Центральные и вписанные углы 8 класс: задачи

Часы показывают четыре часа: минутная стрелка стоит на двенадцати, часовая — на четырёх, и между ними развернулся угол ровно в одну треть круга — 120°. Вершина этого угла в центре циферблата, и такой угол зовётся центральным. А теперь пусть наблюдатель встал не в центр, а на самый обод циферблата и смотрит на те же две отметки: угол при его глазе окажется вдвое меньше — 60°. Один и тот же кусок окружности, два разных угла, жёсткая связь между ними. Эта связь — главная теорема всей темы, и после неё почти все задачи про углы на окружности решаются в одну строку. Дальше разберём оба угла по отдельности, докажем связь и натренируем её на циферблате, арке и колесе.

Центральный угол

Центральным углом называют угол с вершиной в центре окружности; его стороны — два радиуса. Такой угол вырезает из окружности дугу, и договорились считать: центральный угол равен дуге, на которую опирается. Вся окружность — это дуга в 360°, половина окружности, называемая полуокружностью, — 180°. Поэтому стрелки на циферблате, разошедшиеся на четверть круга, дают и дугу 90°, и центральный угол 90° — одно и то же число в двух ролях. Никогда не смешивай эти роли: дуга живёт на самой окружности, а угол — в её центре, и равенство между ними — договорённость, удобная для счёта, а не совпадение фигур.

Дуга#

часть окружности между двумя её точками, измеряется в градусах

Центральный угол#

угол с вершиной в центре окружности, равен своей дуге

Хорда#

отрезок, соединяющий две точки окружности

Полуокружность#

дуга в 180°, стягиваемая диаметром

Стороны центрального угла — радиусы, поэтому такой угол задаётся одной дугой и ничего лишнего не содержит. Измерил дугу — узнал угол, измерил угол — узнал дугу. Именно поэтому центральный угол работает эталоном: с ним сравнивают всё, что происходит на самой окружности.

Вписанный угол и главная теорема

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на самой окружности, а стороны — две хорды. Говорят, что такой угол опирается на дугу, заключённую между его сторонами. Теорема о вписанном угле утверждает: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Наблюдатель с обода колеса видел ту же дугу, что и центр, но под вдвое меньшим углом — это и есть содержимое теоремы.

Идея доказательства видна на картинке из двух радиусов. Соедини центр O с вершиной C вписанного угла и с концами A и B дуги: треугольники с вершиной в центре равнобедренные, ведь у них по два радиуса. Углы при основании такого треугольника равны, а угол при центре оказывается внешним для маленького треугольника — он равен сумме двух равных углов при окружности. Разложив большую дугу на две части и сложив равенства, получаешь: центральный угол ровно вдвое больше вписанного. Изящнее всего то, что в доказательстве работает равнобедренный треугольник из седьмого класса.

Чтобы находить дугу, на которую опирается угол, работает простое правило разглядывания: встань взглядом в вершину угла и посмотри внутрь него — кусок окружности, зажатый между сторонами, и есть та самая дуга. Для центрального угла это вся дуга между радиусами, для вписанного — дуга «через спину», напротив вершины. Списал дугу неверно — дальше всё разлетится, поэтому первые решения по этой теме делай медленно, проговаривая: вершина тут, стороны сюда, дуга между ними.

Следствия: диаметр и равные углы

Из теоремы вылетают два следствия, без которых не решается ни одна контрольная. Первое: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, ведь диаметр вырезает полуокружность в 180°, а половина равна 90°. Второе: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой — сколько ни ставь вершин на окружность, все смотрят на дугу под одним углом. Второе следствие объясняет, почему зрители на одном ярусе стадиона видят арену под одинаковым углом: все они сидят на одной дуге. Следствия работают и в обратную сторону: встретил на чертеже прямой угол с вершиной на окружности — ищи диаметр, натянутый между его сторонами; встретил два равных вписанных угла — соединяй их дуги.

Обратная задача решается зеркально: если вписанный угол равен 25°, то дуга под ним 50°, и центральный угол на ту же дугу тоже 50°. Работает только перестановка деления: дуга — это удвоенный вписанный угол, центральный — сама дуга. Прежде чем считать, всегда спрашивай себя: из центра я смотрю или с окружности? Ответ меняет всё в два раза. Отсюда и надёжный порядок действий: сначала найди, на какую дугу смотрит угол, и только потом решай, делить или удваивать.

Задачи: стрелки, дуги и диаметры

Стандартная семья задач начинается с делений. Одно деление циферблата — это 360° : 12 = 30°, поэтому стрелки на «двадцать минут» разошлись на четыре деления и 120° дуги. Дальше включаются следствия: угол с вершиной на любой точке циферблата, смотрящий на обе стрелки, равен 60°, а если он вдруг оказался прямым, то стрелки стоят на концах диаметра, то есть показывают противоположные отметки. То же происходит на дуге любой окружности: найди дугу — и половина даст вписанный угол.

Те же правила стоят за арками и сводами. Полукруглая арка опирается на концы диаметра, поэтому любой камень кладки, глядящий на оба края арки с окружности, стоит под прямым углом к ним — зодчие веками собирали своды, не зная слова «вписанный». В мостовом пролёте и в куполе планетария расчёт углов сводится к той же паре: дуга и её половина.

Половины дуг придают задаче о составных углах второй этаж: дуги вокруг точки касания или хорды складываются в 360°, и каждая дуга отвечает своему вписанному углу. Так возникают задачи «найди все четыре угла на рисунке с окружностью»: делишь круг на дуги, каждую дугу делишь пополам — и углы выстраиваются сами. Проверка всегда одна: сумма дуг вокруг окружности равна 360°. Если сумма дуг не сошлась, ошибка раньше — в вычислении первой дуги, а не в половинах.

Теорема о вписанном угле доживает до выпускных экзаменов: без неё не решаются задачи про хорды, касательные и описанные окружности. Потренируйся находить углы на циферблате настоящих часов — за неделю глаз натренируется называть дугу и её половину мгновенно, и темы девятого класса лягут поверх уже готового фундамента. А итог темы уместится в одну строку: целая дуга в центре, половина на окружности.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, клик по картинке — на весь экран, ←/→ — листать, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема