу за один шаг.
Чем хорда отличается от диаметра?
Диаметр — особая хорда, которая проходит через центр и потому самая большая: хорда меньше суммы двух радиусов, то есть диаметра. Обычная хорда центр может не задевать. Все диаметры одной окружности равны между собой.
Почему касательная перпендикулярна радиусу?
Любая точка касательной, кроме точки касания, лежит вне окружности, и расстояние от неё до центра больше радиуса. Значит, точка касания — ближайшая к центру точка прямой, а кратчайшее расстояние достигается перпендикуляром. Радиус в точку касания и есть этот перпендикуляр.
Чему равен вписанный угол, если центральный равен 70 градусам?
35° — вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Проверь: центральный 70° вырезает дугу 70°, а вписанный угол видит её из точки на окружности под половинным углом. Главное — обе вершины должны работать с одной дугой.