Геометрия · 8 класстренажёр

Вписанная и описанная окружности. Замечательные точки — тренажёр

Тренировка по теме «Вписанная и описанная окружности. Замечательные точки»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.

← К теории

Тренировка

0/8

Задача 1 из 8

Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 10 см. Найди гипотенузу (в см).

Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.

Разбор примеров из тренажёра

21 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.

Пример 1. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 9 см. Найди гипотенузу (в см).

Подсказка. Прямой угол опирается на диаметр.

Как решать. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит гипотенуза равна диаметру: 2 · 9 см.

Ответ: 18

Пример 2. Центроид делит медиану в отношении 2 : 1. Меньший отрезок медианы равен 4 см. Найди больший отрезок (в см).

Подсказка. От вершины до центроида — две части из трёх.

Как решать. Отношение 2 : 1: больший отрезок вдвое больше меньшего, то есть 2 · 4 см.

Ответ: 8

Пример 3. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см, периметр треугольника равен 27 см. Найди площадь треугольника (в кв. см).

Подсказка. Полупериметр умножь на радиус — двойки сократятся.

Как решать. S = p · r, где p — полупериметр: (27 : 2) · 2 = 27 кв. см.

Ответ: 27

Пример 4. Радиус вписанной окружности треугольника равен 5 см, радиус описанной — 10 см. Какое утверждение верно?

Подсказка. Сравни круг внутри и рамку снаружи.

Как решать. Вписанная окружность всегда меньше описанной: r < R, равенство возможно только у равностороннего треугольника.

Ответ: 5 < 10

Пример 5. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе.

Подсказка. Вспомни про диаметр и прямой угол.

Как решать. Прямой угол опирается на диаметр описанной окружности, поэтому её центр — середина гипотенузы.

Ответ: Верно

Пример 6. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 4 см. Найди гипотенузу (в см).

Подсказка. Прямой угол опирается на диаметр.

Как решать. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит гипотенуза равна диаметру: 2 · 4 см.

Ответ: 8

Пример 7. Центроид делит медиану в отношении 2 : 1. Меньший отрезок медианы равен 10 см. Найди больший отрезок (в см).

Подсказка. От вершины до центроида — две части из трёх.

Как решать. Отношение 2 : 1: больший отрезок вдвое больше меньшего, то есть 2 · 10 см.

Ответ: 20

Пример 8. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см, периметр треугольника равен 16 см. Найди площадь треугольника (в кв. см).

Подсказка. Полупериметр умножь на радиус — двойки сократятся.

Как решать. S = p · r, где p — полупериметр: (16 : 2) · 2 = 16 кв. см.

Ответ: 16

Пример 9. Радиус вписанной окружности треугольника равен 4 см, радиус описанной — 9 см. Какое утверждение верно?

Подсказка. Сравни круг внутри и рамку снаружи.

Ответ: 4 < 9

Пример 10. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 8 см. Найди гипотенузу (в см).

Подсказка. Прямой угол опирается на диаметр.

Как решать. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит гипотенуза равна диаметру: 2 · 8 см.

Ответ: 16

Пример 11. Центроид делит медиану в отношении 2 : 1. Меньший отрезок медианы равен 8 см. Найди больший отрезок (в см).

Подсказка. От вершины до центроида — две части из трёх.

Как решать. Отношение 2 : 1: больший отрезок вдвое больше меньшего, то есть 2 · 8 см.

Ответ: 16

Пример 12. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см, периметр треугольника равен 28 см. Найди площадь треугольника (в кв. см).

Подсказка. Полупериметр умножь на радиус — двойки сократятся.

Как решать. S = p · r, где p — полупериметр: (28 : 2) · 2 = 28 кв. см.

Ответ: 28

Пример 13. Радиус вписанной окружности треугольника равен 3 см, радиус описанной — 15 см. Какое утверждение верно?

Подсказка. Сравни круг внутри и рамку снаружи.

