Вписанная и описанная окружности. Замечательные точки
Круг в треугольнике и треугольник в круге: биссектрисы, серединные перпендикуляры и четыре знаменитые точки.
Столяр склеил треугольную рамку и хочет вложить в неё круглую подложку максимального размера — круг должен касаться всех трёх сторон. А теперь обратная задача: круглую столешницу нужно опереть на треугольную подставку так, чтобы круг «опирался» на все три угла. Первая история — про вписанную окружность, вторая — про описанную. Обе сводятся к поиску одной точки, а замечательных точек у треугольника четыре.
Вписанная окружность: центр в биссектрисах
Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника. Её центр равноудалён от всех сторон, а точки, равноудалённые от сторон угла, — это биссектриса: каждая точка биссектрисы угла стоит на одинаковом расстоянии от его сторон. Поэтому центр вписанной окружности — точка пересечения трёх биссектрис, и она всегда внутри треугольника. Радиус равен расстоянию от этой точки до любой стороны — это ровно «запас» между кругом и сторонами.
Слово «вписанная» подсказывает и способ поиска: чтобы найти центр круглой подложки для треугольной рамки, проведи биссектрисы хотя бы двух углов — на их пересечении и будет центр. Двух биссектрис достаточно: третья пройдёт через ту же точку автоматически, и это не совпадение, а теорема. Радиус замеряют перпендикуляром от центра до стороны: касание обязано быть прямым, иначе окружность вылезет за сторону.
Описанная окружность: центр в серединных перпендикулярах
Описанная окружность проходит через все три вершины. Её центр равноудалён от вершин, а множество точек, равноудалённых от концов отрезка, — серединный перпендикуляр. Три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке — она и есть центр описанной окружности. Где он окажется, зависит от треугольника: у остроугольного центр внутри, у прямоугольного — на середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи.
Проверить себя можно циркулем: отметь предполагаемый центр и проведи окружность — она обязана пройти через все три вершины сразу. Промах в миллиметр сразу виден: вершина «выскакивает» из окружности, и центр приходится уточнять. У прямоугольного треугольника центр лежит на середине гипотенузы, поэтому описанную окружность строят одним движением: поймай раствором циркуля половину гипотенузы и обведи.
- Вписанная окружность#
- касается всех сторон; центр — точка пересечения биссектрис
- Описанная окружность#
- проходит через все вершины; центр — точка пересечения серединных перпендикуляров
- Центроид#
- точка пересечения медиан, делит каждую в отношении 2 : 1
- Ортоцентр#
- точка пересечения высот, может лежать вне треугольника
- Вписанный угол#
- угол с вершиной на окружности; равен половине дуги, на которую опирается
- Диаметр#
- наибольшая хорда через центр; вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
Четыре замечательные точки
Кроме биссектрис и серединных перпендикуляров, у треугольника есть ещё две знаменитые линии. Медианы — отрезки от вершин к серединам противоположных сторон — пересекаются в центроиде и делятся им в отношении 2 : 1, считая от вершины. Высоты — перпендикуляры к противоположным сторонам (или их продолжениям) — встречаются в ортоцентре. Центры вписанной и описанной окружностей, центроид и ортоцентр называют четырьмя замечательными точками треугольника.
| Линии треугольника | Точка пересечения | Что она даёт |
|---|---|---|
| Биссектрисы | центр вписанной окружности | равноудалена от всех сторон |
| Серединные перпендикуляры | центр описанной окружности | равноудалена от всех вершин |
| Медианы | центроид | делит каждую медиану в отношении 2 : 1 |
| Высоты | ортоцентр | может лежать вне треугольника |
Линии внутри треугольника не конкурируют, а дополняют друг друга: биссектрисы режут углы, серединные перпендикуляры — стороны, медианы делят стороны пополам и выходят из вершин, высоты строят прямые углы. На чертеже контрольной нередко просят построить сразу две такие линии и показать точку их пересечения. Чем твёрже разница между ними, тем меньше ловушек тебе страшны.
- Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, гипотенуза 10. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
- Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:
- Проверка: r < R — вписанная окружность всегда меньше описанной.
- Полупериметр: (6 + 8 + 10) : 2 = 12, площадь по двум катетам: 6 · 8 : 2 = 24.
- Вторая проверка через площадь: r = 24 : 12 = 2 — радиус совпал.
Вписанный угол равен половине дуги
Окружность у треугольника не только снаружи и внутри — у неё есть собственные знаменитые углы. Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, обе стороны которого — хорды. Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Связь между ними короткая и мощная: вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу.
Из этой теоремы следуют три рабочих вывода.
- все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой
- вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° — окружность прячет в себе прямоугольные треугольники
- равные дуги отвечают равными хордами и равными вписанными углами
Летний кинотеатр — готовая иллюстрация: ряды кресел выстраивают по дуге окружности с экраном в центре. Из любой точки дуги экран виден под одним и тем же углом, потому что все эти вписанные углы опираются на одну дугу. Геометрия уже уравняла зрителей — недаром такой зал называют амфитеатром.
Обрати внимание: у вписанного угла вершина обязана лежать именно на окружности. Сдвинь вершину внутрь круга — угол на ту же дугу станет больше, вынеси наружу — меньше. Это удобно для самопроверки: посчитал угол по дуге, а он подозрительно велик — первым делом проверь, на окружности ли вершина.
Разбор типовой задачи: вписанный угол
- Точки A, B и C лежат на окружности, дуга AC без точки B равна 120°. Найди угол ABC.
- Угол ABC вписанный и опирается на дугу AC, поэтому берём половину:
- Усложним: пусть AC — диаметр, то есть дуга равна 180°.
- Тогда вписанный угол равен 90°: любой треугольник с основанием-диаметром и вершиной на окружности — прямоугольный.
- Отсюда правило про центр описанной окружности: диаметр вдвое длиннее радиуса, значит середина гипотенузы — её центр.
- Ответ: 60°; на диаметр опирается всегда прямой угол.
Где это встречается вокруг нас
Описанная окружность — это колесо: все спицы от центра до обода равны. Карусель, велосипедное колесо и цирковая арена круглые не для красоты: любые точки обода равноудалены от центра, и механизм вращается без биений. Треугольная деталь, вписанная в круглое посадочное гнездо, касается гнезда вершинами — так её и размечают, и проверяют на станке.
Вписанная окружность отвечает на вопрос «наибольшее»: круглый фонтан на треугольной площади, самое широкое окно в треугольном фронтоне, максимальная круглая подложка в треугольной рамке. Центр ищут на пересечении биссектрис, а радиус — ровно зазор до ближайшей стороны. Центроид работает балансиром: треугольную пластину можно уравновесить на кончике пальца в точке пересечения медиан — там центр масс.
Замечательные точки живут и в инженерии: центр описанной окружности подсказывает, где сверлить крепёж в круглом кронштейне с треугольным основанием, а центр вписанной — куда встанет вал в треугольном пазу. Тот же принцип работает в разметке спортивных площадок: равенство радиусов превращает окружность в инструмент точности, а не просто в красивую кривую.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Как это спрашивают на контрольной
- Центр окружности, вписанной в треугольник: какие линии пересекаются
- Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника с гипотенузой 18 см
- Радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см
- Медиана равна 21 см: найди больший из отрезков, на которые её делит центроид
- Дуга равна 84°: чему равен вписанный угол, опирающийся на неё
Ответы на первый пункт сидят в формулировках: биссектрисы делят углы, серединные перпендикуляры — стороны, и искать нужно равноудалённость от сторон или от вершин. Числа из списка дают 9 см, 2 см, 14 см и 42° — каждая задача решается одной строкой. Главное — не перепутать, о какой окружности спрашивают: одна буква в термине меняет всё решение.
Что делать дальше — закрепи тренажёром задачи про радиусы и точку пересечения медиан, а затем двигайся к длине окружности и площади круга: окружность из «конструкции вокруг треугольника» станет самостоятельной фигурой со своими формулами.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Чем является центр окружности, вписанной в треугольник?
2 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найди радиус описанной около него окружности (в см).
3 Вписанная окружность проходит через все вершины треугольника.
4 Медиана треугольника равна 15 см. Найди меньший из отрезков, на которые её делит точка пересечения медиан (в см).
5 Где находится центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника?
6 Прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Найди радиус вписанной окружности (в см).
7 Центры вписанной и описанной окружностей треугольника всегда совпадают.
8 Сопоставь дугу и вписанный угол, опирающийся на неё.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?
Раздели гипотенузу пополам: центр лежит в её середине. Для гипотенузы 26 см радиус равен 13 см.
В каком отношении центроид делит медиану?
В отношении 2 : 1 от вершины: отрезок от вершины вдвое длиннее отрезка до середины стороны. Например, в медиане 15 см от вершины до центроида — 10 см, остаток — 5 см.
Где находится центр описанной окружности у тупоугольного треугольника?
Вне треугольника, за наибольшей стороной. У прямоугольного он на гипотенузе, у остроугольного — внутри.
Чем вписанная окружность отличается от описанной?
Вписанная касается всех сторон и живёт внутри, описанная проходит через все вершины. Их центры ищут на разных линиях: биссектрисах и серединных перпендикулярах.