Геометрия · 7 классурок · 2026-09-27~8 мин чтения

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные равны. Учимся находить любой угол при пересечении двух прямых, зная всего один.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Ножницы раскрывают и складывают: два лезвия поворачиваются вокруг одного винта. Пока одно лезвие отклоняется на 30°, зазор между кончиками меняется строго согласованно — на угол, дополняющий первый до развёрнутого. Так работают смежные углы. А на перекрёстке двух дорог или в складках прищепки видно второе свойство: углы «крест-накрест» повторяют друг друга. Два коротких правила позволяют найти все четыре угла при пересечении прямых, зная один. В этом уроке докажем оба свойства по всем правилам геометрии, решим задачи с уравнениями и отыщем смежные углы в дверной петле, на циферблате и в мастерской.

Смежные углы: вместе всегда 180°

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие — дополнительные лучи, то есть вместе образуют прямую. Проще говоря, один угол продолжили за вершину по прямой — и получился второй. Раз дополнительные лучи составляют развёрнутый угол, а он равен 180°, сумма смежных углов всегда 180°. Углы обозначают тремя буквами: запись ∠AOB означает угол с вершиной O и сторонами OA и OB. У смежных углов вершина общая, поэтому различают их по сторонам: ∠AOB и ∠BOC смежные, если точки A, O и C лежат на одной прямой. Если в задаче угол назван одной буквой, например «угол O», значит, у вершины O всего один угол и путаться не в чем.

Смежные углы на прямой в сумме дают 180 градусов; вертикальные углы равны — Смежные углы вместе составляют развёрнутый угол — их сумма всегда 180°. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов: в каждой паре углы равны.

Из суммы 180° следует главный рабочий приём: зная один смежный угол, второй находят вычитанием. Дан угол 40° — смежный с ним равен 140°. Дан угол 75° — смежный 105°. Если один угол прямой, смежный с ним тоже прямой: 180° − 90° = 90°. Отсюда красивое правило-пара: острый смежный угол ходит в комплекте с тупым. Один меньше 90° — второй обязательно больше 90°, ведь вместе им нужно набрать ровно 180°. Два острых или два тупых смежными быть не могут, и на контрольных это спасает: проверил сумму — сразу видно, где ошибка.

У смежных углов есть два следствия, ради которых их и любят. Первое: если смежные углы равны, то каждый по 90°, а прямые, на которых лежат их необщие стороны, перпендикулярны. Так проверяют прямой угол в мастерской: отложи от вершины два равных смежных угла — линии встанут под 90° друг к другу. Второе следствие про биссектрису: биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Половина одного угла плюс половина другого дают ровно 90°, а такой угол между лучами и называется прямым. Проверь на числах: углы 60° и 120°, биссектрисы делят их на 30° и 60°, вместе — 90°.

α + β = 18 0^{\circ}

Сумма смежных углов

Меряют углы транспортиром, а записывают со знаком градуса: ∠AOB = 40°. В формулах углы удобно называть греческими буквами α и β — тогда свойства выглядят коротко и складываются в аккуратные выражения. Градусная мера отвечает на вопрос, сколько раз 1/180 часть развёрнутого угла укладывается в данном. Вся арифметика темы отсюда: смежные углы — два числа с фиксированной суммой, поэтому любая задача про них сводится к вычитанию или к короткому уравнению с одной неизвестной.

Ловушка

Равные углы — не всегда вертикальные, а смежные — не всегда прямые. Почти все на контрольной пишут, что «если углы равны, они вертикальные». Причинно-следственная связь работает только в одну сторону: вертикальные углы равны, но не наоборот. Вторая частая ошибка — называть вертикальные углы смежными: у них нет ни одной общей стороны, они вообще не соприкасаются. Третья ошибка из той же серии — искать у смежных углов равенство: сумма 180° гарантирует его только для двух прямых углов.

Угол: 45° — острый

Выстави угол, смежный с углом 65°

Тяни за сторону: угол должен дополниться до 180°.

Смежные углы#: Одна сторона общая, две другие — дополнительные лучи; сумма всегда 180°
Вертикальные углы#: Стороны одного служат продолжениями сторон другого; всегда равны
Развёрнутый угол#: Угол со сторонами на одной прямой, равен 180°
Биссектриса#: Луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных

Вертикальные углы: пары через точку

При пересечении двух прямых возникает четыре угла, которые разбиваются на две пары вертикальных: стороны одного служат продолжениями сторон другого. Почему они равны? Доказательство занимает две строки. Пусть угол 1 и угол 2 смежные, и угол 1 с углом 3 тоже смежные. Каждый из двух дополняет угол 1 до 180°, значит, оба равны 180° минус угол 1 — а два числа, равные одному и тому же, равны между собой. Итак, вертикальные углы 2 и 3 равны. Точно так же вторая пара: углы 2 и 4, смежные с углом 3, оказываются равны.