Ответ: 3 < 15

Пример 14. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 11 см. Найди гипотенузу (в см).

Подсказка. Прямой угол опирается на диаметр.

Как решать. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит гипотенуза равна диаметру: 2 · 11 см.

Ответ: 22

Пример 15. Центроид делит медиану в отношении 2 : 1. Меньший отрезок медианы равен 11 см. Найди больший отрезок (в см).

Подсказка. От вершины до центроида — две части из трёх.

Как решать. Отношение 2 : 1: больший отрезок вдвое больше меньшего, то есть 2 · 11 см.

Ответ: 22

Пример 16. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см, периметр треугольника равен 33 см. Найди площадь треугольника (в кв. см).

Подсказка. Полупериметр умножь на радиус — двойки сократятся.

Как решать. S = p · r, где p — полупериметр: (33 : 2) · 2 = 33 кв. см.

Ответ: 33

Пример 17. Радиус вписанной окружности треугольника равен 2 см, радиус описанной — 15 см. Какое утверждение верно?

Подсказка. Сравни круг внутри и рамку снаружи.

Ответ: 2 < 15

Пример 18. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 10 см. Найди гипотенузу (в см).

Подсказка. Прямой угол опирается на диаметр.

Как решать. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит гипотенуза равна диаметру: 2 · 10 см.

Ответ: 20

Пример 19. Центроид делит медиану в отношении 2 : 1. Меньший отрезок медианы равен 12 см. Найди больший отрезок (в см).

Подсказка. От вершины до центроида — две части из трёх.

Как решать. Отношение 2 : 1: больший отрезок вдвое больше меньшего, то есть 2 · 12 см.

Ответ: 24

Пример 20. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см, периметр треугольника равен 13 см. Найди площадь треугольника (в кв. см).

Подсказка. Полупериметр умножь на радиус — двойки сократятся.

Как решать. S = p · r, где p — полупериметр: (13 : 2) · 2 = 13 кв. см.

Ответ: 13

Пример 21. Радиус вписанной окружности треугольника равен 4 см, радиус описанной — 14 см. Какое утверждение верно?

Подсказка. Сравни круг внутри и рамку снаружи.

Ответ: 4 < 14

Вопросы для повторения темы

Контрольные вопросы по «Вписанная и описанная окружности. Замечательные точки» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.

Вопрос 1. Чем является центр окружности, вписанной в треугольник?

Ответ: точкой пересечения биссектрис

Пояснение. Центр вписанной окружности равноудалён от сторон, а такие точки живут на биссектрисах.

Вопрос 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найди радиус описанной около него окружности (в см).

Ответ: 13

Пояснение. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, радиус равен половине: 13 см.

Вопрос 3. Вписанная окружность проходит через все вершины треугольника.

Ответ: Неверно

Пояснение. Через вершины проходит описанная окружность; вписанная лишь касается сторон.

Вопрос 4. Медиана треугольника равна 15 см. Найди меньший из отрезков, на которые её делит точка пересечения медиан (в см).

Ответ: 5

Пояснение. Центроид делит медиану в отношении 2 : 1, меньший отрезок — одна треть: 5 см.

Вопрос 5. Где находится центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника?

Ответ: вне треугольника

Пояснение. У тупоугольного центр снаружи, у прямоугольного — на середине гипотенузы, у остроугольного — внутри.

Вопрос 6. Прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Найди радиус вписанной окружности (в см).

Ответ: 2

Пояснение. r = (6 + 8 − 10) : 2 = 2 см.

Вопрос 7. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника всегда совпадают.

Ответ: Неверно

Пояснение. Они совпадают только у равностороннего треугольника; в общем случае это разные точки.

Вопрос 8. Сопоставь дугу и вписанный угол, опирающийся на неё.

Пояснение. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: делите градусную меру дуги надвое. На диаметр опирается прямой угол.

Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.