Параллелограмм и трапеция
Шарнирный параллелограмм поднимает ворота гаража, трапеция держит крышу. Свойства четырёхугольников и их средние линии — по шагам.
Подъёмные ворота гаража двигаются по боковым направляющим, но полотно остаётся горизонтальным — его держит шарнирная система в форме параллелограмма: тянешь за край, и фигура сминается, сохраняя параллельность сторон. Четырёхугольники не такие жёсткие, как треугольники, зато управляемые. Трапеция — их «полуродственник»: параллельны только две стороны, поэтому и свойств меньше, а в фермах крыш она встречается на каждом шагу. За урок соберёшь полный набор: определения, свойства и признаки обеих фигур, сумму углов четырёхугольника и три разбора задач с числами.
Параллелограмм: свойства и признаки
Начнём с главного отличия от треугольника. Три стержня с шарнирами сложатся в единственный треугольник, а четыре — в бесконечное семейство четырёхугольников: рамка умеет складываться, меняя углы при постоянных сторонах. Инженеры используют это в обе стороны: где нужна подвижность, ставят шарнирный параллелограмм — подъёмные шлагбаумы, откидные столики, выдвижные ящики с параллельным ходом; где нужна жёсткость — добавляют диагональ и превращают четырёхугольник в два треугольника.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из параллельности вытекают четыре свойства: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам, а соседние углы дают в сумме 180° — они односторонние при параллельных сторонах и секущей. Проверь на воротах из начала урока: сколько бы шарниры ни складывались, противоположные звенья остаются равными и параллельными, иначе полотно перекосит.
Признаки читаются в обратную сторону: свойство говорит «что у параллелограмма есть», признак — «по чему его опознать». Их три. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны — это параллелограмм. Если противоположные стороны попарно равны — тоже. Если диагонали делятся точкой пересечения пополам — снова он. Разберём первый признак: пусть стороны AB и CD равны и параллельны. Диагональ AC — секущая, значит углы BAC и DCA равны как накрест лежащие. Треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними, отсюда BC = AD и вторая пара сторон параллельна — признак доказан.
Точка пересечения диагоналей — центр параллелограмма. Она делит обе диагонали ровно пополам, поэтому любая прямая через центр режет фигуру на две равные части: положи бумажный параллелограмм на остриё карандаша этой точкой, и он уравновесится. То же в технике: у ножничных подъёмников и раздвижных решёток центральный шарнир стоит ровно посередине диагоналей, потому что при сжатии деление пополам сохраняется. Работает и обратный ход: знаешь диагональ и её половинку — находишь вторую половинку той же длины.
Почему свойства вообще верны? Диагональ режет параллелограмм на два равных треугольника: ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними — сторона AC общая, а AB параллельна CD, поэтому накрест лежащие углы при секущей AC равны. Из равенства треугольников сразу вылетают и равные противоположные стороны, и равные противоположные углы. Проведи вторую диагональ и повтори рассуждение с парами треугольников — получишь деление обеих диагоналей пополам. Все свойства параллелограмма вырастают из одного приёма: разрезать фигуру диагональю и сравнить треугольники. Кстати, это же рассуждение объясняет, почему признак «две равные и параллельные стороны» работает: он запускает ровно это разрезание.
- Один угол параллелограмма равен 75°. Соседний угол дополняет до 180°.
- Противоположные углы равны данным: получается 75°, 105°, 75°, 105°.
- Проверка: 75 + 105 + 75 + 105 = 360° — сумма углов четырёхугольника.
- Соседние углы параллелограмма дают 180°. Обозначь меньший за x, тогда больший равен x + 40°.
- Сложи: 2x = 140°, одна часть равна 70°.
- Углы параллелограмма: 70°, 110°, 70°, 110°. Проверка суммы: 360°.
- Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Периметр треугольника ABO равен 20 см, AB = 8 см, AO = 5 см. Найди диагональ BD.
- Стороны треугольника ABO — это AB, AO и BO. Вычти известные, найдёшь BO.
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: BO = OD.
- Диагональ BD равна 14 см. Проверка периметра: 8 + 5 + 7 = 20 — сошлось.
Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°. Доказательство в одну строку: проведи диагональ — она разрежет четырёхугольник на два треугольника, каждый приносит по 180°, всего 360°. Для параллелограмма отсюда видно и распределение: углы складываются в две равные пары, соседние дополняют друг друга до 180°. У трапеции сумма та же, но пары другие: углы при боковой стороне — односторонние при параллельных основаниях, поэтому тоже дают ровно 180°.
Трапеция: основания, боковые стороны, средняя линия
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называют основаниями, непараллельные — боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, трапеция равнобедренная: углы при каждом основании равны и диагонали равны — фигура симметрична относительно вертикальной оси, проведённой через середины оснований. Если одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, трапеция прямоугольная, и эта сторона сразу служит высотой. Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме.