Теперь у всей картинки есть чёткая структура. Соседние углы при пересечении — смежные, каждая соседняя пара даёт 180°. Противоположные — вертикальные, они равны. Все четыре вместе составляют полный угол вокруг точки — 360°. Достаточно узнать один угол из четырёх, и остальные три восстанавливаются автоматически: напротив — копия, по бокам — вычитание из 180°. Например, при угле 65° получается ряд 65°, 115°, 65°, 115°. Посчитай и пары: смежных здесь четыре — 1 с 2, 2 с 3, 3 с 4, 4 с 1, а вертикальных всего две: 1 с 3 и 2 с 4.

Тип углов	Как образуются	Главное свойство	Пример
Смежные	Одна сторона общая, две другие — дополнительные лучи	В сумме дают 180°	40° и 140°
Вертикальные	При пересечении двух прямых, «крест-накрест»	Равны между собой	65° и 65°
Развёрнутый	Стороны образуют прямую	Всегда равен 180°	180°
Прямой	Половина развёрнутого	Всегда равен 90°	90°

Пример: находим все четыре угла

Две прямые пересеклись. Один из углов равен 45°. Смежный с ним дополняет до 180°.
$18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$
Вертикальный углу 45° равен ему самому.
$∠2 = 4 5^{\circ}$
Оставшийся угол вертикален углу 135°.
$∠4 = 13 5^{\circ}$
Проверка: 45° + 135° + 45° + 135° = 360° — полный оборот вокруг точки.
Смежный с углом 135° снова даёт 45° — картинка замкнулась, все четыре величины согласованы.

Разбор задачи: один угол на 40° больше смежного с ним

Обозначь меньший угол x. Тогда соседний с ним угол равен x + 40.
Соседние углы смежные, поэтому их сумма равна 180°.
Собери неизвестные: два x и ещё 40 — отсюда 2x = 140.
$x + x + 40 = 180$
Меньший угол 70°, больший 110°.
$x = 7 0^{\circ}$
Проверка: 70° + 110° = 180° и 110° − 70° = 40° — оба условия выполнены.

Где это пригодится

Открой дверь и посмотри на петлю: угол между дверью и стеной и угол между дверью и проёмом — смежные. Дверь раскрыта на 60° — до стены остаётся 120°, распахнулась на 90° — встала параллельно стене. Ножницы, прищепка, пинцет, кусачки — везде два рычага на одной оси, и выигрыш одного угла в точности равен потере второго. На циферблате в 15:00 стрелки стоят под прямым углом, а в 6:00 образуют развёрнутый. Вертикальные углы живут на любом перекрёстке: улицы старого города, траншея и трубопровод, провода за стеной — пересечения везде устроены одинаково.

Вторая причина ценить эти свойства — перпендикулярные прямые. Если смежные углы равны, оба прямые, и линии перпендикулярны. Через эту связь в седьмом классе доказывают всё про высоты, расстояния и построения: например, расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, а не по наклонной, потому что перпендикуляр — кратчайший путь. Пересечение прямых и углы при нём — первая ступенька к этому большому материалу.

В контрольных и проверочных работах углы при пересечении приходят в двух типовых костюмах. Первый: «один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 117°» — найти остальные. Работает алгоритм из списка ниже: копия напротив, вычитание из 180° по бокам. Второй костюм — уравнение со словами «в k раз больше» или «на 40° больше»: обозначь меньший угол переменной, сложи смежные и реши линейное уравнение. Если пересекаются сразу три прямые в одной точке, правило то же: вертикальных пар шесть, и напротив всегда стоят равные углы.

Запиши известный угол — он входит сразу в две пары: смежную и вертикальную.
Вертикальный угол равен известному — вторая копия найдена без вычислений.
Два смежных угла получи вычитанием известного из 180°.
Сложи все четыре величины: должно выйти 360° — это бесплатная проверка.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 4

Термины

Определения

Собери пары

Соедини термин с его свойством.

Утверждение 1 из 5

Сумма смежных углов равна 180°.

Верно или нет?

Пять утверждений по двум главным свойствам урока.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Один из смежных углов равен 74°. Найди второй угол.

Вертикальные углы равны.

Один из смежных углов прямой. Чему равен второй?

Какие утверждения верны?

Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найди меньший угол.

Сопоставь понятие и свойство.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Как ведут себя эти углы?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Вставь пропущенное.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

При пересечении двух прямых один из углов равен 50°. Смежный с ним угол равен °, а вертикальный ему — °

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Как найти смежный угол, если один равен 130 градусам?

Смежные углы вместе образуют развёрнутый угол, поэтому вычитай: 180° − 130° = 50°. Ответ — 50°. Тот же приём работает с любым значением: знаешь один смежный угол — второй получается одним вычитанием.

Чем вертикальные углы отличаются от смежных?

Смежные углы имеют общую сторону и в сумме дают 180°. Вертикальные углы построены на продолжениях сторон друг друга, не касаются и всегда равны. Запомни так: смежные — соседи, вертикальные — отражения через точку.

Могут ли оба смежных угла быть острыми?

Нет. Острые углы меньше 90°, значит их сумма меньше 180°. Один смежный угол всегда острый, второй — тупой, либо оба прямые.

Почему вертикальные углы равны?

Каждый из них дополняет до 180° один и тот же угол. Поэтому оба выражаются как 180° минус этот угол и совпадают. Всё доказательство опирается только на свойство смежных углов.