Почему полусумма? Прикинь на числах: основания 10 см и 20 см. Линия, идущая ровно посередине между боковыми сторонами, усредняет ширину трапеции: сверху фигура уже, снизу шире, и посередине откладывается средняя ширина — 15 см. Строгое доказательство строится дополнительным построением: продолжи боковые стороны до пересечения или проведи диагональ и примени теорему о средней линии треугольника из седьмого класса. Тот же смысл у среднего арифметического двух чисел: средняя линия и есть среднее арифметическое оснований.
| Свойство | Параллелограмм | Трапеция |
|---|---|---|
| Параллельные стороны | Обе пары | Только два основания |
| Противоположные стороны | Равны | Могут быть разными |
| Средняя линия | Нет | Равна полусумме оснований |
| Диагонали | Делятся точкой пересечения пополам | Равны у равнобедренной |
| Углы | Противоположные равны | При боковой стороне дают 180° |
Равнобедренная трапеция — самая нарядная из четырёхугольников: срез юбки-трапеции, абажур, дорожный знак приоритета, фронтон старого дома. Симметрия делает её визуально спокойной, без перекоса, поэтому архитекторы берут её охотнее произвольной. Прямоугольная трапеция живёт в разрезах деталей и профилях ступеней: перпендикулярная боковая сторона готова на роль высоты без дополнительных построений. Диагонали у равнобедренной трапеции равны: ось симметрии переводит одну диагональ в другую.
- Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Средняя линия — их полусумма.
- Обратная задача: средняя линия 13 см, одно основание 9 см. Удвой и вычти.
- Второе основание равно 17 см. Проверка: полусумма чисел 9 и 17 равна 13 — сошлось.
- В равнобедренной трапеции угол при большем основании равен 68°. Найди остальные углы.
- Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны: второй угол при большем основании тоже 68°.
- Углы при боковой стороне дополняют друг друга до 180° — односторонние при параллельных основаниях.
- Оба угла при меньшем основании равны 112°. Проверка: 68 + 68 + 112 + 112 = 360°.
- Основание трапеции#
- Параллельная сторона трапеции, их всегда две
- Боковая сторона#
- Непараллельная сторона трапеции, соединяет основания
- Средняя линия#
- Отрезок между серединами боковых сторон, равен полусумме оснований
- Признак фигуры#
- Условие, по которому фигуру опознают; направление рассуждения обратное свойству
- Определи тип фигуры: параллельны обе пары сторон или только основания.
- Выпиши нужные свойства: равенство сторон и углов, поведение диагоналей, средняя линия.
- Проверь суммы: 360° у любого четырёхугольника, 180° у соседних углов параллелограмма.
- Для признака следи за направлением: сначала условие, затем вывод «это параллелограмм».
Прямоугольник, ромб и квадрат — частные случаи параллелограмма. Прямоугольнику к общим свойствам добавлены прямые углы и равные диагонали, ромбу — равные стороны и перпендикулярные диагонали, квадрат объединяет всё сразу. Иерархия строгая: всякий квадрат — одновременно ромб и прямоугольник, а всякий ромб и всякий прямоугольник — параллелограммы. Свойства трапеции на эту тройку не переносятся: у всех её членов параллельны обе пары сторон. Подробный разбор фигур с площадями — в следующем уроке. Быстрая самопроверка: назови фигуру по диагоналям — равные, перпендикулярные или то и другое сразу.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Какое свойство есть у любого параллелограмма?
2 Один угол параллелограмма равен 118°. Найди соседний угол.
3 Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
4 Что является признаком параллелограмма?
5 Основания трапеции равны 17 см и 9 см. Найди среднюю линию.
6 Трапеция с равными боковыми сторонами называется…
7 Распредели свойства по фигурам.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
8 Вставь пропущенное.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна , а средняя линия трапеции параллельна её
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как доказать, что четырёхугольник — параллелограмм?
Найди и обоснуй один из трёх признаков: две стороны равны и параллельны, противоположные стороны попарно равны или диагонали делятся точкой пересечения пополам. Выбирай признак, который дешевле проверить по данным задачи. Если даны диагонали, короткая дорога — доказать деление пополам через равенство треугольников.
Чему равна средняя линия трапеции?
Полусумме оснований: сложи длины оснований и раздели пополам. Она параллельна основаниям и соединяет середины боковых сторон. Если даны средняя линия и одно основание, второе находишь в одно действие: удвой среднюю линию и вычти известное основание.
Чем трапеция отличается от параллелограмма?
У трапеции параллельны только два основания, у параллелограмма — обе пары противоположных сторон. Поэтому у трапеции нет равенства противоположных сторон и деления диагоналей пополам. Зато равнобедренная трапеция получает свои бонусы: равные боковые стороны, равные углы при основании и равные диагонали.
Какие углы у равнобедренной трапеции?
Углы при каждом основании равны между собой, а углы при боковой стороне дают в сумме 180° — они односторонние при параллельных основаниях. Например, при угле 68° у большего основания остальные три угла будут 68°, 112° и 112°. Сумма всех четырёх равна 360°, как у любого четырёхугольника.